2003-2017年考研數(shù)學(xué)二真題及解析

1、數(shù)學(xué)二歷年考研試題及答案詳解（20032017）2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.（2）設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)滿足且，則（ ）【答案】B【解析】為偶函數(shù)時(shí)滿足題設(shè)條件，此時(shí)，排除C,D.取滿足條件，則，選B.（3）設(shè)數(shù)列收斂，則（ ）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A錯(cuò)；取，排除B,C.所以選D.（4）微分方程的特解可設(shè)為（A） （

2、B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程為：故特解為：選C.（5）設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的，都有，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，所以有，故答案選D.（6）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實(shí)線表示甲的速度曲線（單位：），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位：s），則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】從0到這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當(dāng)時(shí)滿足，故選C.（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（ ）（A

3、） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,因此B正確。（8）設(shè)矩陣,則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1,因?yàn)椋珹可相似對(duì)角化，即由可知B特征值為2,2,1.因?yàn)椋珺不可相似對(duì)角化，顯然C可相似對(duì)角化，但B不相似于C.二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) 曲線的斜漸近線方程為_(kāi)【答案】【解析】 (10) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解

4、析】交換積分次序：.（14）設(shè)矩陣的一個(gè)特征向量為，則【答案】-1【解析】設(shè)，由題設(shè)知，故故.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限【答案】【解析】，令，則有（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，【答案】【解析】結(jié)論：（17）（本題滿分10分）求【答案】【解析】（18）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】?jī)蛇吳髮?dǎo)得： （1）令得對(duì)（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 （2）將代入原題給的等式中，得，將代入（2）得將代入（2）得故為極大值點(diǎn)，；為極

5、小值點(diǎn)，（19）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根?！敬鸢浮俊窘馕觥浚↖）二階導(dǎo)數(shù)，解：1）由于，根據(jù)極限的保號(hào)性得有，即進(jìn)而又由于二階可導(dǎo)，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)，使，即得證（II）由（1）可知，令，則由羅爾定理，則，對(duì)在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個(gè)不同實(shí)根。得證。（20）（本題滿分11分）已知平面區(qū)域計(jì)算二重積分?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?1）（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，點(diǎn)是曲線L: 上任意一點(diǎn)，L在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)，法線與x軸相交于點(diǎn)，

6、若，求L上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)的切線為，令得，法線,令得。由得，即。令，則，按照齊次微分方程的解法不難解出,（22）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，且。證明：若，求方程組的通解。【答案】（I）略；（II）通解為【解析】（I）證明：由可得，即線性相關(guān)，因此，即A的特征值必有0。又因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值，則三個(gè)特征值中只有1個(gè)0，另外兩個(gè)非0.且由于A必可相似對(duì)角化，則可設(shè)其對(duì)角矩陣為（II）由（1），知，即的基礎(chǔ)解系只有1個(gè)解向量，由可得，則的基礎(chǔ)解系為，又，即，則的一個(gè)特解為，綜上，的通解為（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及一個(gè)

7、正交矩陣.【答案】【解析】，其中由于經(jīng)正交變換后，得到的標(biāo)準(zhǔn)形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時(shí)，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，1752016年考研數(shù)學(xué)二真題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）3設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在上（ ）（A）當(dāng)時(shí)， （B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)， （D）當(dāng)

8、時(shí)，4曲線 上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）5設(shè)函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）6設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（ ）（A）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上7行列式等于（A） （B）（C） （D）8設(shè) 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件二、填空題（本題

9、共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 11設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則 12曲線的極坐標(biāo)方程為，則在點(diǎn)處的切線方程為 13一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上，若其線密度，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo) 14設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 三、解答題15（本題滿分10分）求極限16（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值和極小值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域計(jì)算18（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足若，求的表達(dá)式19（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 20（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)

10、，定義函數(shù)列，設(shè)是曲線，直線所圍圖形的面積求極限21（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積22（本題滿分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2） 求滿足的所有矩陣23（本題滿分11分）證明階矩陣與相似2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 下列反常積分收斂的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 函數(shù) 在內(nèi)( )(A) 連續(xù) (B) 有可去間斷點(diǎn)(C) 有跳躍間斷

