2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修5學(xué)案：2.1數(shù)列(二)

1、能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)自主學(xué)習(xí)第2裁數(shù)列2.1數(shù)列(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)i理解數(shù)列的幾種表示方法,能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列 2 理解遞推公式的含義,答案 63 an= 2n+1- 1511解析Ta1= 3,二 a2= 2a1+ 1 = 7,a3= 2a2+1 = 15,a4= 2a3+1 = 31,a5= 2a4+1 = 63, a5=63.可以看出 an= 21 1 ,二 a8= 29 1 = 511.思考 2 由思考 1，體會(huì)一下數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式有什么區(qū)別？答案 通項(xiàng)公式直接反映了 an與 n 之間的關(guān)系，即知道 n 值，即可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng) 的值 an；遞推公式則是間接反映數(shù)列

2、的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，要求 an，須將前面的各項(xiàng)依次求出才行歹題型探究題型一數(shù)列的函數(shù)特征n*例 1 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=孑旋(n N ),寫出其前 5 項(xiàng)，并判斷數(shù)列an的單調(diào)性.137函數(shù) f(x) = x2 x+ 9= (x+ 2)2+ 4 在1,+s)上單調(diào)遞減,又 f(1) = 70, f(2) = 30, f(3)an，當(dāng) n3, n N 時(shí)，a*+ 1an,即 a1a2a4a5 二數(shù)列an的前 3 項(xiàng)是遞增的，從第 3 項(xiàng)往后是遞減的.反思與感悟(1)判斷數(shù)列的增減性，一般是將其轉(zhuǎn)化為比較相鄰兩項(xiàng)的大小，常用的方法有作差法、作商法，作

3、差法判斷數(shù)列增減性的步驟為：作差；變形；定號(hào)；結(jié)論.作商法適用于各項(xiàng)都是同號(hào)的數(shù)列，且應(yīng)比較比值與1 的大小關(guān)系.(2)求數(shù)列an的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)， 一種方法是利用函數(shù)的最值法；另一種是不等式法， 求最anan+ 1, 來確定，求最大項(xiàng)可由l.anan 1由單調(diào)性來確定最大或最小項(xiàng).車點(diǎn)突破當(dāng) n = 1,2,3,4,5 時(shí),an依次為an+1 an=nn2+ 9n2 n + 9n+ 12+ 9n2+ 9an=an+ 1,小項(xiàng)可由anWan 1來確定.若數(shù)列是單調(diào)的，也可跟蹤訓(xùn)練 1 求例題中的數(shù)列an的最大項(xiàng).解Taia2a4a5 ，1二數(shù)列an的最大項(xiàng)為 a3= 6.題型二遞推公式的應(yīng)用例

4、 2已知數(shù)列 an滿足 anan-1= an-1+ ( 1)n且 d = 1,則旦=.a3已知數(shù)列 an分別滿足 a1= 1, an+1=：；.通過它的前 5 項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是.42*答案(1)3 (2)an=市(n N )解析(1)由 a1= 1 知 a2a1= a1+ ( 1)2，得 a2= 2；31由 a3a2= a2+ ( 1),得 a3= 2；22X2a5=廠尹22*故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= (n N ).n + 1反思與感悟(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法，其作用與數(shù)列的通項(xiàng)公式類似.可以根據(jù)遞推公式依次求得數(shù)列中的項(xiàng)(2)利用遞推公式求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可以幫

5、助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式跟蹤訓(xùn)練 2 數(shù)列an滿足 a1= 1, an+1+ 2anan+1 a*= 0.(1)寫出數(shù)列的前 5 項(xiàng)；由(1)寫出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式.11111解(1)由已知可得 a1= 1 = 1，a2= 3, a3= 5, a4= 7, a5= 9.由(1)可得數(shù)列的每一項(xiàng)的分子均為1，分母分別為 1,3,5,7,9,，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式同理得a4=3,a5=3，故 a231243.(2)a1= 1 = |,2X12a2=322X31a3=2=22+224,12X22a4=1=5,1+226.1為 an=2n 1題型三由遞推公式求通項(xiàng)公式 例 3 試寫出下列數(shù)列的前

