全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀

1、全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀IP講座講稿東北師范大學(xué) 李淑文第二講 標準的基本理念與核心概念標準的理念是構(gòu)建整個標準的基石，對標準內(nèi)容的認識和理解從它的基本理念開始。一、標準的基本理念1、對數(shù)學(xué)課程的認識標準指出：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！边@一提法反映了義務(wù)教育階段面向全體學(xué)生，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的基本精神，代表著一種新的數(shù)學(xué)課程理念和實踐體系。（1）人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)是指作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)，應(yīng)滿足學(xué)生未來社會生活的需要，能適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的要求，并有益于啟迪思維、開發(fā)智力。就內(nèi)容來講“有價值的數(shù)學(xué)”應(yīng)包括基本的數(shù)學(xué)的概念與運算，

2、空間與圖形的初步知識，與信息處理、數(shù)據(jù)處理有關(guān)的統(tǒng)計與概率初步知識等第，還包括在理解與掌握這些內(nèi)容的過程中形成和發(fā)展起來的數(shù)學(xué)概念和能力，如數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、推理能力和應(yīng)用意識等等。（2）人人都獲得必需的數(shù)學(xué)是指“有價值”的數(shù)學(xué)應(yīng)該、也能夠為每一個學(xué)生所掌握。它意味著標準中所規(guī)定的內(nèi)容及教學(xué)要求是最基本的，是每一個普及義務(wù)教育的地區(qū)、每一個智力正常的兒童，在教師的引導(dǎo)和學(xué)生自身的努力下，人人都能夠獲得成功體驗的。（3）不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展是指數(shù)學(xué)課程要面對每一個有差異的個體，適應(yīng)每一個學(xué)生的不同發(fā)展需要。因此，數(shù)學(xué)課程涉及的領(lǐng)域應(yīng)該是廣泛的，這些領(lǐng)域里既有可供學(xué)生思考

3、、探究和具體動手操作的題材，也接觸、了解、鉆研自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，最大限度地滿足每一個學(xué)生的數(shù)學(xué)需要，最大限度地開啟每一個學(xué)生的智慧潛能，為有特殊才能和愛好的學(xué)生提供更廣闊的活動領(lǐng)域和更多的發(fā)展機會。2、對數(shù)學(xué)的認識因為數(shù)學(xué)不僅是一門知識，更是人類實踐活動創(chuàng)造的產(chǎn)物，是有諸多元素構(gòu)成的多元結(jié)構(gòu)；社會與文化不僅推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時數(shù)學(xué)也是推動社會與文化發(fā)展的關(guān)鍵性因素；對數(shù)學(xué)的認識不僅要從數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點中去領(lǐng)悟，更要從數(shù)學(xué)活動的親身實踐中去體驗；因此，標準沒有采取簡單定義的方法，而是從數(shù)學(xué)與人類社會生活、數(shù)學(xué)與人類文化等方面指出，數(shù)學(xué)是人類生活的工具；數(shù)學(xué)是人類用于交流的語言；數(shù)學(xué)

4、能賦予人創(chuàng)造性；數(shù)學(xué)是一種人類文化等。（1）標準強調(diào)在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)充分體現(xiàn)人類生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系；（2）標準強調(diào)作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)也要作為一種人類活動來對待。3、對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認識（1）數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容不僅要包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還要包括這些結(jié)果的形成過程；（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。4、對數(shù)學(xué)教學(xué)的認識（1）數(shù)學(xué)教學(xué)活動要關(guān)注學(xué)生的個人知識和直接經(jīng)驗；（2）教師的角色要作相應(yīng)改變。5、對數(shù)學(xué)教育評價的認識（1）要把過程納入評價的視野；（2）拓展多樣化的評價目標和方法；（3）促進教師改進教學(xué)。6、對現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課程中的作用的認識（1）樹立數(shù)學(xué)課程與

