名校歷年考研數(shù)學(xué)專業(yè)試題及答案高等代數(shù)數(shù)學(xué)分析考研真題答案

1、s亠=特別說(shuō)明此資料來(lái)自豆丁網(wǎng)( )您現(xiàn)在所看到的文檔是使用 下載器所生成的文檔此文檔的原件位于感謝您的支持抱米花二IMI flMl 三勤徑論壇 bbs.qinjing.cc浙江大學(xué)1999年研究生高等代數(shù)試題一4是兀個(gè)不相同的整數(shù),證明f(x) = (x-a)(x-2)-(x-an) + l在有理數(shù)域上可約的充分必要條件是/(%)可表示為一個(gè)整數(shù)多項(xiàng)式的平方a2,Ra1 a =0, R(l) En -aa2)En-aarYx勤徑論壇 bbs.qinjing.cc勤徑論壇 bbs.qinjing.cc(其中E為階單位陣，/為q的轉(zhuǎn)置)三矩陣4是行滿秩(g|W = m),證明存在可逆陣0,使得A

2、 = (Emfi)Q存在矩陣必/使得AB = Em四. 設(shè)階方陣A滿足A2 = A,是嚴(yán)中個(gè)線形無(wú)關(guān)的列向氐設(shè)匕是由,使得WWW.人務(wù)“勺，,人匕生成的子空間，嶺是AX=O的解空間，證明：Pn=V匕(必嶺五.設(shè)4B都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且B正定，則存在SRD =A = SDSt9B = SSj都有|2|12。= 1為六.設(shè)階矩陣A = (.),滿足下列條件：)06Z. 1,V/J9T =(7 ,A是兀階正定陣，卩=99丿宀丿求證：(1) A的每一個(gè)特征值幾A的一個(gè)特征勤徑論壇 bbs.ninjing.cc求證：(1)07 A0)2 aTAapr A/3)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Q與0線形相關(guān)時(shí)成立(2)若

3、4是正定矩陣，則aT AP)2 0時(shí)連續(xù)，/(I) = 3 ,并且= xj3 +,痰7(屜(勸)惟隊(duì)Limf (xn) = A(n - oo)及Limfiyn) = B(n T oo),則對(duì) A, B 之間的任意數(shù)“,六.可找到數(shù)列兀“TQ,nn c設(shè)0 a上使得 Limf(zn) = JLi七.ZS結(jié) 1 一色 nSnh a設(shè)函數(shù)/在。上上連續(xù)，比0,記九=/(d + ”)0“=，試證明： n1 M=exp In fx)dxn T oo)并利用上述等式證明F式b-aJa#勤徑論壇 bbs.ninjing.cc12兀0ln(l-2rcosx + rXx = 21nr (r 1) 2兀J。八.從

4、調(diào)和級(jí)數(shù)1 + - + - + - + - +中去掉所有在分母的十進(jìn)表示屮含數(shù)碼923 n的項(xiàng)，證明由此所得余下的級(jí)數(shù)必定是收斂的浙江大學(xué)二O O O年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：高等代數(shù)、（20分）兀勸是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式g（x） G Px,且與ZXx）有一個(gè)公共復(fù)根,證明/（x）|g（x）；（2）若c及丄都是幾力的根，方是/（力的任一根，證明丄也是/的根.cb211201000000二、（10分）計(jì)算行列式2 = r000 121000 012三、（20 分）: 夕一 二:.（1）A是正定陣，C是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在可逆矩陣P使得P XAP,P CP同時(shí)為對(duì)角形；（2）A是正

5、定陣，是實(shí)矩陣，而是實(shí)對(duì)稱的，證明：正定的充3勤徑論壇 bbs.ninjing.cc#勤徑論壇 bbs.ninjing.cc五、（10分）證明：料階幕零指數(shù)為的矩陣都相似. jk J z（若= 0 ,礦彳工0而稱A的幕零指數(shù)為1）六、（20分）設(shè)是維歐氏空間V的線性變換。對(duì)任意都有（A（G）,0）=aB（0）。證明：人的核等于的值域的正交補(bǔ).浙江大學(xué)2000年研究生數(shù)學(xué)分析試題一.（共10分）求極限lim兀 一x5勤徑論壇 bbs.ninjing.cc#勤徑論壇 bbs.ninjing.cc解:原*卿罟冊(cè)（1+M_ 7#勤徑論壇 bbs.ninjing.cc#勤徑論壇 bbs.ninjing.

