2019-2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題四幾何變換壓軸題試題

1、2019-2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題四幾何變換壓軸題試題類型一圖形的旋轉(zhuǎn)變換幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換是近年來中考中的?？键c，多與三角形、四邊形相結(jié)合.解決旋轉(zhuǎn)變換問題， 首先要明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，關(guān)鍵是找出旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點，利用旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等等 性質(zhì)解題.如圖，在菱形 ABCtD, AB= 2, / BA氏60° ,過點 D作DHAB于點E, DFLBC于點F.1 一如圖1,連接 AC分另1J交DE, DF于點M N,求證：MNk-AC;3（2）如圖2,將/ EDF以點D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊 DE , DF'分別與直線 AB, BC相交于點 G P.連接 GP當(dāng)4

2、DGP的面積等于3 3時，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向.圖1圖£【分析】（1）連接BD,由/ BAD= 60° ,得到 ABD為等邊三角形，進而證明點E是AB的中點，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；（2）分/ EDF順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題.1. . （xx 濰坊）邊長為6的等邊 ABC中，點D, E分別在 AC BC邊上，DE/ AB, EC= 2y3. 如圖1, WA DEC沿射線EC方向平移，得到D'E'C',邊D'E'與AC的交點為 M,邊C'D'與/ACC的角平分線交于點 N.當(dāng)CC

3、多大時，四邊形 MCND為菱形？并說明理由.（2）如圖2,將 DEC繞點C旋轉(zhuǎn)/ “（0° <“<360° ）,得到 D'E'C,連接AD,BE'.邊 D' E'的中點為P.在旋轉(zhuǎn)過程中，AD和 BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；連接AP,當(dāng)AP最大時，求AD的彳1.（結(jié)果保留根號）圖1圖22. （xx -成都）如圖 1, 4ABC 中，/ABC= 45° , AHLBC 于點 H,點 D在 AH上，且 D+ CH 連接 BD.求證：BD= AC;（2）將 BHD繞點H旋轉(zhuǎn)，得到 EHF德 B, D分別與點E,

4、F對應(yīng)），連接AE.如圖2,當(dāng)點F落在AC上時（F不與C重合），若BC= 4, tan C =3,求AE的長；如圖3,當(dāng)4EHF是由4BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到時，設(shè)射線 CF與AE相交于點G,連接GH試 探究線段GHW EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.F)圖2圖1類型二圖形的翻折變換幾何圖形的翻折變換也是近年來中考中的常考點，多與三角形、四邊形相結(jié)合.翻折變換的實質(zhì)是 對稱，翻折部分的兩圖形全等，找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角，再結(jié)合勾股定理、相似的性質(zhì)與判定解題.（xx -蘇州）如圖，在 ABC 中，AB= 10, /B= 60° BDE沿DE所在直線折疊得到 B'

5、; DE（點 B'在四邊形，點 D, E分別在 AB, BC上，且 BD= BE= 4,將 ADECJ),連接AB',貝U AB'的長為 .【分析】 作DF! B' E于點F, 稱的性質(zhì)得到 B' DE也是等邊三角形，從而圖1圖24.如圖，在矩形 ABCDK點E在邊FG/ CD交AE于點G 連接DG.（1）求證：四邊形 DEF的菱形；CE,（2）若 CD= 8, CF= 4,求 DE勺值.CD上，將矩形沿 AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作BD= BE,得到4BDE是等邊三角形，由對 GD= B' F,然后利用勾股定理求解.3. （x

6、x 安徽）在三角形紙片 ABC中，/A= 90° , /C= 30° , AC= 30 cm,將該紙片沿過點 B的直線折 疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為 BD（如圖1）,剪去4CDE后得到雙層 BDE神圖2）,再 沿著過4BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平 行四邊形的周長為 40或80y3cm. 3類型三圖形的相似圖形的相似常以三角形、四邊形為背景，與旋轉(zhuǎn)、翻折、動點相結(jié)合，考查三角形相似的性質(zhì)及判 定，難度較大，是中考中?？嫉膸缀螇狠S題.與動點相關(guān)的相似三角形，要根據(jù)動點的運動情況討論相 似三角形的對應(yīng)邊、