5、現(xiàn)代信息技術(shù)融合的觀念；（2）現(xiàn)代信息技術(shù)要致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。二、標準的核心概念1、數(shù)感標準在總體目標中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維”。并且在內(nèi)容標準的幾個階段都闡述了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的問題，明確地把數(shù)感作為學(xué)習(xí)內(nèi)容提出來?？梢?，重視數(shù)感、強調(diào)使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感，是標準中一個值得重視的問題。（1）對數(shù)感的認識 數(shù)感是人對數(shù)與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題作出有用的策略。在人們的學(xué)習(xí)和生活實踐中經(jīng)常要和各種各樣的數(shù)打交道，人們常常會有意識地將一些現(xiàn)象與數(shù)量建立起聯(lián)系如走進一個

6、會場，在我們面前的是2個集合，一個是會場的座位，一個是出席的人，有人會自然地將這2個集合作一下估計，不用計數(shù)，就可以知道這2個集合是否相等，哪個集合大一些，這就是一種數(shù)感。在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指，使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運算，有能力進行計算，并具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缧乃?、筆算、使用計算器）實施計算的經(jīng)驗；能依據(jù)數(shù)據(jù)進行推論，并對數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進行檢驗建立數(shù)感可以理解為會“數(shù)學(xué)地”思考。我們沒有必要讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個公民都在一定程度上會數(shù)學(xué)地思考。美國學(xué)者格勞斯（Grouws）認為，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考就是形成

7、數(shù)學(xué)化和抽象化的數(shù)學(xué)觀點，運用數(shù)學(xué)進行預(yù)測的能力，以及運用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實問題的能力。具有數(shù)感的人，常常將有關(guān)問題與數(shù)聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的方式思考問題。數(shù)感強的人眼中看到的世界，可能與其他人不同，遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時，能自然地、有意識地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，或者試圖進一步用數(shù)學(xué)的觀點和方法來處理和解釋。因此，數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識。數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。它是建立明確的數(shù)概念和有效地進行計算等數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁。（2）標準中數(shù)感的涵義 標準在關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的說明中，描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示

8、數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋”這是對數(shù)感的具體描述，是義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的主要內(nèi)容。 理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。在義務(wù)教育階段學(xué)生要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)等數(shù)概念這些概念本身是抽象的，需要為學(xué)生提供充分的可感知的現(xiàn)實背景，才能使學(xué)生真正理解。學(xué)生能將這些數(shù)概念與它們所表示的實際含義建立起聯(lián)系，了解數(shù)概念的實際含義，是理解數(shù)的標志，也是建立數(shù)感的表現(xiàn) 用多種方法表達數(shù)既是理解數(shù)概念的需要，也使學(xué)生了解數(shù)的發(fā)展過程抽象的數(shù)字符號不是表示數(shù)的唯一方式，人們可以用不同的方式

9、表示數(shù)。人類早期對數(shù)的認識是從實物、代替物、圖像，逐漸發(fā)展為數(shù)字符號的，學(xué)生認識數(shù)也有一個由具體到抽象的過程引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表示數(shù)，會使學(xué)生切實了解數(shù)的發(fā)展過程，增強學(xué)生的數(shù)感如通過數(shù)學(xué)故事向?qū)W生介紹古代人們用“結(jié)繩記數(shù)”等方式表示數(shù)，用算籌進行計算等 在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，不僅是理解數(shù)概念的需要，同時也會加深學(xué)生對數(shù)的實際意義的理解如標準中列舉的例子，對于“50，98，38，10，51”這些數(shù)，能用大一些、小一些、大得多、小得多等語言描述它們之間的大小關(guān)系，并用“>”或“<”表示它們的大小關(guān)系分數(shù)和有理數(shù)的大小更是具有相對性，在具體的情境中，學(xué)生才會深入地理解它

10、們1/3這個數(shù)，對于不同的整體所代表的實際大小是不同的一個蘋果的1/3是1/3個蘋果，一筐蘋果的1/3可能是10個蘋果。讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)來表達和交流信息會使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，也是數(shù)感的具體表現(xiàn)觀察身邊的事物，有哪些是用數(shù)字描述的，有哪些可以用數(shù)或數(shù)碼來描述學(xué)生解決問題的過程中選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，對運算結(jié)果的合理性作出解釋，也是形成數(shù)感的具體表現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于解決問題，運算是解決問題的工具，學(xué)生遇到具體問題時首先要想到用什么方法解決這個問題，選擇什么算法解決，然后再算出具體的結(jié)果同樣一個問題可以用不同的方法解決，同樣一個算式，也可以有不同的計算方法有些問題的解法是唯一的，有些問題可能會有多種