6、cc兀 兀、設(shè) =a,x = h.xn =曲=2,3,求 limg2“T8M：=-|（xn_1-xn_2）,這可以構(gòu)造成為一個(gè)壓縮映象，則數(shù)列收斂，以下求解就按照xfl -兀I 這個(gè)數(shù)列來(lái)進(jìn)行即可。二(共 10 分)1.設(shè) f(0)=：K,試證明 1 im )二 W k ao -b di-0+證：臥他一/=恤側(cè)7（）+ /（）7（嘰一K aT（r b a“to-方一o+b_ci2.設(shè)/（兀）在0上上連續(xù)，fx）在（Q0）內(nèi)存在，試證明存在$上），使得兀方）+ /一 2幾羅）=廠（0分析：考慮函數(shù)尸（兀）= /（% +呼）一/（兀）即可,2分析：S=2S-S四.（共15分）1設(shè)方程組V),試求如

7、欽舟 v = v(x? y)ox oy00三.（共15分）1.求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)工x+ y + u + v = 0.j確定了可微函數(shù)xsinw + y sin v = 0分析：用隱函數(shù)組的方法求解；飛2.設(shè) F(y)= f77 CS(x2y)dx,求 F(l)Jy x0 / 2Ary五.(共30分)分析：F（滬yy1a2a2 27 2= J cosy / -cosyr0兀 xsin cosx1-計(jì)算定積分F l + cA；dx7勤徑論壇 bbs.ninjing.cc分析：令 t=cosx, 1=0o2.求以曲而z =為頂，以平而z = 0為底，以柱而x2 + y2=l為側(cè)而的曲頂柱體的體積V分析：V

8、= JJzdxdy,其中 z = exyl , D=(x,y)| 0x2 + y2 1.D3.設(shè)工*表示半球而z = A/l-x2-y2（x2+y2 1）的上側(cè)，求第二類曲而積分=jj(x+ y)z2dydz + (x2y- 2z)dzdx + (2兀 + z)y2dxdy分析：使用高斯公式，則J=乎.六.（共20分）1.將函數(shù)/（x） = |x| （-7U x7T）展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù) 分析：直接使用Fourier的定義公式; 12級(jí)數(shù)的和分析：使用幕函數(shù)中的公式求解；3. 計(jì)算廣義積分0 兀/In1-r+ l? 浙江大學(xué)二oo二年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：高等代數(shù)（12分）設(shè)

9、兩個(gè)多項(xiàng)式/（兀）和g（兀）不全為零。求證：對(duì)于任意的正整數(shù)有(/r=(/(x)g(xy)o二、(12 分)設(shè)S” =兀：+ 兀；+ 兀；伙= 0,1,2,)；a. =_2(/,7 = 1,2,) o 三、（12分）設(shè)是級(jí)矩陣，且A + B = AB.求證：AB = BA.計(jì)算行列式:如如%a2nnn四.（12分）設(shè)A是tnxn級(jí)陣，A的秩為加，B是nx（n-m）級(jí)矩陣，B的秩為n-m,fLAB = ；7o這里維列向量是齊次線性方程組AX = 0的解，求證：存在唯一的n-m維五、（11分）求loses），匕二U久02）的和與交的基與維數(shù)。其中e = (t 2,-1,-2)oo求 /(n)(0)

10、, (n = 0, 1, 2,)，/(0) = 0 , /(x) = e (當(dāng) x#0 時(shí))。 求不定積分J J1+ X也O(E) (5%)證明：g(x)=Y在(1,8)上連續(xù)可微。緒滬1 a；三、(共20%)(A) (10%)求第一型曲而積分/= ff /d一 =,其中hwRx2+y2+z2R2 y)x2 + y2 +(z h)2(B) (10%)設(shè)。、b、c為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程ex =ax2 +bx + c的根不超過(guò)三個(gè)。(A) (10%)對(duì)任意口然數(shù)/n方程/Jx) = l在0,兀/3)內(nèi)有且僅有一個(gè)正根;(1)13勤徑論壇 bbs.qinjing.ee(1)#勤徑論壇 bbs.qin

