全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、2009 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題(共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分.以下每道小題均給出了代號為 A, B, C, D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號 里，不填、多填或錯(cuò)填都得 0 分)1已知非零實(shí)數(shù) a，b 滿足 |2a4 +|b+2| + J(a3)b2+4 = 2a，則 a + b 等于().(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2【答】C.解：由題設(shè)知 a3,所以，題設(shè)的等式為|b + 2 +J(a3)b2=0，于是3.將一枚六個(gè)面編號分別為 1, 2,3, 4, 5, 6 的質(zhì)地均勻的正方體骰子先組 a；只有正

2、數(shù)解的概率為25-(C) - (D)918a =3,b -2，從而 a 亠 b = 1.2.如圖，菱形 ABCD 勺邊長為a,點(diǎn) O 是對角線 AC 上的一點(diǎn)，且a, OB= OC= OD= 1,貝 U a 等于().OA=(第2題)(A)于(B)4 (C C)1 (D) 2【答】A.解:因?yàn)?BOCoABC 所以二空，即1二旦，所以，a2-a-1 = 0.AB AC a a 1由 a 0，解得1.5a二2后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為a,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為 b，則使關(guān)于 x, y 的方程1(A) - (B)121336【答】D.解:當(dāng) 2a -b = 0 時(shí),6 2b方程組無解.當(dāng) 2a-

3、b = 0 時(shí)，方程組的解為2a - b2a - 3y-2a b由已知，得6 2b小- 0,2ab即I2a一3門0,i2a b2a -b 0,3a -,2b : 3,2a - b : 0,3a：,由a, b 的實(shí)際意義為 1, 2, 3, 4,2b 3.5, 6,可得a=2,3,，6,共有 5 乂 2= 10 種情況；或a=1,共 3 種情況. b =1,2, b = 4,5,6,又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共 6X6 = 36 種情況，故所求的概率為 蘭364如圖 1 所示，在直角梯形 ABCD 中, AB/ DC . B = 90 .動點(diǎn) P 從點(diǎn)B 出發(fā)，沿梯形的邊由 BDA 運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)

4、P 運(yùn)動的路程為 x, ABP 的面積為 y.把 y 看作 x 的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖 2 所示，則 ABC 的面積為（）.(A) 10 (B) 16 (C) 18 (D) 32圖 2（第4題）1解：根據(jù)圖像可得 BC= 4, CD= 5, DA= 5,進(jìn)而求得 AB= 8,故SMBC= X8X4= 16.25.關(guān)于 x, y 的方程x2xy 2y2=29的整數(shù)解（x, y）的組數(shù)為（）.（A） 2 組（B） 3 組（C） 4 組（D）無窮多組【答】C.解：可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為x2yx （2y29H0.由于該方程有整數(shù)根，則判別式: 0,且是完全平方數(shù).由2 2 2 21

5、16 ：= y -4（2 y -29） = -7y 116 0 ,解得y0,且使方程有實(shí)數(shù)根，即掄-(2t -1)2-2(3t2-6t 4)=-2t2870,.ACB =45 , 得 CF= x,于是 BF= 20-x.由于 EF/ AC,所以 巨=聖，即AC BC 152010. 10 個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲游戲的規(guī)則10是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的出來若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào) 3 的人心里想的數(shù)平均數(shù)報(bào)是【答】-2 .解：設(shè)報(bào) 3 的人心里想的數(shù)是x,則報(bào) 5 的6(第10題)人心里想解：1.聯(lián)立y =x2與

6、 y =(2t-1)x-c，消去 y 得二次方程x2-(2t-1)x c = 01有實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1x2= 2t -1,X1X2=c .所以x1x2(xX2)2-(X；X；)10 分解不等式得t 1 解不等式得 2 -2 2所以，t 的取值范圍為2一空t2 2.2 2.15 分131由式知 C 二一(3t2-6t 4) =3(t -1)2.222由于 c=3(t-1)2在22t2丄2時(shí)是遞增的，所以，當(dāng)t=22時(shí)，2 2 2 2 23422111-642“ 八Cmin(21). . 20 分222412已知正整數(shù)a滿足 192a3191,且 a : 2009，求滿足條件的所有可能的正整

7、數(shù)a的 和.解：由 192a3191 可得 192a3-1 .192=3 26，且 a3-1 二 a -1 la(a 1) 1l-(a-1)a(a 1) (a-1). . 5 分因?yàn)?a(a +1 )+1 是奇數(shù)，所以 26a3-1 等價(jià)于 26a -1，又因?yàn)?3 (a -1)a(a +1)，所以3a3-1 等價(jià)于 3a-1 .因此有 192a-1,于是可得 a=192k+1. . 15 分又0 .a : 2009，所以 k=0,1,|，0 .因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)a的和為 11 + 192 (1 + 2+ + 10) =10571. . 20 分13. 已知 AB 為。O 的直徑

8、，弦 DC/AB，連接 DO .過點(diǎn) D 作DO 的垂線，與 BA 的延長線交于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作 AC 的平行線交CD 于點(diǎn) F ,過點(diǎn) D 作 AC 的平行線交 BF 于點(diǎn) G .求證：AG BG .證明：連接 AD, BC，因?yàn)樗倪呅?AEFC 是平行四邊形，所以 AE=FC .由于 AD 二 CB, DAE - BCF，因此有 DAE 也丄 BCF，于是可得ADE CBF . . 10 分又因?yàn)?DE 與。O 相切于點(diǎn) D，所以.DCA- ADE .結(jié)合 DG / AC，可得GDC DCA ADE GBC ,于是 D, B, C, G 四點(diǎn)共圓.因此點(diǎn) G 在。O 上，從而有 AG BG . . 20 分（第13題）14.n 個(gè)正整數(shù) 印，a?,an滿足如下條件： 仁q：a?：11（：%=2009;且內(nèi)，a?,an中任意 n 1 個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求n 的最大值.解：設(shè)a, a?, ,an中去掉a后剩下的 n1 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)b,即b_ia?川 an) - ain -1于是，對于任意的 K i：j n-1 n -1 川 n-1 = (n-1)?,所