11、點(diǎn)(D) 有無(wú)窮間斷點(diǎn) (3) 設(shè)函數(shù),若在處連續(xù)則:( )(A) (B) (C) (D) (4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)滿足 ，則與 依次是 ( )(A) (B) (C) (D) (6)設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 設(shè)矩陣,.若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為( )(A) (B) (C) (D) 二、填

12、空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上. (9) 則 (10)函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)_ (11) 設(shè)連續(xù)，若，則 (12)設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則= . (13)若函數(shù)由方程確定，則= . (14) 若階矩陣的特征值為，其中為階單位陣，則行列式 .三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15) (本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，.若與在時(shí)是等價(jià)無(wú)窮小，求的值. (16) (本題滿分10分)設(shè)A>0，D是由曲線段及直線，所圍成的平面區(qū)域，分別表示D繞軸與繞軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求A的值

13、. (17) (本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，求 的極值. (18) (本題滿分10分)計(jì)算二重積分，其中(19)(本題滿分 11 分)已知函數(shù)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？ (20) (本題滿分10分) 已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻該物體溫度對(duì)時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為的物體在的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降至，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至，還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？ (21) (本題滿分10分) 已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是，證明.(22) (本題滿分 11 分)設(shè)矩陣且.(1) 求的值；(2) 若矩陣滿足，為3階單位陣，求.(23

14、) (本題滿分11 分)設(shè)矩陣相似于矩陣.（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角陣. 2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)，當(dāng)時(shí)， （ ）（A）比高階的無(wú)窮小 （B）比低階的無(wú)窮小（C）與同階但不等價(jià)無(wú)窮小 （D）與等價(jià)無(wú)窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設(shè)，則（ ）（）為的跳躍間斷點(diǎn) （）為的可去間斷點(diǎn)（）在連續(xù)但不可導(dǎo) （）在可導(dǎo)設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B）

15、（C） （D）7設(shè)，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 11設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為 13已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為 14設(shè)是三階非零矩陣

16、，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)16（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離20（本題滿分11）設(shè)函數(shù)求的最小值；設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設(shè)曲線L的方程為（1）求L的弧長(zhǎng)（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面

17、圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)22本題滿分11分）設(shè)，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本題滿分11分）設(shè)二次型記（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 ( )(A) 充

18、分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4) 設(shè)則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有則使不等式成立的一個(gè)充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 設(shè), , , ,其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9

19、) 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 .(10) .(11) 設(shè)其中函數(shù)可微，則 .(12) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .(14) 設(shè)為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則 . 三、解答題：15-23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數(shù)，記，(I)求的值;(II)若時(shí)，與是同階無(wú)窮小，求常數(shù)的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

20、的體積.(18)(本題滿分 10 分)計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足方程及,(I) 求的表達(dá)式;(II) 求曲線的拐點(diǎn).(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；(II)記(I)中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設(shè)，(I) 計(jì)算行列式；(II) 當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知，二次型的秩為2，(I) 求實(shí)數(shù)的值；(II) 求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 選擇題：18

21、小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。（1）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，則（ ）（A） （B）（C） （D）（2）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設(shè)函數(shù)，均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）設(shè)，則，的大小關(guān)系為（ ） （A） （B） （C） （D）（7）設(shè)為3階矩陣，將的第2列

22、加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上。（9） 。（10）微分方程滿足條件的解為 。（11）曲線 的弧長(zhǎng) 。（12）設(shè)函數(shù) ，則 。（13）設(shè)平面區(qū)域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分 。（14）二次型，則的正慣性指數(shù)為 。三、解答題：1523小題，共94分。請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本題滿分10分） 已

23、知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。（16）（本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（17）（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求。（18）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若，求的表達(dá)式。（19）（本題滿分10分） （I）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立。 （II）設(shè)，證明數(shù)列收斂。（20）（本題滿分11分） 一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。 （I）求容器的容積； （II）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長(zhǎng)度

24、單位：，重力加速度為，水的密度為）（21）（本題滿分11分） 已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計(jì)算二重積分。（22）（本題滿分11分） 設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示。 （I）求的值； （II）將用線性表示。（23）（本題滿分11分） 設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，且。 （I）求的所有的特征值與特征向量； （II）求矩陣。2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一選擇題(1)A0 B1 C2 D32.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A B C D(1)A4e B3e C2e De4.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性A僅與取值