11、jing.ee(B) (10%)設(shè)丘0,1/3)是九(兀)=1 的根，貝ijlimxn =兀/3。2. (20 分)設(shè)有分塊矩陣B、0其中都可逆，試證:“T8浙江大學(xué)2003年研究生高等代數(shù)試題1. (20分)令少心,是川中s個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。證明：存在含個(gè)未知量的齊次線性方程組，使得0,勺，匕是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(1)#勤徑論壇 bbs.qinjing.ee(1)#勤徑論壇 bbs.qinjing.ee= det(A-BZ)-,C)detD；(1)#勤徑論壇 bbs.qinjing.cc15勤徑論壇 bbs.qinjing.cc(2) (A-BDC) = AT-/TB(CAB-DyC。3 .

12、 ( 20分)設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間，afa2,a3,a4 eV ,W = L（aa29a39a4）9又有隊(duì)屮3 且，角線性無(wú)關(guān)。求證：可用幾，角替換al9a2,a3,a4中的兩個(gè)向量旳。遼，使得剰卜的兩個(gè)向量Q與0i，02仍然生成子空間W,也即W=Lj32,ai3,ai4)o4. （20分）設(shè)A為階復(fù)矩陣，若存在正整數(shù)使得川=0,則稱A為幕零矩i - 陣。求證：打（1）A為慕零矩陣的充要條件是A的特征值全為零；（2）設(shè)A不可逆，也不是幕零矩陣，那么存在階可逆矩陣P,使得 P-AP = （B 其中是幕零矩陣，C是可逆矩陣。W c）證明：（1） %,嶺都是卩的子空間；（2） 7 = 卩2。7.

13、 （10分）設(shè)/（兀）是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。證明：若存在一個(gè)偶數(shù)Q及一個(gè)奇數(shù)方，使得T與/（b）都是奇數(shù)，則/（力沒(méi)有整數(shù)根。8. （10分）,匕是維歐氏空間V的子空間，且的維數(shù)小于嶺的維數(shù),證明：匕屮必有一個(gè)非零向量正交于匕屮的一切向量。9. （10分）設(shè)A = （a.）nxn是可逆的對(duì)稱實(shí)矩陣。證明：二次型的矩陣0/（兀!，）=11是A的伴隨矩陣A*。 annnn浙江大學(xué)2003年研究生數(shù)學(xué)分析試題1. （15分）敘述數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理，并證明之。2 . （ 15分）設(shè)f（x）在d5oo上一致連續(xù)，0（兀）在a,co上連續(xù)，且（兀）-卩（兀）=0 oX8證明:0（兀）在8上一

14、致連續(xù)o3. （15分）設(shè)兀兀）在a,oo有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f0,廣0,當(dāng)兀a時(shí)/T,（x）0o證明：在d，oo內(nèi)，方程/（x） = 0有且只有一個(gè)實(shí)根。4.并討論0（兀）W=Tn1心2,歸,2,.dxn（20分）設(shè)/Xx）連續(xù)，0（兀）=/（竝）出，且lim蟲(chóng)衛(wèi)=4 （常數(shù)），求（p x）, JOx-0 兀mk證明：化（兀）血r、2m +16. （10分）給出Riemann積分/G）血的定義，并確定實(shí)數(shù)s的范圍使卜列極限收斂lim V （丄） 丄o is 苗 n n7. （20分）證明:1)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)y-2在(-00,00)上一致收斂，但是對(duì)任意X G (-00, 00)非絕畚72 +兀對(duì)收

15、斂;0 22)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 乂 2“對(duì)任意X e (-500)都絕對(duì)收斂，但在(-8,8)上非 n= (1 + X )一致收斂。1 ns-tidt ；owi Jo8. (45分)計(jì)算1) (15 分)max2) (15分)半竺卑，其中D為平面曲線x = l, = 3,/=x,/=3x所圍成 習(xí) y +巧V# u1 2 2 2l-x -y -zx2 + y2 + z2 1的有界閉區(qū)域。3)(15 分)jj f(x,y,z)AS，其中 f(x, y,z) =x+y+z=l浙江大學(xué)-OO四年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題b b : b1 b ba b考冊(cè)目：高等代數(shù)a b1)Dn =J / Pt KL 4

