保險精算 第3章2 生命表

1、第三章第三章生命表基礎(chǔ)生命表基礎(chǔ) 參數(shù)模型的問題 至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。前至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。前面四個常用模型的擬合效果未令人滿意。面四個常用模型的擬合效果未令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差的誤差. 還好，精算師可以依賴另一種描述壽命分布的工具還好，精算師可以依賴另一種描述壽命分布的工具,即生命表即生命表.生命表起源生命表起源生命表的定義生命表的定義根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表成的由每個

2、年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發(fā)展歷史生命表的發(fā)展歷史1662年年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。生命表的最早起源。1693年，年，Edmund Halley,根據(jù)根據(jù)Breslau城出生與城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的

3、特點與原理生命表的特點與原理生命表的特點生命表的特點 構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）原理原理在大數(shù)定律的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年在大數(shù)定律的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）生命表的種類生命表的種類 生命表一般分為生命表一般分為1.國民生命表（國民生命表（national life table）2.經(jīng)驗生命表（經(jīng)驗生命表（experience life table） 國民生命表是以全體國民或特定地區(qū)的人口生國民生命表是以

4、全體國民或特定地區(qū)的人口生存狀況統(tǒng)計資料編制成的存狀況統(tǒng)計資料編制成的 經(jīng)驗表是人壽保險公司依據(jù)過去其承保的被保經(jīng)驗表是人壽保險公司依據(jù)過去其承保的被保險人實際的生存狀況統(tǒng)計資料編制的。險人實際的生存狀況統(tǒng)計資料編制的。在同一時期內(nèi)，在同一時期內(nèi)，國民生命的死亡率一般要高于經(jīng)驗表的死亡率。國民生命的死亡率一般要高于經(jīng)驗表的死亡率。1.完全生命表（完全生命表（complete life table）2.簡易生命表（簡易生命表（abridged life table） 完全生命表是根據(jù)準(zhǔn)確的人口普查資料，依完全生命表是根據(jù)準(zhǔn)確的人口普查資料，依年齡分別計算死亡率、生存率、平均余命等年齡分別計算死亡

5、率、生存率、平均余命等生命函數(shù)而編制的。生命函數(shù)而編制的。 簡易生命表則采取每年的人口生存狀況動態(tài)簡易生命表則采取每年的人口生存狀況動態(tài)統(tǒng)計資料和人口抽樣調(diào)查的資料，按年齡段統(tǒng)計資料和人口抽樣調(diào)查的資料，按年齡段（如（如5歲或歲或10歲為一段）計算的死亡率、生歲為一段）計算的死亡率、生存率、平均余命等生命函數(shù)。存率、平均余命等生命函數(shù)。 國民生命表國民生命表經(jīng)驗生命表可分為經(jīng)驗生命表可分為 終極表（終極表（ultimate table） 選擇表（選擇表（select table） 總合表（總合表（aggregate table）等。）等。 終極表是指剔除了被保險人投保后終極表是指剔除了被保險人

6、投保后5至至15年年的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，根據(jù)被保險人最終的死亡率編的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，根據(jù)被保險人最終的死亡率編制的生命表，也就是按照承保選擇的影響消制的生命表，也就是按照承保選擇的影響消失后的死亡率來編制生命表。失后的死亡率來編制生命表。1958年美國保年美國保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表是一種終極生命表。險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表是一種終極生命表。經(jīng)驗生命表經(jīng)驗生命表 選擇表是一種不同與終極表的生命表。在人壽選擇表是一種不同與終極表的生命表。在人壽保險的承保過程中，經(jīng)過體檢等選擇的被保險保險的承保過程中，經(jīng)過體檢等選擇的被保險人的死亡率等風(fēng)險低于一般人口的風(fēng)險，而且人的死亡率等風(fēng)險低于一般人口的風(fēng)險，而且最近幾年選