11、不同的解法為學(xué)生適當(dāng)提供一些開放式的問題，有助于這種意識和能力的培養(yǎng)（3）數(shù)感在數(shù)學(xué)教育中的作用標準將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感作為一個重要的目標，在不同學(xué)段中都有明確的要求，這是數(shù)學(xué)課程改革的需要，也符合義務(wù)教育階段學(xué)生培養(yǎng)目標義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大多數(shù)學(xué)生將來不會成為數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)工作者，但每一個學(xué)生都應(yīng)建立一定的數(shù)感，這對他們將來的生活和工作都是有價值的。中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的目的在于使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋現(xiàn)實問題。數(shù)感的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中起著重要的作用數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要為

12、每一個學(xué)生的發(fā)展著想，適應(yīng)每一個人的需要作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實際問題，能從現(xiàn)實的情境中看出數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志一個小學(xué)或初中畢業(yè)生，學(xué)習(xí)了那么多的數(shù)學(xué)知識，但不會估計一個學(xué)校操場大約有多大，不知道如何用最恰當(dāng)?shù)姆绞较騽e人說明自己所在的位置，不能在需要的時候用數(shù)學(xué)的方式解釋某些現(xiàn)象這能說學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高嗎？這樣的數(shù)學(xué)教育能說是成功的數(shù)學(xué)教育嗎？注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，正是針對以往的數(shù)學(xué)教育過分強調(diào)單一的知識與技能訓(xùn)練，忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系，忽視數(shù)學(xué)的實際運用這種傾向提出來的。數(shù)感的建立

13、也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力的需要。學(xué)生有更多的機會接觸和體驗現(xiàn)實的問題，表達自己對問題的看法，用不同的方式思考和解決問題，這無疑會有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)。數(shù)感的培養(yǎng)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)是人們認識社會、認識自然和日常生活的工具學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面是為進一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，另一方面是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點和方法認識周圍事物和發(fā)現(xiàn)客觀世界的規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法自覺地、有意識地觀察、認識和理解周圍的事物，處理有關(guān)的問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實問題，有意識地將現(xiàn)實問題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系例如，一個學(xué)校有500人，如果所有的學(xué)生都在學(xué)校用午飯，每次都用一

14、次性筷子，估計一下一年要用多少雙這樣的筷子？這大約需要多少棵普通的樹？對這個問題的理解就是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生在這個過程中逐步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地理解和認識事物。數(shù)感的培養(yǎng)有利于學(xué)生提出問題和解決問題能力的提高。解決問題能力的培養(yǎng)關(guān)鍵是在具體的問題情境中讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)，解決一個問題可能需要一種以上的策略，不只是簡單地套用公式解固定的模式化的問題要使學(xué)生學(xué)會從現(xiàn)實情境中提出問題，從一個復(fù)雜的情境中提出問題，找出數(shù)學(xué)模型，就需要具備一定的數(shù)感學(xué)會將一個生活中的問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題，這種思維的方式，與一般的解決書本上現(xiàn)成問題的思維方式有著明顯的差異學(xué)生要在遇到具體問題時，自覺地、主動地與一定的數(shù)

15、學(xué)知識和技能建立起聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型具備一定的數(shù)感是完成這類任務(wù)的重要條件例如，怎樣為參加學(xué)校運動會的全體運動員編號？這是一個實際問題，沒有固定的解法，你可以用不同的方式編，而不同的編排方案可能在實用性和便捷性上是不同的，如何從號碼上就可以分辨出年級和班級，區(qū)分出男生和女生，或很快地知道這名運動員是參加哪類項目等。（4）注重在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)感 學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗和建立起來的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，把數(shù)感的培養(yǎng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中 在數(shù)概念教學(xué)中重視數(shù)感的培養(yǎng)。數(shù)概念的切實體驗和理解與數(shù)感密切相關(guān)，數(shù)概

