《概率統(tǒng)計(jì)》電子教案：D7-4習(xí)題課

1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)1.解解: :設(shè)總體 X 的概率密度函數(shù)為:01(1)( )0 xxf x其它其中 1是未知參數(shù),12(,)nXXX為取自總體X的隨機(jī)樣本,試用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求 的估計(jì)量.(2)1X ，2 1011|.22x11100()(1)(1)E Xxx dxxdx即有:(),E XX1,2X令解得第七章習(xí)題課(18) 第七章 21.1XXNORTH UNIVERSITY OF CHI

2、NA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)12(1) () .nnxxx1( ;)(1)niiiLxx未知參數(shù) 的矩估計(jì)量為:似然函數(shù)為21.1XX似然方程為11,lnniinx 解得:11lnniinx 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為1ln0.1niinx1ln ( ; )ln(1)ln .niiiLxnx11.lnniinX 所以未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)量為NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概

3、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)2.解解: :設(shè)總體 X 的概率密度函數(shù)為:2()2( )0 xxef xx其中 0 未知,12(,)nXXX從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(1)求 的矩估計(jì)量;1.2X2()1()2.2xE Xxedx即有:(),E XX1,2X令所以 的矩估計(jì)量為(2)求 的極大似然估計(jì)量.(1)(2) 似然函數(shù)為1(; )niiL x2()2ixiex0ixNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙

4、修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)當(dāng)時(shí)，ln20,Ln關(guān)于 單調(diào)增加,因此未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)量為1(; )ln222niiiL xnxn1minii nx 1(; )niiL x0其它12212minniixnnii nex 由于ln LL或要使ln LL或達(dá)到最大，應(yīng)在1minii nx 的限制下，使 取得最大值，此時(shí)1min.ii nx 1minii nX NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)3. 設(shè)12

5、(,)nXXX2(0,)XN為來(lái)自總體222211(;)2ixniiLxe的一個(gè)樣本,22221( ),2xf xe求的極大似然估計(jì)并檢驗(yàn)其是否為無(wú)偏估計(jì).解解: :222211ln (;)ln(2).22niiinLxx 似然函數(shù)為:2211222(2).niinxe對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:由于2上式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)為零,得似然方程:224111 10.22niinx2211.niixn解之得:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估

6、計(jì)參數(shù)估計(jì)2211.niixn2211.niiXn2由于2211()()niiEEXn2所以的極大似然估計(jì)量為:所以是注注: :2()0,().E XD X2()0,().iiE XD X222()()().iiiE XD XEX依題意有:所以有:211()niiE Xn21nn2,的無(wú)偏估計(jì)量.2NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)4. 設(shè)總體X具有分布律解解: :已知取得了樣本值: 是未知參數(shù),1(0)2其中2()1

7、 2123(1 2 )E X- （）(1)求矩估計(jì)值則有34=.即有34 ,x依題意有17(12 1 3)44x. 代入得XP1 2 3 12（）212(1)求 的矩估計(jì)值;1=(3).4x175(3).441612341213x,x,x,x.(2)求 的極大似然估計(jì)值.NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)(2) 再求極大似然估計(jì)值.為本題中n = 4,41( )iiiLP Xx12341 2 1 3P xP xP xP

8、 x1234,x xx x樣本值故似然函數(shù)為:則有即有令22 (1)2112（）424(1)12ln ( )0,dLd得2141640,解得42=,71 , 2 , 1 , 3 , ln ( )ln44ln2ln(1)ln 12Lln ( )422112d Ld214164(1)(12 )故 的極大似然估計(jì)值為427.舍去，421=72因NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)解解: :設(shè)1211()niiiCXX適當(dāng)選擇常

9、數(shù)C ,5.2( ,)XN 使為2的無(wú)偏估計(jì).由于12(,)nXXX為取自總體 的一個(gè)樣本,12(,)nXXX2( ,)XN 為取自總體 的一個(gè)樣本,所以(1,2, )iXin相互獨(dú)立且與總體同分布.因此有:(),iE X2(),iD X222().iE X由于(1,2, )iXin相互獨(dú)立,因此對(duì)任何 i j 有:2()() ().ijijE X XE XE X而1211()niiiXX122111(2)niiiiiXXXXNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講