7、擇的被保險人的死亡率風(fēng)險低于前最近幾年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險低于前些年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險，考慮到這些年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險，考慮到這種選擇因素的影響之后編制的生命表稱為選擇種選擇因素的影響之后編制的生命表稱為選擇表。表。 總合生命表是指不考慮保險契約有效后經(jīng)過的總合生命表是指不考慮保險契約有效后經(jīng)過的年數(shù)，以整個保險期間為對象，根據(jù)不同年齡年數(shù)，以整個保險期間為對象，根據(jù)不同年齡的被保險人的死亡率數(shù)據(jù)編制的生命表。的被保險人的死亡率數(shù)據(jù)編制的生命表。 經(jīng)驗生命表經(jīng)驗生命表由于根據(jù)人壽保險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的生命表不適用于由于根據(jù)人壽保險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的生命表不適用于年金保險，壽險

8、公司常常要結(jié)合預(yù)測的將來較低的年金保險，壽險公司常常要結(jié)合預(yù)測的將來較低的死亡率為年金保險專門編制一份年金生命表。死亡率為年金保險專門編制一份年金生命表。人壽保險所使用的生命表一般都是靜態(tài)表，隨著社會人壽保險所使用的生命表一般都是靜態(tài)表，隨著社會科技與經(jīng)濟的發(fā)展，死亡率逐步降低，要定期地用科技與經(jīng)濟的發(fā)展，死亡率逐步降低，要定期地用根據(jù)較近經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的靜態(tài)表代替原來的靜態(tài)表。根據(jù)較近經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的靜態(tài)表代替原來的靜態(tài)表。 例如：美國例如：美國19801980年保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表已取代年保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表已取代了了19581958年保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表。該表是根據(jù)年保險監(jiān)督官標(biāo)

9、準(zhǔn)普通生命表。該表是根據(jù)19701970年至年至19751975年的死亡率數(shù)據(jù)編制而成的，分為男年的死亡率數(shù)據(jù)編制而成的，分為男性生命表和女性生命表，顯示了較低的死亡率。性生命表和女性生命表，顯示了較低的死亡率。 3.2.2 生命表的內(nèi)容生命表的內(nèi)容基數(shù)基數(shù): 在生命表中在生命表中,首先選擇初始年齡且假定在首先選擇初始年齡且假定在該年齡生存的一個合適的人數(shù)該年齡生存的一個合適的人數(shù). 一般一般0為初始年齡為初始年齡,基數(shù)用基數(shù)用 表示表示需要規(guī)定極限年齡需要規(guī)定極限年齡,用用 表示表示0l：年齡：年齡：生存數(shù)，指從初始年齡至滿：生存數(shù)，指從初始年齡至滿 歲尚生存的人。歲尚生存的人。（1） 表示

10、自出生至滿表示自出生至滿 歲尚存活人數(shù)的期望值。歲尚存活人數(shù)的期望值。（2） 連續(xù)函數(shù)，隨年齡連續(xù)函數(shù)，隨年齡 增加而遞減。增加而遞減。（3）通常令）通常令 人為基數(shù)，人為基數(shù)， 。 生存函數(shù)生存函數(shù) 表示生存至表示生存至 歲的生存概率。歲的生存概率。則所有則所有 人在人在 歲時有歲時有 人仍生存。人仍生存。常用符號常用符號xxlxxxxxxlxl7010l)(xS0l)(0 xSl )(0 xSllx0l死亡數(shù)死亡數(shù) ：死亡數(shù)，指：死亡數(shù)，指 歲的人在歲的人在1 1年內(nèi)死亡的人數(shù)。年內(nèi)死亡的人數(shù)。即即 歲的生存數(shù)歲的生存數(shù) 人中經(jīng)過一年死亡的人數(shù)。人中經(jīng)過一年死亡的人數(shù)。（1 1） 稱為稱為

11、 歲的死亡人數(shù)，是歲的死亡人數(shù)，是 中自中自 歲到歲到 歲間死亡的人數(shù)。歲間死亡的人數(shù)。（2 2）xxdxlxxx1xxdxlxxxxllld1xxql 生存率與死亡率生存率與死亡率 ：死亡率：死亡率(1)表示表示 歲的人在一年內(nèi)死亡的概率歲的人在一年內(nèi)死亡的概率.(2) ：生存率：生存率(1)表示表示 歲的人在一年后仍生存的概率歲的人在一年后仍生存的概率即即 歲時仍生存的概率歲時仍生存的概率.(2)(3)xqxpxx1xxxxxxxlllldq1xxxxllqp111xxqp ： 歲的人在歲的人在n年后仍生存的概率年后仍生存的概率.(1)概率乘積概率乘積.(2)xnpxxnxxnllp112