16、： z 奄=(d + (n - 1)Z?)=(Q+(一l)b)0a -b0 ba0000a-b0b-ab-a a-bb-a J=(a +(n -1)方) 0b-aa-b0 0b-a.0b-a00 0b-a 0h-an(n-3)b0a-b005 -1)(川一2)=(1)(a + S _ 1(Z? - a)(a- b2 = (-1) (a - b)n + nb(a -對(duì)門(mén)19lb徑淪壇 bbs.qinjing.cc123n-1n123n-1n234 n1134n1345. 12n(n +1)145 12 2 n12 n 2n 1112 n 2n 12)Dn =n(n +1)2n-1-nn-n1n(

17、n +1)21-n11-n1101-n1 11-n11 Y 1-M111 11-n11NJI .ar4w鴛1-1000 -nn00：0-n0000 0nn(n + l)0VO0 00J4 2 fS -n00 0n-n 00 001n(n + l)2=(_1)嚀23. (16 分)設(shè) A, B g Pnxn,求證：(AB)* = B*A*of wF MB ：iilb徑淪壇 bbs.qinjing.cciilb徑淪壇 bbs.qinjing.cc證明：(1)當(dāng)AB 0時(shí)，這時(shí)有國(guó)工0,罔工0,由公式A*=|A|A-*,可得(AB)* = AB(ABY =B B1 |A| A1 = B*A* 結(jié)論成

18、立(2)當(dāng) AB =0時(shí)，考慮矩陣= B 由于A、最多只有有限個(gè)特征值，因此存在無(wú)窮多個(gè)2,使得A(2)工0, B(2) hOiilb徑淪壇 bbs.qinjing.cciilb徑淪壇 bbs.qinjing.cc那么有上面(1)的結(jié)論有(A(2)B(2)* = (B(/l)*(A(2)*ii勤徑論壇 bbs.qinjing.ee令(A(2)B(A)* =(2)nxn, (B(2) * (A(A)* = (g)nxn由式有心弋)由于有無(wú)窮多個(gè)兄使式成立，從而有無(wú)窮多個(gè)；I使式成立，但 fijgyW都是多項(xiàng)式，從而式對(duì)一切2都成立。特別令;1 = 0,有(AB)* = (A(O)B(O)* =

19、B*(0)A*(0) = B*A*o 證畢4.(題(1)為15分，題(2)為5分，共20分)實(shí)二次型 /(x1?x29x3) = x)2 +ax22 + x32 + 2bxx2+2xx3 + 2x2x3 經(jīng)正交線性替換(xvx29x3)t =P(yuy29y3y 化為標(biāo)準(zhǔn)型才 + 2擴(kuò)。(1)求及正交矩陣P;(2)問(wèn)二次型/是正定的嗎？為什么？05. (16分)設(shè)A, B g Pnxn且秩(A) +秩(B)Ho證明：存在階可逆矩陣M使 得 AMB = 0。證明：設(shè)矩陣A, B的秩分別為斤上。對(duì)于矩陣A, B,存在著可逆的(AQ)(P2B) = AQP2B = p-Ar人八0=0,令=則有4MB

20、 = 0成立。6.(16分)設(shè)A是階復(fù)矩陣，且存在正整數(shù)加使得Am=E (這里E是階單 位陣)。證明：A與對(duì)角矩陣相似。7(每小題9分，共18分)設(shè)V = Pnxn看成P上的線性空間。取定A.B.C.De 嚴(yán)o 對(duì)任意X = Pnxn,令cr(x) = AXB + CX+XD o 求證：(1) b 是V 的線性變換；(2)當(dāng)時(shí)C = D = 0 , o可逆的充要條件是AB 0 8. (16分)設(shè)o是線性空間V的線性變換且cr2=cro令V, =t(V),V2=Ct-,(0)o證明：V = V；且對(duì)每個(gè)CFGV；有b(d) = d9. （16分）設(shè)V是維歐氏空間，衛(wèi)是V的子空間，且dimV, d