10、趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)1211() )niiiE CXX則有所以當(dāng)12(1)Cn時(shí),122111(2)niiiiiXXXX1222111122nniniiiiXXXX X122211112()()()2()nniniiiiCE XE XE XE X X222222 ()2()2(1)Cnn222(1)Cn1211()niiiCXX可使為2的無(wú)偏估計(jì).11122111112nnniiiiiiiXX XXNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤

11、趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)6.1122121()().3333EEXX(),()1,1,2.iiE XD Xi所以2121313()().4444EEXX而3121111()().2222EEXX設(shè)12,XX是取自總體 N( ,1) ( 未知)的一個(gè)樣本,試證如下三個(gè)估計(jì)量都是 的無(wú)偏估計(jì)量,并確定最有效的一個(gè):11221,33XX21213,44XX31211.22XX證證: :由于12,XX是取自總體 N( ,1) 的一個(gè)樣本,NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理

12、統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)所以2221231915()()11.4416168DDXX123,均為 無(wú)偏估計(jì)量.2211221415()()11.33999DDXX由于2231211111()()11.22442DDXX3()D最小,其中3所以估計(jì)量最有效. NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)20.09,0.3(2)1(14.6015.10)14.956x (1) 為已知.7. 某車(chē)間生

13、產(chǎn)滾珠, 其直徑 X 是隨機(jī)變量, 從長(zhǎng)期實(shí)踐中知道 從某天產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 6 件, 其直徑(單位:mm)14.60 , 15.10 ,14.90 ,14.80 ,15.20,15.10(1)估計(jì)該產(chǎn)品的平均直徑; (2) 若已知置信水平為0.95的置信區(qū)間;(3) 若題目中2未知,則 的置信水平為則 解解:2( ,).XN 測(cè)得20.09,求 的 的置信水平為0.95的置信區(qū)間又是多少?(4)求總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95的置信區(qū)間.NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)

14、計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)10.95,0.05.20.975121.96uu120.314.951.9614.950.246Xun(3)當(dāng)12(1),sXtnn所以 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(14.71,15.19).為未知時(shí),0.975120.226,(1)(5)2.5706stnt0.22614.952.570614.950.2376此時(shí) 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(14.713,15.187).NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概

15、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)(4) 在總體均值 未知時(shí),2s 220.97512(1)(5)12.833n2 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為20.226經(jīng)計(jì)算2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn查表知:220.0252(1)(5)0.831n所以: 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為2250.22650.226,12.8330.831即為:(0.14 , 0.55).NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主

16、講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)113117,XXYY22221210.6 ,9.5 ,2.4,4.7.xg yg sgsg其均值分別為12,mm與(1)若它們的方差相同求均值差8.某廠利用兩條自動(dòng)化流水線罐裝番茄醬.現(xiàn)分別從兩條流水線上抽取了容量分別為13與17的兩個(gè)相互獨(dú)立已知:的樣本:假設(shè)兩條流水線上罐裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分解解:分布,22212,sss12mm的置信水平為0.95的置信區(qū)間.(1) 兩個(gè)正態(tài)總體的方差相同但未知,其均值差的置信度為1-的置信區(qū)間為:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 學(xué) 理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系中 北 大 學(xué)

17、理 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講主講 趙修坤趙修坤第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)得均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間為將數(shù)據(jù)代入計(jì)算求它們方差比的置信水平將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:解解:查表得( 0.3,2.5).(2)若不知它們的方差是否相同,1212121212121111()(2),()(2)wwxytnnSxytnnSnnnn22121210.6 ,9.5 ,13,17,2.4,4.7,xg yg nnss222112212(1)(1)122.24164.73.65228wnsnsSnn0.975(28)2.0484t3.651.91wS 為0.95的置信區(qū)間。均值未知時(shí)兩個(gè)正態(tài)總體置信