7、對應(yīng)角，進而判定相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解題.(xx -青島)如圖，在矩形 ABC邛，AB= 6 cm, BC= 8 cm,對角線 AC, BD交于點。.點P從點A出發(fā)， 沿AD方向勻速運動，速度為 1 cm/s ;同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為 1 cm/s ;當(dāng) 一個點停止運動時，另一個點也停止運動.連接PO并延長，交BC于點E,過點Q作QF/ AC交BD于點F.設(shè)運動時間為t(s)(0 vt<6),解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時， AOP是等腰三角形；2(2)設(shè)五邊形OECQF勺面積為S(cm),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式.【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出

8、 AC的值，然后分類討論：當(dāng) AP= PO時，求出t的值；當(dāng)AP= AO時，求 出t的值；(2)過點E作EHL AC于點H,過點Q作QM_ AC于點M 過點D作DNL AC于點N,交QF于點G 分別用t表示出EH DN DG再利用面積的和差計算即可.5. (xx 常德)如圖，RtAABC中，/ BAC= 90° , D在BC上，連接 AD,彳BF±AD分別交 AD于E, AC于 F.如圖1,若BD= BA,求證：4AB9ADBE(2)如圖2,若BD= 4DC取AB的中點 G 連接CG交AD于點M. 求證：G陣2MCAGf=AF- AC.參考答案【例1】(1)如圖，連接BD,

9、設(shè)BD交AC于點Q,.在菱形 ABCN, Z DAB= 60° ,AD= AB,.ABD為等邊三角形.DEL AB, 點E為AB的中點. . AE/ CDAM AE_ 1 CM CD- 2.同理CN 1AN= 2. .M N是線段AC的三等分點，MN= 3aC.(2) AB/ CD /BAD= 60° , . . / ADC= 120° . /ADE= /CDR 30° ,，/ED已 60° .當(dāng)/EDF順時針旋轉(zhuǎn)時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，ZEDG= /FDR /GDP= Z EDF= 60° . . DE= DF=小,D DE(G= Z

10、DFR= 90° , .DE摩 ADFR .DG= DP, .DGP是等邊三角形.S/DGP=又 DG> 0,解得 DG= 2 3.cos / EM deDG= zrx=DG,132 ,312' ./ EDG= 60，當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn) 60°時， DGP的面積是3M3.同理，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn) 60°時，4DGP的面積也是34, dgp的面積是3y3.綜上所述，當(dāng)/ EDF以點D為旋轉(zhuǎn)中心，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)60°【變式訓(xùn)練】1 .解：(1)當(dāng)CC = m時，四邊形 MCND為菱形.理由：由平移的性質(zhì)得 CD/ C' D' , DE/

11、 D' E'.ABC為等邊三角形，/ B= /ACB= 60° , ./ACC =180° -60° =120° .CN是/ACC 的角平分線，NCC =60° .1. AB/ DE DE/ D' E' , . . AB/ D' E',. D' E' C = / B= 60° , . D' E' C' = / NCC , D' E' / CN.四邊形 MCND為平行四邊形. /ME C' = / MCE =60°

12、, Z NCC = / NC C= 60° ,.MCE和ANCC為等邊三角形，故 MC= CE , NC= CC .又 E，C = 2弧 CC =m，CE =CC = ®.MC= CN .,四邊形 MCND為菱形.(2)AD = BE'.理由：當(dāng)a W180°時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/ ACD = /BCE .由(1)知 AC= BC, CD =CE , .ACD 9 BCtE ,，AD = BE'.當(dāng) a =180° 時，AD = AC+ CD , BE = BC+ CE , 即 AD = BE'.綜上可知，AD =BE'.A

13、P<AGF CP, 當(dāng) A, C, P三點共線時 AP最大，如圖所BD'此時，AP= AC+ CP.在CE中，由 P為D' E'中點,APID E' , PD =3,.CP= 3,AP= 6 + 3=9.在RtAAPtD中，由勾股定理得AD = RaP + PD 2 = "92+ (艱)2 = 2聲.2.解：(1)在 RtAHB中，/ABG=45° , . A+. /BHD= /AHC= 90° , DH= CH. .BH國AAHC BD= AC.BH.(2)在 RtAHC中，tan C = 3, . AH= 3. CH設(shè) C