21、et A2 det A3 det A4 而秩A是有限數(shù)，上面的不等式不可能無(wú)限不等下去，必然存在一個(gè)正整數(shù)in,使det A = det Aw+1浙江大學(xué)二O O四年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析亍一.（15分）設(shè)函數(shù)于（兀）在區(qū)間X上有定義。試證明：蘆（兀）在X上一致連續(xù)的充要條 件是對(duì)區(qū)間X上任意的兩數(shù)列%；與%；,當(dāng)limCV-兀）=0時(shí),有7J8lim(/(x/)-/(x) = Oo三（15分）設(shè)函數(shù)/（兀）在區(qū)間上上可微，且/（兀）在a點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)/；!（tz）0,在b 點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)力（方）0, /=f（b） = c.證明：廣（對(duì)在上）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。四.（15分）設(shè)函數(shù)

22、/（兀）在區(qū)間a,b Riemann可積，且f /（x）dxOo試證明：存在閉區(qū)間阪0 u 話使得當(dāng)x g a, 0時(shí)，f（x） 0,使 得0,1中任何兩點(diǎn)兀，?！睗M足比-卸v/時(shí)，必屬于某個(gè)開(kāi)區(qū)間I/ gZJo六.（15 分）用球而坐標(biāo)x = rsin0cos（p,y = rsinsinz = rcosO變換方程空+駕+空=0dx2 dy2 飯 2七.（10分）計(jì)算：上學(xué)心。Jo 1+ cos X2 2 2八.（15分）求u = x2 + y2 + z2在條件電+與+* = 1下的最大最小值，其中 a b ca h c 0 ojo九.（15分）利用公式-=Q x曠巧dr （x0）計(jì)算積分的值

23、。（說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中每一步的合理性）15勤徑論壇 bbs.qinjing.ee#勤徑論壇 bbs.qinjing.ee十.（20分）（1）設(shè)。為R3中光滑區(qū)域，80為其邊界，u川在G + QG上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。證明：皿（心-皿）dxdyd（“色-卩笛d5 Qg亦血dn其中為沿邊界0Q外法線方向的導(dǎo)數(shù)，dS為邊界上的而積元，人二負(fù)+孚+奚。 onox dy dz(2) PeR3 的坐標(biāo)為 H 聲 r(x,y,z) =-)2 + (y-7)2 + (z-0刀才厶_ J J .廠”+護(hù)曲二、設(shè)/兀）在-1.1 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，/（0） = 0 ,令g（jc）二也，X(兀HO),g(O)*(O),證明

24、1）g（兀）在兀=0處連續(xù),且可導(dǎo)，并計(jì)算g，（0）； 2），（0）在兀=0處也連續(xù).t三、設(shè)九（0 = （1-廠）sinh, （f0），試證明1）函數(shù)序列伉（r）在任一有窮區(qū)間0,A和無(wú)窮區(qū)間0,+oo上均一致收斂于0；0（兀）=J7力- ”（。力,（兀 0）,試證明沢兀）在（0,+oo）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).P 0x 廠#勤徑淪壇 bbs.qinjing.cc#勤徑淪壇 bbs.qinjing.cc五、六、七、r ，:十.* Ji計(jì)算積分 /=| ln(2 cos2 x 4- sin2 xbc,(a 0).試求指數(shù)久，使得-rdx-rAdy為某個(gè)函數(shù)u（兀,y）的全微分，并求u（兀,y）, y

25、 y其中 r = 7x2+?.計(jì)算下列曲線積分和曲面積分1) I = j+42y3zjdx + x-42y)dy + (x+y+z)dz9 其中 c 為 x2 +2y2 =1 與19勤徑淪壇 bbs.qinjing.ee#勤徑淪壇 bbs.qinjing.eex2+2/=-z的交線，從原點(diǎn)看去是逆時(shí)針?lè)较?2) / = xdydz + y2dzdx + z2dxdy, S: (x - of +(-Z?)2 +(z-c)2 = R2.s八、設(shè)un(x) = xninx9xe 041）試討論工un （兀）在（0,1 的收斂性和一致收斂性:n=lnxdx )2 + r丿0= 0,兀0exp、t 0.

