浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題附答案

1、2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(附答案) 2015年4月一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1已知全集，則是（）A. B.C. D.2.已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長為（）A. B. C. D.3. 函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.4設(shè)記，若，則（）A B. C. D.5化簡（）A. B. C. D.6.已知與均為單位向量，其夾角為.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D. 7設(shè)，以下三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.8若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有成立，則有（）A. B. C. D.9方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.10設(shè)方

2、程的三個(gè)實(shí)根是、.則代數(shù)式的值為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分.11.函數(shù)的定義域?yàn)?. 12.若，則 . 13. 不等式的解集是 .14.已知是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 15. 定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間取最大長度值為 . 16.若的重心為，動(dòng)點(diǎn)滿足（），則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于 . 17.已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的取值集合 .三、解答題：本大題共3小題，共51分18. （本題滿分15分）已知函數(shù)的最小正周期為（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單

3、位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.19. （本題滿分18分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（I）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（II）若，記，當(dāng)取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求的最小值.20. （本題滿分18分）已知函數(shù)，.（I）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，求函數(shù)的解析式；（II）若對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，求證：.2015年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2015年4月一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1.已知全集，則是（ C ）A. B.C. D.解析：，則=，故答案選. 2.已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長為（ A ）A. B. C. D.解析：設(shè)扇形的半徑為弧長

4、為.由題意：，解得，所以扇形的周長為，故答案選.3.函數(shù)的值域是（ B ）A. B. C. D.解析：函數(shù)是在上的奇函數(shù)，只需考慮當(dāng)時(shí)函數(shù)的取值范圍，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋鸢高x4設(shè)記，若，則（ D ）A B. C. D.解析：，依次類推可知：所以，故答案選5 化簡（ D ）A. B. C. D.解析：先考慮分母：，所以原式等于6.已知與均為單位向量，其夾角為.若，則的取值范圍為（ C ）A. B. C. D. 解析：，兩邊平方可得：，因?yàn)榕c均為單位向量，則，又因?yàn)?，則，答案選.7設(shè)，以下三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（ A ）A. B. C. D.解析：法一：取特殊值，則，則，答案選.法二：當(dāng)時(shí)，此時(shí)

5、與都屬于區(qū)間，易知，則.8若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有成立，則有（ B ）A. B. C. D.解析：因?yàn)椋瑒t，構(gòu)造函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以，答案選9方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（ B ）A. B. C. D.解析：考慮函數(shù)和函數(shù)的圖像可知有個(gè)交點(diǎn)，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是個(gè).10設(shè)方程的三個(gè)實(shí)根是、.則代數(shù)式的值為（D）A. B. C. D.解析：利用三倍角公式得到方程：的三個(gè)根是、，再化為三角求值，答案為.二、填空題：本大題共7小題，每小題7分，共49分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開.解析：則函數(shù)的定義域?yàn)?12. 若，則 . 解析：設(shè)，則，所以， ，所以，故.13.不等式的解集是_.解析：觀察可知是方程的一個(gè)根，則

6、，所以，所以原不等式的解集為.14.已知是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析：是偶函數(shù)，則，又在區(qū)間上是增函數(shù)，則，由數(shù)形集合可知只需：，解得.15. 定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間的最大長度值為 .解析：由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，是函?shù)的定義域的子集，所以或，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，則即時(shí)方程的兩個(gè)根，即是方程的同號(hào)的相異實(shí)根，解得：或而，當(dāng)時(shí)，的最大值為.16.若的重心為，動(dòng)點(diǎn)滿足（），則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于_.解析：極端值方法：令，則，則點(diǎn)位于平行四邊形內(nèi)（如圖所示），同理可得另外兩種情況，則點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的

7、面積是的面積的兩倍，令，則，由勾股定理：可求得：則,所以17. 已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的取值集合 .三、解答題：本大題共3小題，共51分18. （本題滿分15分）已知函數(shù)的最小正周期為（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.解：（） 3分函數(shù)的最小正周期為，則，則， 5分所以，令， 6分解得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 8分（）由題意：，令，得或 11分所以在每個(gè)周期上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，若在上至少有個(gè)零點(diǎn)，即應(yīng)該大于等于第個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 13分則 15分19. （本題滿分18分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（I）當(dāng)時(shí)，

8、求的取值范圍；（II）若，記，當(dāng)取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求的最小值. 解：（）由題意：， 1分則 3分令，對(duì)稱軸 4分則， 6分由對(duì)稱軸易知：，所以， 8分故.10分（II）對(duì)于某個(gè)固定的，的最大值顯然可以趨向，實(shí)際上就是當(dāng)為的外心時(shí)，此時(shí)取最小值，因?yàn)楫?dāng)不是外心時(shí)，至少有一個(gè)會(huì)變大，這樣就變大， 12分外心坐標(biāo)為， 14分要使最小，需要，解得， 17分故的最小值為 18分20. （本題滿分18分）已知函數(shù)，.（I）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，求函數(shù)的解析式；（II）若對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，求證：.解：（）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和則由條件可知：，從而，由韋達(dá)定理知：，故函數(shù)的解析式為： 6分（II）若，則，此時(shí)式子轉(zhuǎn)化為，即對(duì)任意恒成立，易知，故要證明的不等式顯然成立. 8分當(dāng)時(shí)，恒成立，因此