【公開課課件】人B版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊-第四章指對冪-§1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算

1、第四章第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.14.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算實數(shù)指數(shù)冪及其運算 數(shù)學(xué)兇殺案：寧為真理葬身大海，也數(shù)學(xué)兇殺案：寧為真理葬身大海，也不循規(guī)蹈矩的希伯索斯不循規(guī)蹈矩的希伯索斯 公元前五世紀(jì)公元前五世紀(jì)，古希臘有一個數(shù)學(xué)學(xué)古希臘有一個數(shù)學(xué)學(xué)派派，名叫畢達格拉斯學(xué)派，畢達哥拉斯學(xué)名叫畢達格拉斯學(xué)派，畢達哥拉斯學(xué)派提出的著名命題派提出的著名命題“ “萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)” ”是該學(xué)派的是該學(xué)派的哲學(xué)基石哲學(xué)基石. .而而“ “一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比數(shù)之比” ”則則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰. . 對于這一

2、理論對于這一理論, ,其其學(xué)派中的一個成員學(xué)派中的一個成員希伯索斯希伯索斯考慮了一個問題考慮了一個問題：邊長為邊長為1 1的正方形，其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能的正方形，其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示也不能用分?jǐn)?shù)表示，而，而只能用一個只能用一個新新數(shù)來表示數(shù)來表示. .希伯索斯的希伯索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù) 的誕生的誕生. .小小小小 出現(xiàn)出現(xiàn)，卻在當(dāng)時卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大的風(fēng)的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大的風(fēng)爆爆. .史稱史稱“ “第一次數(shù)學(xué)危機第一次數(shù)學(xué)危機”. ”.希伯索斯也希伯索斯也引發(fā)

3、引發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)了 . .撼動了學(xué)派的基石而被扔進了大海撼動了學(xué)派的基石而被扔進了大海. .222 國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國科研和開發(fā)國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出近些年呈爆炸式增長機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出近些年呈爆炸式增長; ;20132013年為年為221.59221.59億元億元, ,20142014年、年、20152015年、年、20162016年年的年增長率分別為的年增長率分別為16.84%16.84%，14.06%14.06%，14.26%14.26%. . 你能根據(jù)這三年增長率的數(shù)據(jù)算出年平均增你能根據(jù)這三年增長率的數(shù)據(jù)算出年平均增長率，并以長率，并以201

4、32013年的經(jīng)費支出為基礎(chǔ)，預(yù)測年的經(jīng)費支出為基礎(chǔ)，預(yù)測20172017年以及以后各年的經(jīng)費支出嗎？年以及以后各年的經(jīng)費支出嗎？ 為了解決類似情景中的問題，我們需要進一步的學(xué)習(xí)指數(shù)運算為了解決類似情景中的問題，我們需要進一步的學(xué)習(xí)指數(shù)運算. .1.1.理解理解n n次方根及根式的概念次方根及根式的概念. .2 2. .正確運用根式的運算性質(zhì)進行根式運正確運用根式的運算性質(zhì)進行根式運算算. .3 3. .掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化. .4 4. .掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)質(zhì)1.1.通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)通過根式與分

5、數(shù)指數(shù)冪的互化的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)2.2.通過指數(shù)式的條件求值問題，提升邏輯推理素養(yǎng)通過指數(shù)式的條件求值問題，提升邏輯推理素養(yǎng). .50332_;3_;15_.5探究點探究點1 1 有理指數(shù)冪有理指數(shù)冪22222 32321 11125一般地，一般地， 中中a稱為底數(shù)，稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)稱為指數(shù). .整數(shù)指數(shù)冪運算的運算法則有：整數(shù)指數(shù)冪運算的運算法則有： 特別的：特別的：,(),().mnm nmnmnmmma aaaaaba bna100;0=0.nnaana無意義 2xa0;= 00;0.aaxaa沒有平方根39_;8_.3 32 2 2(),aaaaa babbb3xa3=.xa

6、aRnxa4581,_;32,_.xxxx則則32 00,;,0-0,nnnnnNaaxnaaaaR n為偶數(shù)；沒有意義，為奇數(shù).nxa思考：思考： 在方根的表示中，你知道式子在方根的表示中，你知道式子 叫什么嗎？叫什么嗎？ 當(dāng)當(dāng) 有意義的時候，有意義的時候， 叫做根式，叫做根式，n n稱為根指數(shù)，稱為根指數(shù)，a a稱為稱為被開方數(shù)被開方數(shù). .na根指數(shù)根指數(shù) 被開方數(shù)被開方數(shù)根式根式nanana根式的性質(zhì)：根式的性質(zhì)：（1）（2）當(dāng)）當(dāng)n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， ； 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， .();nnaannaannaa嘗試與發(fā)現(xiàn)： 你能想出一個新的二次根式符號的表示方法，使 的特例，

7、的特例嗎？ 2m nmnaaaa（）成為（）()mmma baba bab成為2( 5)5,將整數(shù)指數(shù)冪運算推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運算由于 所以112222(5 )55,1255.3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪一般地，如果n是正整數(shù)，那么：當(dāng) 有意義時，規(guī)定對于一般的正分?jǐn)?shù) ，也可作類似規(guī)定，即 na1nnaamnmnmmnnaaa（）當(dāng)a0 且m與n都是正整數(shù)時， 一般總認(rèn)為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)都是既約分?jǐn)?shù)，此時當(dāng)指數(shù)的分母為偶數(shù)的時候，則底數(shù)就必須為正數(shù) . 11mnmnmnaaa 現(xiàn)在我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪推廣到了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（即有理數(shù)指數(shù)冪）.一般情況下,當(dāng)s與t都是有理數(shù)時，有運算法則,(),().