26、x 0心)=r(x0)1）討論/（兀）在（0,+00）上的一致收斂性，并證明2）計(jì)算/（兀）.2001年數(shù)學(xué)分析設(shè) a】 =0,an =.(n 2)，求 hman ；4“Toor-KJC* 27T埋心)J e-dx = -1)2)lim x2 +兀TY-o+y3)設(shè)/(x) e,A a b 2）,試證明lim?！?n存在有限、設(shè) g(兀)w CI-p+r), g(0) = 1,令21勤徑淪壇 bbs.qinjing.eeg(0),當(dāng)兀=0時(shí)弘r gG)-cosx,當(dāng)“0時(shí)1）討論/（x）& = 0處的連續(xù)性;2）求廣（并討論廠（兀）在兀=0處的連續(xù)性.三、設(shè)/(x) g CojJ/CO) =

27、0?0 fx) J/(x)3iZx四.求下列積分-KO x 1)計(jì)算反常積分/= e Smxdx；Jo兀2)計(jì)算曲而積分I = x2dydz + y2dzdx + z2dxdy ,其中 S 為錐而1）證明級(jí)數(shù)工（+-百）絕對(duì)收斂; n=023勤徑淪壇 bbs.qinjing.ee#勤徑淪壇 bbs.qinjing.ee+0七、設(shè) /(%0) = jexp02）求級(jí)數(shù)（+】）之和 n=f-dt,其中滿足不等式a2 la + 2 .31）討論含參變量積分/（%0）在區(qū)域D:a2-2a+p2 o,求limMl + d；71001)2)設(shè)旺=V2,xn+1 =J2 + ,( = 1,2,3,),求 l

28、im xn ；n-oc3)(1十 lim I 1 + 兀丿二、過(guò)p(l,o)點(diǎn)作拋物線y =的切線，求:1)2)切線方程；由拋物線、切線及X軸所圍成的平而圖形面積;3)該平而圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。三、對(duì)任一兒，求0=兒兀(1-兀)在(0)中最大值，并證明該最大值對(duì)任一九0,均小于任一宀四、設(shè)f(x)在0,+oo)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且廣(兀)nR0j(0)v0,試證:f(x)在(0,+OO)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。五.計(jì)算下列積分(a0) ,求廠印)和/(I);2s(兀一 +y2 +z_)2的外側(cè)、1)設(shè)/訂噸+血)+ X2六、設(shè)(pn(X)=(l-x)%0xl 心在J,上(R)可積肚，當(dāng)一1

29、兀X2)求lim f1 f(x)(pn(x)dx (要說(shuō)明理由) “TOO J-1七、設(shè)/U) = Sn的收斂半徑人=+，令九二=0、試證明/(AW)在a,b上一致收斂于/(/(%)，其中他b為任一有窮閉區(qū)間.2005年碩士學(xué)位生入學(xué)考試試題(A) 25勤徑論壇 bbs.qinjing.cc考試科目：高等代數(shù)(滿分：150分)選擇填空(2分x 10=20分)1. 歐氏空間的度量矩陣一定是.(A)正交矩陣；(B)正定矩陣；C)上三角矩陣；(D)下三角矩陣.2. 級(jí)實(shí)矩陣A被稱為正交矩陣是指.(A)AA =AA (其+, A是A的轉(zhuǎn)置)；(B) AA=AA = E (其中，E是單位矩陣);(C)=

30、 E (其中，A*是 A 的伴隨矩陣)；(D) AA* =.3. 設(shè)A是復(fù)數(shù)域上線性空間V的一個(gè)線性變換，則在V中必存在一組基，使A在這組基下的矩陣是矩陣.(A)單位；(B)對(duì)角；(C) Jordan (若爾當(dāng))；(D)正交.4. 對(duì)于任意一個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A ,都存在一個(gè)級(jí)矩陣使得廠AT = TAT成為對(duì)角形。(A)上三角；(B)對(duì)稱；C) Jordan (若爾當(dāng))；(D)正交.5. 設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果對(duì)于W中任意向量$有則稱W是A的子空間.(A)非平凡；(B)不變；(C)核；(D)零.6. 對(duì)一個(gè)矩陣A作初等行變換，就相當(dāng)丁在A的邊乘上相 應(yīng)的初等矩陣.