14、H= x,貝U BH= AH= 3x, .BC= BH+ CH= 4x = 4,，x=1, . AH= 3, CH= 1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，/ EHF= /BHD= /AHC= 90° ,EH= AH= 3, CH= DH= FH, EH FH./EHA=FHC 肅時1/ EAH= / C,tan / EAH=如圖，過點H作HP!AE于點tan C =3.P,連接CP,在AACP中，由三角形三邊關(guān)系得, 示.則 HP= 3AP, AE= 2AP.在 RtAHP中， AF2+HF=AR即 AF2+(3AP)2=9.3 1103 10 -AP= V * 5 .由知， AEH和AFHC都為等

15、腰三角形，設(shè) AH交CG于點Q, / GAH= / HCG一 一一 AQ GQ .AGACH(QCQ HQAQ CQo前 CQ /AGQ= /CHQ= 90 / AQC= / GQH AQ。 GQH.又.旋轉(zhuǎn)角為 30° ,，/EHA= /FHC= 120° ,，/QAG= 30° , ,EF AC AQGH GH GQ sin 30=2.【例2】 如圖，作DF!B' E于點F, B' G±AD于點G,CG D 白-ZB= 60° , BA BE= 4,. BDE是邊長為4的等邊三角形.將4BDE沿DE所在的直線折疊得到 B&#

16、39; DE. B' DE也是邊長為4的等邊三角形，. GD= B' F= 2.- B，D= 4,舊 G= Bf D2GD=2 3. AB= 10,AG= 10-6 = 4,.AB' = #G+B，G2 =2，7.故答案為 2巾.【變式訓(xùn)練】3. 40 或803f4. (1)證明：由折疊的性質(zhì)知，DG= FG ED= EF,/AED= / AEF. FG/ CD ，/FGE= /AED ，/ FGE= / AEF.FG= FE, .1. DG= GF= EF= DE, 四邊形DEF的菱形.(2)解：設(shè) DE= x,根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF= DE= x, EC= 8-x,在

17、 RtEFC中，F(xiàn)C?+EC2=EF2,即 42+(8 x)2=x2.解得 x=5, CE= 8-x=3.CE 3 ,- . DE 5.【例 3】(1) .在矩形 ABCD43, AB= 6 cm, BC= 8 cm, .AC= 10 cm.當(dāng)AP PO時，如圖，過點 P作PMLAO1 一 5 . AM= 2AO= 2. . /PMA= /ADC= 90° , / PAM= Z CAD .APMh MCD APU AM，AP= t =25.AC AD8當(dāng) AP AO時,t =5. 0v t <6,，t = 或t= 5均符合題意,8 當(dāng)t=25或t = 5時，AOP是等腰三角形.

18、 8(2)如圖，過點 E作EHL AC于點H,過點Q作QM_ AC于點M 過點D作DNL AC于點N,交QF于點G, .四邊形ABC虛矩形，AD/ BG / PAO / ECO.3t石. 點O是對角線 AC的中點,A0= CO. y. Z AOP= Z COE .AO國ACOE .CE= AP= t. . CEHhACAtBEH= CE, .1. EH=t AB CAADC= ,AD- DC= 'DN- ACAD- CD 24DN=AC 5 . . QM/ DN . .CQMbACDNQM CQ 口.QM 6-t=即=.DN CD 246"524-4t.QM=-,524DG=-524 4t54t5 FQ/ AC .DFQ ADOC.FQ DQ DG . 5t .OCTDcTDN ''FQ= 丁S= Sboec+ SOCD- Sadfq111= 2OC- EH+ 2。© D*DG FQ =§t + t + 12,即S與t的函數(shù)關(guān)系式為 S= -3t2+|t + 12.【變式訓(xùn)練】5.證明：(1)在 RtABE和 RtDBE中,BA= BD,BE= BE, . .AB* ADBE.(2)如圖，過