8、sts tsstsssa aaaaaba b【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】計算下列各式的值，如何運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算下列各式的值，如何運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)3225532133634111111222222288_;8_;3 333_;()_;()()_;()_ .a bababab489324a bab11222aa bb證明：假設(shè) ,即 , 根據(jù)不等式的性質(zhì)與根式的性質(zhì),得 ，這都與 矛盾.因此假設(shè)不成立，從而 .思考：根據(jù)前面的知識，猜測 的相對大小，以及 的相對大小.例1. 求證：如果 是大于1的自然數(shù)，那么0,abn11.nnab11nnab1111nnnnabab或abab或ab11n

9、nab322與422與探究點探究點2 2 實數(shù)實數(shù)指數(shù)冪指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪還可以推廣到無理數(shù)指數(shù)冪.應(yīng)該怎樣理解2這個數(shù)呢?比較下列兩組數(shù)據(jù)：3 34 4， 2 23 32 22 24 4, ,3.13.13.23.2， 2 23.13.12 22 23.23.2，3.143.143.15 23.15 23.143.142 22 23.153.153.1413.1413.142 23.142 23.1413.1412 22 23.1423.1423.14153.14153.1416 23.1416 23.14153.14152 22 23.14163.14163.141593.141593.1

10、4160 23.14160 23.141593.141592 22 23.141603.14160 也就是說，兩個序列3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，.；3.2.，3.15，3.142，3.1416，3.14160，.中的數(shù)，隨著小數(shù)點后位數(shù)的增加，都越來越接近，從而兩個序列23.1，23.14，23.141，23.1415，23.14159，.；23.2，23.15，23.142，23.1416，23.14160，.；中的數(shù)，隨著指數(shù)的變化，也都會越來越接近一個實數(shù)， 這個實數(shù)就是2. 一般地，當(dāng)a0且t是無理數(shù)時，at都是一個確定的實數(shù)，我們可以用與上述類似的方

11、法找出它的任意精度的近似值。因此，當(dāng)a0，t為任意實數(shù)時，可以認(rèn)為實數(shù)指數(shù)冪at都有意義.可以證明，對任意實數(shù)s和t，類似前述有理指數(shù)釋的運算法則仍然成立.,(),().sts tsstsssa aaaaaba b例例2 2 計算下列各式的值：計算下列各式的值：（1 1） （2 2）10339332335125解解：(1)=(3 ) (3 )3(1)=(3 ) (3 )3103111 111102 ()102332 33233.93 332323323333(2)5(5 )525.5125例例3 3 化簡下列各式：化簡下列各式：（1 1） （2 2）y yx xyyyyxxxx12231111

12、26351546m mm mmmmm111222解解：(1)(1)原原式式= =21111111033226662452424.5xyx yy (2)(2)原原式式= =111111112222222222211112222(m )2(m)(mm)mm.mmmmm m探究點探究點3 3 用信息技術(shù)求實數(shù)指數(shù)冪用信息技術(shù)求實數(shù)指數(shù)冪 實數(shù)指數(shù)冪的值可以通過計算器或計算機實數(shù)指數(shù)冪的值可以通過計算器或計算機軟件方便地求得軟件方便地求得. . 在在GeoGebraGeoGebra中，在中，在“運算區(qū)運算區(qū)”利用符號利用符號“ ”，就可以得到實數(shù)指數(shù)冪的精確值或近，就可以得到實數(shù)指數(shù)冪的精確值或近似值

13、似值. .如右圖所示，前面三個是在符號計算模式如右圖所示，前面三個是在符號計算模式下的輸入和所得到的結(jié)果，后面兩個是在數(shù)值下的輸入和所得到的結(jié)果，后面兩個是在數(shù)值計算模式下得到的結(jié)果。計算模式下得到的結(jié)果。 下面我們來求本節(jié)情境與問題中的年平均增長率下面我們來求本節(jié)情境與問題中的年平均增長率. . 假設(shè)年平均增長率為假設(shè)年平均增長率為x x，則應(yīng)該有，則應(yīng)該有(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3 3 從而從而x=x= 由此可預(yù)測由此可預(yù)測20172017年的科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出為年的科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出為221.59221.59(1+15.05%)4388.24(1+15.05%)4388.24（億元）（億元） 其他年份的預(yù)測值可用類似的方法算出其他年份的預(yù)測值可用類似的方法算出. .3 3(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)%(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)