25、有關(guān) B僅與取值有關(guān)C與取值都有關(guān) D與取值都無(wú)關(guān)5.設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設(shè)向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無(wú)關(guān)，則 B若向量組I線性相關(guān)，則r>sC若向量組II線性無(wú)關(guān)，則 D若向量組II線性相關(guān)，則r>s(A) 設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_(kāi)11. 函數(shù)12.13. 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為_(kāi)14. 設(shè)A

26、，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說(shuō)明理由. (2)記求極限17. 設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程18. 一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓?，F(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.23.設(shè)，正交矩陣Q使得為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

27、符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（ ）1.2. 3.無(wú)窮多個(gè).（2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（ ）. .（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（ ）不是的連續(xù)點(diǎn).不是的極值點(diǎn). 是的極大值點(diǎn). 是的極小值點(diǎn).（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（ ）. . .（5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，則在區(qū)間內(nèi)（ ）有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn).無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn). 有極值點(diǎn)，有零點(diǎn).無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn).（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：1-2023-1O則函數(shù)的圖形為（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）設(shè)、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣

28、。若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ ）. .（8）設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則為（ ）. .二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為 （10）已知,則 （11） （12）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則 （13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 (14)設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于，則 三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10 分）計(jì)算不定積分 （17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與（18）

29、（本題滿分10分）設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)過(guò)的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且。（22）（本題滿分11分）設(shè)，（）求滿足的所有向量（）對(duì)（）中的任一向量，證明：線性無(wú)關(guān)。（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規(guī)范形為，求的值。

30、2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）0 1. 2 3（2）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（ ）曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（ ） （5）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂.若收斂，則收斂.若單調(diào)，則收斂.（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則 （7）設(shè)為階非零矩陣，為階單

31、位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為（ ）. . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.（9） 已知函數(shù)連續(xù)，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（12）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).（13）設(shè)，則.（14）設(shè)3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：1523題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問(wèn)題的解.求.(1

32、7)（本題滿分9分）求積分 .(18)（本題滿分11分）求二重積分其中(19)（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且.對(duì)任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式.(20)（本題滿分11分）(1) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 (2)若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，證明至少存在一點(diǎn)（21）（本題滿分11分）求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分） 設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證；（2）為何值，方程組有唯一解，并求；（3）為何值，方程

33、組有無(wú)窮多解，并求通解.（23）（本題滿分10分）設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，（1）證明線性無(wú)關(guān)；（2）令，求.2007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是 （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （

34、D） （4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （C）若存在，則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. （7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是 （A）.（B）.（C）.（D）.（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A） （B）（C） （D）（9）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān)，則(A) (B) (C) .(D) . （10

35、）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi).（13）設(shè)函數(shù)，則_.（14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_(kāi).（15） 設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _.（16）設(shè)矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分） 設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域.

36、 （）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（）當(dāng)為何值時(shí)，最?。坎⑶蟠俗钚≈?（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.（21） (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.（24） (本題滿分11分)設(shè)三階對(duì)稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值

37、與特征向量；（II）求矩陣. 2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）曲線 的水平漸近線方程為 （2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則 .（3）廣義積分 .（4）微分方程的通解是 （5）設(shè)函數(shù)由方程確定，則 （6）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則 (A) . (B) .(C) . (D) . （8）設(shè)是奇函

38、數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù). （9）設(shè)函數(shù)可微，則等于（A）.（B）（C）（D） （10）函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是（A）（B）（C）（D） （11）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . （12）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是 (A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （13）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是 (B) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (C) 若線性相關(guān)，則線性無(wú)關(guān). (C) 若線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān). (

39、D) 若線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān). （14）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.三 、解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小.（16）（本題滿分10分）求 .（17）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域， 計(jì)算二重積分（18）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算.（19）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時(shí)，. （20）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（I）驗(yàn)證；（II）若，求函數(shù)的表達(dá)式. （21）（本

40、題滿分12分）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過(guò)點(diǎn)引L的切線，求切點(diǎn)，并寫(xiě)出切線的方程；（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題二、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)，則 = .（2）曲線的斜漸近線方程

41、為 .（3） .（4）微分方程滿足的解為 .（5）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則k= .（6）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). （8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)

42、是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). （9）設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (A) . (B) . (C) . (D) . （10）設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則(A) . (B) . (C) . (D) . （11）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . （12）設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn). （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(D) x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn). （13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則 (D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D)