6、3 項(xiàng)，猜想 an并加以證明1(1)在數(shù)列 an中，a1= 2, an+1= an+ In(1 + ).已知數(shù)列 an中,ai= 1,且 an+i= 2an( n N ).3解 (1)由題 ai= 2, a2= ai+ In2 = 2 + In2, a3= a2+ ln()= 2 + In3,猜想 an= 2 + lnn(n2).n + 1證明如下：an+1 an=In，., n-an an 1= In (n2),n 1 n 1an-1an2=Inn-2a2- ai= In;.1n n 1當(dāng) n2 時(shí)，an a1= ln(n 1 n2 an= 2+ lnn(n 2).當(dāng) n= 1 時(shí)，a1=

7、2+ In1 = 2,符合上式， an= 2+ lnn(n N ).0 12(2)a1= 1 = 2 , a2= 2a1= 2 , a3= 2a2= 2 ,猜想 an= 2n1(n N ).證明如下:由題意得，an= 2 an1(n 2),-a1= 1 工 0,0,J 2, = 2,an1an2a2= 2a12- p= Inn,anan 1a2n 1 a=2（nan 1an 21ana1= 2n1,an二= 2n-1（n 2） .當(dāng) n= 1 時(shí)，ai= 21-1= 2= 1,符合上式，n 1* an= 2-(n N ).反思與感悟(1)由遞推公式寫出通項(xiàng)公式的步驟1先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前

8、幾項(xiàng)(至少是前 3 項(xiàng)).2根據(jù)寫出的前幾項(xiàng)，觀察歸納其特點(diǎn)，并把每一項(xiàng)統(tǒng)一形式3寫出一個(gè)通項(xiàng)公式并證明(2) 用“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng) an an-1= f(n)(n2)滿足一定條件時(shí)，常用an= (an an1)+ (an-1 an2) + a1累加來求通項(xiàng) an.(3) 用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)-= g(n)(n2)滿足一定條件時(shí)，常用an= 一 乎&1累乘來求通項(xiàng)an-1an1an-21跟蹤訓(xùn)練 3 已知數(shù)列a.中，a1= 1,也=則數(shù)列a.的通項(xiàng)公式是.an2=1an= n12an + 11 an= 2，n2 時(shí)，一=專，an 1232= -I）n1an 1an 2a

9、n 3a12.z1n1,1n1,、小、+ （a2 aan.答案解析an 11 an 21二=1,二=1a2_ 1a1= 2，an 2anan1an=a1（2）= （?） （n2）.當(dāng) n= 1 時(shí)，ai= g)11= (2)0= 1,符合上式,an=(2).易錯(cuò)點(diǎn)忽略 n 的正整數(shù)范圍致誤例 4 求數(shù)列 2n2+ 29n + 3中的最大項(xiàng).錯(cuò)解由已知，得22921an= 2n + 29n + 3 = 2(n ) + 108 石,481 數(shù)列 2n2+ 29n + 3中的最大項(xiàng)為108;.8正解由已知，得22921an= 2n + 29n + 3 = 2(n 4) + 18.29由于 n N ,

10、故當(dāng) n 取距離 羅最近的正整數(shù) 7 時(shí)，an取得最大值 108, 數(shù)列 2n2+ 29n+ 3中的最大項(xiàng)為 a7= 108.壬當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾1.下列四個(gè)命題：1如果已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng);2數(shù)列 3，3,4，5，的通項(xiàng)公式是 an=n+i；3數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；4數(shù)列 1, 1,1, 1,與數(shù)列1,1,1,1,是同一數(shù)列.其中真命題為.(填序號(hào))答案解析 只有正確中，如已知 an+ 2= an+ 1+ an,n + 1a1= 1,無法寫出除首項(xiàng)外的其他項(xiàng) .中 an=,中一 1 和 1 排列的順序不同，即二者n+ 2不是同一數(shù)列2.數(shù)列 2,4