31、廠 一 1(A)左邊；(B)右邊；(C)兩邊；(D)左邊或右邊.(A) |仏冃 A0|；(B)(仏 A0) = (a,0)；(C)= (D) Aa =A/3 |= 1 .I (兀1、今&設(shè)A是數(shù)域P上的SX 矩陣且秩(A) = r , X = X1 .若方程組AX =0有非零解,則它的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為個(gè).(A) n； (B) r； (C) n-r； (D) 0.9. 4是數(shù)域P上的級(jí)矩陣，是A的伴隨矩陣，則=(A)單位矩陣E ； (B) AE ；（C） | A-1 I ; （D）EMJ10. 設(shè)A是數(shù)域P上的矩陣，如果B是級(jí)可逆矩陣，貝IJ秩（A）秩（AB）.（A） ； （D）=.二.（

32、30 分）1. （7分）設(shè)”是奇素?cái)?shù)，試證xp+px + 在有理數(shù)域上不可約.2. （8 分） 判斷 x = 2 是/（x） = x5-6x4 + 1 lx3 一 2x2-12x + 8 的幾重根.3. （5 分）設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，人“2是A的特征值，而且入工人.匕屮匕 分別是對(duì)應(yīng)于入,幾2的特征子空間，試證: 和.4.（5 分）試計(jì)算屮,其屮k是自然數(shù).5. （5 分）設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)3維線性空間，厶,，冬是它的一組基，/是V上的一個(gè)線性函數(shù)，已知/te+3）= 1J -2爲(wèi)）=-1J餡 + 爲(wèi)）=-3.求:用非退化線性變換化下列二次型為規(guī)范形，并寫(xiě)出所作的線性變換:

33、f（x9x2,x3） = xf -x + 2x,x2 +2x2x3四.(10 分)3，試證：r取任何實(shí)數(shù)都不能使A為正定矩陣.設(shè)A = t5五（10 分）a + 0a/30 00、1a + (3a/3 0001a +0 0#勤徑論壇 bbs.qinjing.cc#勤徑論壇 bbs.qinjing.cc九（10分）#勤徑論壇 bbs.qinjing.ccQ上取什么值時(shí)，線性方程組#勤徑論壇 bbs.qinjing.cc3兀1 + 2x2 + 七 + 兀4 一 3兀5 = Q x2 + 2 兀3 + 2兀 + 6 兀5 = 35Xj + 4 兀2 + 3七 + 3耳-兀5 = b有解？在有解的情形

34、求一般解十.（10分）X （叫.=At設(shè)匕=（毎,務(wù)2,）,，T,2r, 0 = （b、,bwbn） ,A = yX = ?，如果線 性方程組AX =0的解全部是bx + b2x2 + bnxn = 0的解.試證0可由al9a2 ,線性表出.十一.（7分）為正定矩陣，其中/是B的轉(zhuǎn)置.WWW.在數(shù)域Pn級(jí)方陣的全體Px“中，求出所有僅與自己相似的方陣設(shè)分塊矩陣證明：1）人可逆乜2）D-BAB 也正定.云南大學(xué)2003年碩士研究生入學(xué)考試試題專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、系統(tǒng)分析與集成 考試科目：數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)一、（15 分）設(shè) f（x）連續(xù)，lim f（x）f nx =,又 f（x）二 f f

35、（tx）dt. （1）求x0xJF （x）;（2）討論F（x）的連續(xù)性。二、（15分）設(shè)f（x）在a,b（a0）上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可微，且f（x）HO,試證：存在點(diǎn)孑，Q e（a, b），使得f（ 3 J三、（20分）設(shè)u = x-2而,y = x + 2仮以u(píng), v為新的自變量，變換方程 ）并求解該方程。dy dy 2 dy四、（15分）設(shè)f（x）在x=0點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 lim= 0,求證：級(jí)數(shù)乞f （丄）絕對(duì)收斂。xto x鋁 n? Z五、（15分）計(jì)算積分T _ fr（x3 +R） dydz + （y3 +2R）dzdx + （z3 +3R）dxdyJxZ+y