16、念本身是抽象的，數(shù)概念的建立不是一次完成的，學(xué)生理解和掌握數(shù)概念要經(jīng)歷一個過程讓學(xué)生在認識數(shù)的過程中，更多地接觸和經(jīng)歷有關(guān)的情境和實例，在現(xiàn)實背景下感受和體驗，會使學(xué)生更具體、更深刻地把握數(shù)概念，建立數(shù)感。標準中強調(diào)，“要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，初步建立數(shù)感”（第一學(xué)段）在認識數(shù)的過程中，讓學(xué)生說一說自己身邊的數(shù)，生活中用到的數(shù)，如何用數(shù)表示周圍的事物等，會使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在自己身邊，運用數(shù)可以簡單明了地表示許多現(xiàn)象說一說自己的學(xué)號，自己家所在的街道號碼，住宅的門牌（或單元）號碼，汽車和自行車牌的號碼

17、；估計一頁書有多少字，一本故事書有多少字，一把黃豆有多少粒等對這些具體數(shù)量的感知與體驗，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對學(xué)生理解數(shù)的意義會有很大的幫助。標準中在不同學(xué)段都對學(xué)生數(shù)概念的建立提出具體的目標，“結(jié)合現(xiàn)實素材感受大數(shù)的意義，并能進行估計”（第一、二學(xué)段），“在熟悉的生活情境中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示一些日常生活中的問題”（第二學(xué)段），“理解有理數(shù)的意義和運算”，“能對含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷”（第三學(xué)段）。有效地組織這些內(nèi)容的教學(xué)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)如，認識大數(shù)目時，引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會大數(shù)的情境，了解大數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，有助于學(xué)生體會數(shù)的意義，建立數(shù)感國慶游行時的

18、一個方隊的人數(shù)，體育場一面的看臺上能坐多少人？學(xué)校操場能容納多少人？通過這樣一些具體的情境，會使學(xué)生切實感受到大數(shù)在學(xué)生頭腦中一旦形成對大數(shù)的理解，就會有意識地運用它們理解和認識有關(guān)的問題，逐步強化數(shù)感在第三學(xué)段，隨著學(xué)生年齡的增長，數(shù)的認識領(lǐng)域的擴大，可以逐步呈現(xiàn)較復(fù)雜的情境，讓學(xué)生作解釋和判斷如存款利率，國民生產(chǎn)總值，生產(chǎn)成本與價格等問題的探索和研究。在數(shù)的運算中加強數(shù)感的培養(yǎng)對運算方法的判斷，運算結(jié)果的估計，都與學(xué)生的數(shù)感有密切的聯(lián)系標準中提出，“應(yīng)重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計算和程式化地敘述算理避免將運算與應(yīng)用割裂開來”（第一、二學(xué)段）“使學(xué)生

19、經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程”，“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念”（第三學(xué)段）等目標和要求。這些都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的需要。結(jié)合具體的問題，選擇恰當(dāng)?shù)乃惴?，會增強對運算實際意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。學(xué)習(xí)運算是為了解決問題，不是單純地為了計算而計算，為了解題而解題以往的數(shù)學(xué)教學(xué)過多地強調(diào)學(xué)生運算技能的訓(xùn)練，簡單地重復(fù)練習(xí)沒有意義的題目，學(xué)生不僅感到枯燥無味，而且不了解為什么要計算，為什么一定要用固定的方法計算一個問題可以通過不同的方法找到答案，一個算式也可以用不同方式確定結(jié)果用什么方式更合適，得到的結(jié)果是否合理，與問題的實際

