考研高等數(shù)學知識點總結

1、高等數(shù)學知識點導數(shù)公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2( ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1x2(log a x)1(arcctgx )11x2x ln a基本積分表：tgxdxln cos xCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdx2secxdxln secxtgxCsin2 xcsc xdxctgxCcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscx ctgxdxcscxC

2、a2x2a arctgaCaxdxaxCdx1xaln aCx2a2lnshxdxchxC2axadxx21 ln axCchxdxshxCa22aaxdxarcsin xCdxln( xx2a2 )Ca2x2ax2a22sin n xdx2cosn xdxn1I nI n200nx2a 2 dxxx2a 2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a 2ln xx2a2C22a2x 2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u2，utg x，dx2du1u 21u221u 2一些初等函數(shù)：exe x雙曲正弦 : shx兩個重

3、要極限：lim sin x1雙曲余弦 : chx2exe x2x 0xlim (11)xe 2.718281828459045.x xxshxeearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xxx三角函數(shù)公式：誘導公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos

4、 -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintg ()tgtg1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2sinsin22倍角公式：sin 22 sincoscos22 cos2112 sin2cos2sin2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg1 3tg 2tg 21tg 2半角公式：sin1c

5、oscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22正弦定理：abc2222余弦定理：ca b2ab cosCsin Asin BsinCR反三角函數(shù)性質：arcsinxarccosxarctgxarcctgx22高階導數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv) ( n)Cnku (n k ) v(k )k 0u ( n) vnu( n 1) vn( n 1) u( n 2 ) vn(n1) (n k 1) u (n k )v( k )uv (n)2!k!中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f (b)f (

6、a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ( )F (b)F (a)F ( )當 F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：K.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變化量；sM 點的曲率： Klimdy.sds23s 0(1y)直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a定積分的近似計算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn1an2bba( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3

7、a3n定積分應用相關公式：功： WF s水壓力： Fp Am1m2引力： Fkr 2, k為引力系數(shù)1b函數(shù)的平均值： yf ( x) dxba a1b均方根：f2 (t )dtba a空間解析幾何和向量代數(shù)：s： M M 弧長。yn 1 )空間 點的距離：d M 1M 2( x2x1 )2( y2 y1 )2(z2z1)22向量在軸上的投影：Pr juABAB cos ,是與 軸的夾角。ABuPr ju ( a1a2 ) Pr j a1 Pr j a2a b ab cosaxbxaybyazbz ,是一個數(shù)量 ,兩向量之間的夾角：cosaxbxaybyazbzax 2a y2az2bx 2b

8、y 2bz2ijkc a baxayaz , ca例：線速度：vwr .b sin .bxbybzaxa yaz向量的混合積：b ) cbxbybzabc cos ,為銳角時， abc (acxcycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A,B,C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點到該平空間直線的方程： xx0m二次曲面：面的距離： dAx0 By 0Cz0 DA2B2C 2y y0z z0t ,其中 s m, n, p;npx

9、x0mt參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y 2a2b22、拋物面： x2y 22 p2q3、雙曲面：單葉雙曲面： x2y2a2b 2雙葉雙曲面： x2y2a2b 2z2c21z（, p,q同號）z21c 2z2（馬鞍面）c21多元函數(shù)微分法及應用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計算：z dz f x (x, y)xf y ( x, y)y多元復合函數(shù)的求導法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvxuv(x, y)當，時，u( x, y) vduuudyd

10、vvvdxydxdyxxy隱函數(shù)的求導公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)， zFx ，zFyF ( x, y, z) 0xFzyFzF ( x, y,u,v) 0(F,G)FFFuFv隱函數(shù)方程組：JuvG ( x, y,u,v)0(u, v)GGGuGvuvu1(F,G)v1 (F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應用：x(t), y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0z z0空間曲線y(t)在點 M (x0z(t)

11、(t0 )(t0 )(t 0 )在點 M處的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t 0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )若空間曲線方程為：F ( x, y, z) 0,則切向量 T FyFzFxFxG y, Fz,G ( x, y, z) 0G z GzG x G x曲面 F ( x, y, z) 0上一點 M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量：n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0

12、, y0 , z0 )( yy0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )0FyG yFz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向導數(shù)與梯度：函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)沿任一方向 l 的方向導數(shù)為： ffcosf sinlxy其中 為 x軸到方向 l的轉角。函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它與方向導數(shù)的關系是 ： fgrad f ( x, y) e，其中 ecosisinj ，

13、為 l方向上的l單位向量。f 是 gradf ( x, y)在 l 上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設f x ( x0 , y0 )，令：f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0, y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) Cf y ( x0 , y0 ) 0ACB2時， A0, ( x0, y0 )為極大值0, y0 )為極小值2A 0, ( x0則：ACB時，無極 值0ACB2時不確定0 ,重積分及其應用：f (x, y)dxdyf ( r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f (x, y)的面積 A1zzxdxdyDyM xx( x, y)dM