11、,6,8,10,的遞推公式可以是1an= a*-1+ 2( n2)；2an=2an-I(n2)；3ai=2, a*= an-1+ 2(n2);4ai= 2, an= 2an-1(n2).答案3.數(shù)列Xn中，若 xi=1, Xn+1= ；+呂，貝 Vx2017=答案 11解析TX1= 1 , . X2= 2 ,二 X3= 1 ,數(shù)列Xn的周期為 2, J. X2017= X1= 1.n 20112012 2011an=- = 1 +-n詁 2012n .2012當(dāng) n 1,44且 n N*時(shí)，an單調(diào)遞減,當(dāng) n 45 , +)且 n N*時(shí)， an單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù) f(X)=沖11的圖象,x

12、 寸 20125.已知數(shù)列an滿足 a1=1,anan-1=2(n2)，則數(shù)列的通項(xiàng)an=.答案 2n 1解析當(dāng) n2 時(shí)，/ an an-1= 2, -(an an 1) + (an 1 an 2) + + (a3 a2) + (a2 a1) = 22寸2= 2(n 1),(nV)個(gè) an= 2n 1.當(dāng) n = 1 時(shí)，an= 1 適合上式， an= 2n 1(n N ).* 16.已知數(shù)列an，對(duì)于任意的 p , q N，都有ap+aq=ap+q,若a1= 9，則a36=.可知(an)max=a45,(an)min=a44解析 中沒有說明某一項(xiàng)，無法遞推,4中 ai= 2， a2= 4，

13、 a3= 8,不合題意4.數(shù)列 an 中,an=第，則該數(shù)列前100 項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是答案a45,a44解析答案 42解析 由已知得 + ai= ai +1= a2, a2= 9,48冋理a4= 9 ,a8= 9，81ag= a8+1= a8+ ai= 9 + 9= 1a36= 2ai8= 4a9= 4.課堂豐結(jié)-11.an與 an是不同的兩種表示，an表示數(shù)列 ai, a2,，an,，是數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式 而 an只表示數(shù)列an的第 n 項(xiàng)，an與an是“個(gè)體”與“整體”的從屬關(guān)系.2數(shù)列的表示方法：圖象法；列表法；通項(xiàng)公式法；遞推公式法3通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別：通項(xiàng)公式直接反映

14、an和 n 之間的關(guān)系，即 an是 n 的函數(shù),知道任意一個(gè)具體的 n 值，就可以求出該項(xiàng)的值 an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子， 它是數(shù)列任意兩個(gè)（或多個(gè)）相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n 直接得出 an.知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2 ,，n)為定義域的函數(shù) an= f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值2.在數(shù)列an中，若 an+1an，則an是遞增數(shù)列；若 an+1an，則an為遞減數(shù)列; 若 an+1=an,則an為常數(shù)列.思考 1 從定義上看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，表示數(shù)列除可以用通項(xiàng)公式外，還可以有 哪些方法？答案還可以用列表法，圖象法.思考 2 數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別和聯(lián)系是什么？答案 聯(lián)系：若函數(shù) f(x)在1 ,+ )上單調(diào)，則數(shù)列 f(n)也單調(diào).反之不正確，例如 f(x) = (x 5)* 1 2，數(shù)列 f(n)單調(diào)遞增，但函數(shù) f(x)在(1,+8)上不是單調(diào)遞增.4區(qū)別：二者定義不同，函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?D，設(shè) D? I，對(duì)任意馮2 I, 當(dāng)X1f(X2)，則 f(x)在 I 上單調(diào)遞減，若 f(X1)f(X2)，則 f(x)在 I 上單調(diào)遞增，定 義中的X2不能用有限個(gè)數(shù)值來代替.數(shù)列單調(diào)性的定義：只需比較相鄰的