12、1nxnxxxxxllllll121nxxxxppppxnmpxnmxllmxnmxxmxllllmxnxmppxnp ： 歲的人在歲的人在n年內(nèi)死亡的概率年內(nèi)死亡的概率.(1)(2)xnqxxnxxnxnllpq11xnxxlll1xnxnqpxnxnxxxxxlllllll1211xnxxxxldddd121xnxxxqqqq| 1| 2| 110|ntxtqxnq概率之和概率之和 歲的人在歲的人在 與與 歲之間死亡的概率歲之間死亡的概率xxnmxmxxnmlllq|xnmxmxmxlddd111|nmmtxtqxnmq|mxnmxxnmxmxnmppq|xmxnmqq mxnxmqp時，

13、當(dāng)1nxmxmxmppq1|mxxmqpmxxnmxxmpmxnq0例例3.1已知已知 計算下面各值：計算下面各值：（1）（2）20歲的人在歲的人在5055歲死亡的概率。歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。）該人群平均壽命。)1001 (10000 xlx30103030302030,qqpd例例3.1答案答案503030312030303060404130303010303050552030 520010000001100 5 / 7 3 / 7 1/ 702 1/163 (1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle、練習(xí)：練習(xí)：已知已知20歲的生存人數(shù)為歲的生存人數(shù)為1

14、000人，人，21歲的生存歲的生存人數(shù)為人數(shù)為998人，人，22歲的生存人數(shù)為歲的生存人數(shù)為992人。試人。試求求20歲的人在歲的人在21歲那年死亡的概率，即歲那年死亡的概率，即解：20|1q202120| 1ldq 202221lll 1000992998006. 0 ：現(xiàn)年：現(xiàn)年 歲的人尚可再生存若干年的平均歲的人尚可再生存若干年的平均數(shù)數(shù)(1)每一個到達每一個到達 歲的人今后可生存的平均年歲的人今后可生存的平均年數(shù)數(shù).(2)假定死亡者都在年初死亡假定死亡者都在年初死亡,則則 歲后的第一年全體生存的年數(shù)共歲后的第一年全體生存的年數(shù)共 第二年全體生存的年數(shù)共第二年全體生存的年數(shù)共依此類推依此

15、類推,此此 歲人總生存年數(shù)為歲人總生存年數(shù)為xex平均余命或生命期望值平均余命或生命期望值xxx1xl2xlllllxxx321平均余命為平均余命為(3)實際上不可能所有人在年初死亡實際上不可能所有人在年初死亡,假定假定1 年內(nèi)年內(nèi)死亡人數(shù)呈均勻分布死亡人數(shù)呈均勻分布.定義定義稱為完全平均余命或完全生命期望值稱為完全平均余命或完全生命期望值.xxxxxllllle321平均余命或生命期望值平均余命或生命期望值5 . 0 xxoee多活半年多活半年有趣的結(jié)論有趣的結(jié)論1. 為余命的數(shù)學(xué)期望為余命的數(shù)學(xué)期望2. 為取整余命的數(shù)學(xué)期望為取整余命的數(shù)學(xué)期望100( )xkxx kkxkkeE K xkpqp00( ( )(1)oxtxtxeE T xtdpp dtoxexe練習(xí)：練習(xí)： 某個生命表的一部分某個生命表的一部分年齡年齡 未來一年內(nèi)死亡概率未來一年內(nèi)死亡概率30 0.0013331 0.0013432 0.0013733 0.0014234 0.0015035 0.0015936 0.0017037 0.0018338 0.0019739 0.00213xxq34q,34p：有用的概率算出各種342, p34| 2q342, q練習(xí)：練習(xí)：設(shè)