20、背景有直接關(guān)系解決問題，并不是只用一種方法找到答案，也不是只有一個唯一的答案學(xué)生在探索實際問題的過程中，會切實了解計算的意義和如何運用計算的結(jié)果 隨著學(xué)生的年齡增長和知識經(jīng)驗的豐富，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)、形及實際問題中蘊涵的關(guān)系和規(guī)律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的工具，會進一步增強學(xué)生的數(shù)感把數(shù)感的建立與數(shù)量關(guān)系的理解與運用結(jié)合起來，與符號感的建立和初步的數(shù)學(xué)模型的建立結(jié)合起來，將有助學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高估計方程的解。首先畫出函數(shù)的圖象（下圖），可以看出方程的兩個根分別在-4.5與-4之間和2與2.5之間。以正根為例，可以先把，2.3，2.4代入，用計算器計算出函數(shù)值

21、，然后把結(jié)果填入表中：x2.22.32.4y-0.76-0.110.56根據(jù)第一步計算結(jié)果，方程的正根在23與24之間。如果結(jié)果只要求一位小數(shù)的話，近似解取23即可。 如果精確度要求較高，可以繼續(xù)把=2.31，2.32，2.33等代入。x2.32.3y-0.04390.0224根據(jù)第二步計算結(jié)果，方程的正根在2.31與2.32之間。如果結(jié)果只要求兩位小數(shù)的話，近似解取2.32即可。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感應(yīng)當(dāng)成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要目標之一，標準中確定這方面的目標與要求，在實際教學(xué)中需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容有意識地設(shè)計具體目標，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)感的評價方式，以促進學(xué)生數(shù)感的建立

22、和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高2、符號感用符號進行表示是社會文明得以發(fā)展的最強有力的工具之一，數(shù)學(xué)課程的任務(wù)就是使學(xué)生感受和擁有這種能力，掌握和運用這個工具標準根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科和課程的特點，把在解決問題過程中發(fā)展學(xué)生的“符號感”作為義務(wù)教育階段的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。（1）符號感的含義符號是數(shù)學(xué)的語言，是人們進行表示、計算、推理、交流和解決問題的工具。學(xué)校數(shù)學(xué)教育的目的之一是要使學(xué)生懂得符號的意義、會運用符號解決實際問題和數(shù)學(xué)本身的問題，發(fā)展學(xué)生的符號感。標準強調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號感，并指出：“符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉(zhuǎn)

23、換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題”例如，在解決“一張桌子最多可以圍坐6人，15人至少需要多少張桌子？”# # # # # # # # # # # # # # # #· 能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律并用符號表示引進字母表示，是用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“代數(shù)開始的典型特征是文字演算字母作為數(shù)學(xué)符號有2種作用。首先，字母可作為專用名詞，如是個完全確定的數(shù)，或用A表示2直線交點。顯然特定集合需要使用標準的專用名詞，如Z，N。其次，字母可作為不確定的名詞，就像日常生活中的人，可以表示所有的人。”用符號來表示具體情境中

24、的數(shù)量關(guān)系，也像普通的語言一樣，首先需要引進基本的字母在數(shù)學(xué)語言中，像數(shù)字以及表示數(shù)的字母，表示運算的符號和表示關(guān)系的符號等等，是用數(shù)學(xué)語言刻畫各種現(xiàn)實問題的基礎(chǔ)。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個個特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，是學(xué)生認識上的一個飛躍，初學(xué)時學(xué)生往往會感到困難，有些學(xué)生是形式主義地死記硬背，而不理解其意義因此，要盡可能從實際問題中引入，使學(xué)生感受到字母表示數(shù)的意義。用字母表示運算法則、運算律以及計算公式。這種一般化是基于算法的，常常開始于小學(xué)算術(shù)中數(shù)的運算。算法的一般化，深化和發(fā)展了對數(shù)的運算的認識。如加法交換律；乘法結(jié)合律；完全平方公式（）