36、+z? 其中s是上半球面z = VR2-x2-y2的下側(cè)。（2）試求使CAC為對(duì)角矩陣的C,求An為正整數(shù)）o七、（20 分）設(shè) A, B, C, DePnxn,若A： XtAXB + CX+XD, VXePnxn5 證明：（1） A為P啲線性變換,。 當(dāng)C = D = 0時(shí)，A, B可逆=A可逆。八、（20分）已知:2 20_A= -212 ,求一正交矩陣T,使TAT成對(duì)角形。02011九、（10分）證明：n維歐氏空間中不同基的度量矩陣是合同的。35勤徑論壇 bbs.qinjing.ee勤徑論壇 bhs.qinjing.ee2004年云南大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試試題專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)

37、用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論 考試科目：高等代數(shù)A卷 一 .（20分）令S是一些口階方陣組成的集合，關(guān)于任意A,BwS,ABwS,且（AB）3=BA證明（VA, BgS） AB=BA二、（20分）設(shè)f（x）,g（x）,h（x），k（x）為實(shí)序數(shù)多項(xiàng)式，它們適合下列關(guān)系:(/ +l)h(x) + (x + l)f(x) + (x-2)g(x) = 0 證明：軀)麗都能被宀謹(jǐn)除(+ l)k(x) + (x - l)f (x) + (x + 2)g(x) = 0三、(20分)計(jì)算行列式/社.條件是&其中匕是A相應(yīng)于人的特征向量，i = 12，n#勤徑論壇 bbs.qinjing.ee#勤徑論壇 bbs.q

38、injing.ee六.（20 分）設(shè)f（x5x25x3,x4） = 2XjX2 +2X1X3 +4xjX4 +2x2x35試分別在實(shí)數(shù)域上和 復(fù)數(shù)域上把它化為規(guī)范型，并寫(xiě)出相應(yīng)的可逆線性變換.七、（10分）設(shè)A為半正定矩陣，證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)心應(yīng) + A為正定矩陣.2004年云南大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試試題專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論 考試科目：數(shù)學(xué)分析 求極限（1） limf（x）；（2）limf（x）、(20 分)已知f(x)=,其中apa2/-,an為n個(gè)正實(shí)數(shù), 丿1宀2,x0X8二、（10分）證明：函數(shù)f（x） = excos在（0, 1）內(nèi)非一致連續(xù)。X三、（1

39、0分）求證不等式竺上-,XG（0,-）x tan x2四、（15分）設(shè)y=y（x）是由方程組x = 3t2 +2t + 3所確定的隱函數(shù)，求微分eysint-y + l = 0/五、（15分）設(shè)函數(shù)f（x）在a,b上連續(xù)，在（a,b）莊內(nèi)二階可導(dǎo)，弦AB(A(a, f (a), B(b, f (b)與曲線 y = f(x)相交于點(diǎn) C(c, f (c), c e (a, b),證明:在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f（） = 02和勿 d2u d2i dx dy dy2 dxdy六、（15分）將函數(shù)f（x） = ln（4x-x2）在x=l處展開(kāi)為慕級(jí)數(shù)，并求出莫收斂域。的最大值，并證明不等式枚必

40、2Xn X】+X2+-+Xn七、（20分）設(shè)u*f（xy，2）,其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求繆丸 兄 V、廠n九、(15分)計(jì)算積分jjj(z- y)2 + (y- x)2 + (x- z)2 dxdydz,其中區(qū)域v由不等式 Jx? +y2 z 1 表示 十、（15分）計(jì)算積分I =（y + l）dx+（z+2）dy + （x+3）dz,其中L為圓周孩 2 2 2 _ 口2y ，從x軸正向看去，l為逆時(shí)針?lè)较騲 + y + z = 0北京大學(xué)2005數(shù)學(xué)專業(yè)研究生高等代數(shù)與解析幾何2x + y z = 01.在直角坐標(biāo)系中，求直線八彳 7到平而兀：3兀+ By + z = 0的正交投影軌兀+ y + 2z = l跡的方程。其中B是常數(shù)解:可以驗(yàn)性電71 ,從而/電7141勤徑論壇 bbs.qinjing.ee#勤徑論壇 bbs.qinjing.eex =1 + 3kq才列把Z寫(xiě)成參數(shù)方程：y = 2-5k ,任取其上一點(diǎn)P:（l + 3k,2-5E,町，設(shè)該點(diǎn)z = k 弋# 迸到兀上的