14、yy( x, y)d平面薄片的重心：D,yDx( x, y)dM(x, y) dMDD平面薄片的轉動慣量： 對于 x軸 I xy 2(x, y)d,對于 y軸 I yx2( x, y) dDD平面薄片（位于xoy平面）對 z軸上質點 M (0,0,a),(a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fxf( x, y)xdFyf( x, y) ydFzfa(x, y) xd3，3，3D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y2a2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐標和球面坐標：xr cos柱面坐標： yr sin,f ( x, y, z) dxdydzF ( r, z)r

15、drddz,zz其中： F (r , z)f (r cos , r sin, z)xr sincos球面坐標： yr sinsin ，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos) r 2 sin2r ( , )r 2 sinf ( x, y, z)dxdydzF (r ,drddddF ( r , ,dr000重心：x1x dv,y1ydv,z1，其中MxdvMMz dvM轉動慣量：I x( y22，I y(x22，I z( x2y2) dvz) dvz) dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設 f ( x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t),(t)

16、,則：y(t)f ( x, y) dsf (t),(t)2 (t )2 (t )dt()特殊情況：xtLy(t)第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：設 的參數(shù)方程為x(t )，則：Ly(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t),(t )(t ) dtL兩類曲線積分之間的關 系：PdxQdy( P cosQ cos，其中 和 分別為)dsLL上積分起止點處切向量 的方向角。L格林公式：(QP) dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL當Py, Qx，即： QP時，得到D的面積：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平

17、面上曲線積分與路徑 無關的條件：、是一個單連通區(qū)域；1G、，Q( x, y)在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù) ，且 Q P 。注意奇點，如，應2P( x, y)Gxy(0,0)減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積 ：在 Q P 時， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u( x, y)的全微分，其中：x y( x, y)，通常設x0。u( x, y)P(x, y) dx Q(x, y) dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f ( x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy對坐標的曲面積分：P(

18、x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z) dxdy，取曲面的上側時取正 號；R x, y, z(x, y) dxdyD xyP(x, y, z) dydzP x( y, z), y, z dydz，取曲面的前側時取正 號；D yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y(z, x), z dzdx，取曲面的右側時取正 號。D zx兩類曲面積分之間的關系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos)dsx

19、yz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質量，若 div0,則為消失 .xyz通量： An dsAnds(P cosQ cosR cos) ds，因此，高斯公式又可寫成：div A dvAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關系：( RQ )dydz ( PR)dzdx ( QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdx dxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdy

20、Rdz A t dsA常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：q2qn 11q n1q1q等差數(shù)列：23n(n 1) n12調和級數(shù)：111 是發(fā)散的123n級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)收斂設：lim n un，則1時，級數(shù)發(fā)散n1時，不確定2、比值審斂法：lim U n1時，級數(shù)收斂設：1 ，則1時，級數(shù)發(fā)散nU n1時，不確定3、定義法：sn u1u2un ;lim sn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯級數(shù) u1u2 u3u4(或 u1 u 2u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯級數(shù)滿足unun 1 ，那么級數(shù)收斂且其和 su1 ,其余項 rn的絕對值

21、rn un 1。lim un 0n絕對收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un為任意實數(shù)；(2) u1u2u3un如果 (2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果 (2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件收斂級數(shù)。n調和級數(shù)：1 發(fā)散，而( 1) 收斂；nn1級數(shù)：收斂；1 時發(fā)散p級數(shù)：n pp1時收斂冪級數(shù)：x時，收斂于11 x x2x3x n11xx時，發(fā)散1對于級數(shù) (3)a0a1 x a2 x2an xn，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全x時收斂R數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使xR時發(fā)散，其中 R稱為收斂半徑。x時不定R時，10R求收斂半徑的方法：設lim

22、an 1，其中，是的系數(shù)，則時，Rananan 1(3)0n時，R 0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f ( x)f (x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!f (n 1) ( )(x x0 )n 1, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn0余項： Rn(n 1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f ( x) f (0)f (0)x2f ( n) (0)nf (0) xx2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x) m1mxm(m1)x 2m(m 1)( mn 1)xn( 1 x 1)x3x52!1)

23、 n 1x2n1n!sin x x(x)3!5!( 2n1)!歐拉公式：eixeeixcosx2cosx i sin x或eixesin x2ixix三角級數(shù)：f (t) A0An sin( n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnAn cos n， tx。正交性：1,sin x,cos x,sin 2x, cos2xsin nx, cosnx 任意兩個不同項的乘積在 ,上的積分 0。傅立葉級數(shù)：a0，周期2f ( x)( an cosnx bn sin nx)2n 1an1(n 0,1,2)f ( x) cosnxdx其中bn1f ( x)sinnxdx( n1,2,3 )11211111325282232421112111122426222324224正弦級數(shù)：an，2f (x)sin nxdx0bn0余弦級數(shù)： bn0，2f ( x) cosnxdxan0周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：2（相加）62（相減）12n1,2