25、。代數(shù)中用字母表示數(shù)，把人們對數(shù)的知識上升到更一般化的水平，使得算術(shù)中關(guān)于數(shù)的理論有了一般化、普遍化的意義，這是從算術(shù)向代數(shù)抽象的一個飛躍用符號表示數(shù)也是學(xué)生學(xué)習(xí)一般化、形式化地認識和表示研究對象的開始。用字母可以表示現(xiàn)實世界和各門學(xué)科中的各種數(shù)量關(guān)系例如，勻速運動中的速度v、時間 t和路程s的關(guān)系：s=vt等等。用字母表示數(shù)，便于從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并確切地表示出來，從而進一步用數(shù)學(xué)知識去解決問題。例如，我們用字母表示實際問題中的未知量，利用問題中的數(shù)量相等關(guān)系列出方程；我們用字母（例如x，y）表示某一變化過程中相關(guān)的2個變量，利用問題條件給出的變量間的相互關(guān)系，列出函數(shù)表

26、達式等等。對于標準所說的“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示”的意義在于這種表示常常開始于探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后用代數(shù)式一般化地將它們表示出來。例如：把火柴棒象下圖那樣拼成正方形。那么，正方形的個數(shù)n和火柴棒的根數(shù)具有怎樣的關(guān)系？ 改變火柴棒的擺放方法，作成別的圖形（如下圖），圖形的個數(shù)n與火柴棒的根數(shù)具有怎樣的關(guān)系？ 從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示，是將問題進行一般化的過程。一般化超越了具體實際問題的情景，深刻地揭示和指明存在于一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提到一個更高的水平。一般化和符號化對數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)思考是本質(zhì)的，一般化是每一個人都要經(jīng)歷

27、的過程。 · 理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律使學(xué)生在現(xiàn)實情境中能夠理解符號表示的意義并能解釋代數(shù)式的意義。 如代數(shù)式6p可以表示什么？學(xué)生可以解釋為：如果p表示正六邊形的邊長，6p可以表示正六邊形的周長；如果p表示一本書的價格，6p可以表示6本書的價格；6p也可以表示一張光盤的價格是一本書的價格的6倍；如果一條長凳可以坐6個小朋友，6p表示p條長凳可以坐6p個小朋友等。用關(guān)系式、表格、圖像表示變量之間的關(guān)系。如制成一個盡可能大的無蓋長方體的問題： 用一張正方形的紙，利用在它的4個角分別剪去一個小正方形的方法制成一個無蓋長方體，怎樣才能使制成的無蓋長方體的容積最大？ 假設(shè)用邊長為2

28、0的正方形紙，剪去的小正方形的邊長依次為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10時，折成的無蓋長方體的容積將如何變化？ 用表格表示（見表1）：正方形的邊長12345長方體的容積324 512588576500正方形的邊長678910長方體的容積384252128300表1通過表1，我們看到當(dāng)小正方形的邊長為3時，無蓋長方體的容積最大。我們把表1在小正方形的邊長取2.5到3.5之間進行細化，得到表2： 正方形的邊長2.5 33.5長方體的容積 562.5588591.5表2這時得到當(dāng)小正方形的邊長為3.5時，無蓋長方體的容積最大。我們還可以把表2在小正方形的邊長取3到3.5之間進行細化?？傊?，我

29、們可以根據(jù)所要達到的精確度繼續(xù)上述過程，直到滿意為止。用代數(shù)式表示： 仍設(shè)這張正方形紙的邊長為a，所折無蓋長方體的高為h，則無蓋長方體的容積v與h的關(guān)系是：。會用符號進行表示，也就是會把實際問題中的數(shù)量關(guān)系用符號表示出來，這個過程叫做符號化符號化的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，隨后就是進行符號運用和推理，最后得到結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)建模的思想事實上，我們所熟悉的方程和函數(shù)都是某種問題的數(shù)學(xué)模型。能從關(guān)系式、表格、圖像所表示的變量之間的關(guān)系中獲取所需信息。表3是我國從1949年到1999年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)（精確到0.01億）： 時間（年）194919591969197919891999人口（億）5.426.728.079.7511.0712.59表3表3中的數(shù)據(jù)表示了哪2個量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，預(yù)測一下我國2009年人口的總數(shù)，并說明為什么。學(xué)生不僅要能獲得1949年到1999年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而且要能分析每隔10年人口變化的趨勢，從而初步地作出一些預(yù)測。 · 會進行符號間的轉(zhuǎn)換 這里所說的符號間