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1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白,在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾,嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則,以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫): A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果賽區(qū)設(shè)置
2、報(bào)名號(hào)的話): S12013 所屬學(xué)校(請?zhí)顚懲暾娜?河南科技大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) :1. 鄭曉曦 2. 馬云路 3. 謝宗納 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名): 李二強(qiáng) 日期: 2010 年 9 月 13 日 賽區(qū)評閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)):2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)):賽區(qū)評閱記錄(可供賽區(qū)評閱時(shí)使用):評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)):全國評閱編號(hào)(由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)):A題 儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后,由于地基變形
3、等原因。使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化,從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。本文利用幾何知識(shí),微積分,擬合,誤差分析,計(jì)算機(jī)搜索等方法解決了儲(chǔ)油罐變位后表標(biāo)的重新確定以及在變位后變位參數(shù)的估算。對于問題一,首先利用微積分知識(shí)建立模型一求解小橢圓油罐未傾斜時(shí),油浮子高度與油量的關(guān)系,而后根據(jù)實(shí)際進(jìn)油量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用最小二乘法對計(jì)算值與油罐中實(shí)際含量進(jìn)行擬合,得到改進(jìn)后油浮子高度與油量的關(guān)系為 :,并根據(jù)實(shí)際出油量對其進(jìn)行驗(yàn)證,得到計(jì)算值與實(shí)際值誤差在0.01左右。然后根據(jù)模型一的思路建立模型二,用以計(jì)算油罐傾斜時(shí)油浮子高度與油量的關(guān)系。同樣的,用進(jìn)油量數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行改進(jìn),用實(shí)際出油量對改進(jìn)模型驗(yàn)
4、證,最終計(jì)算出油浮子高度每升高一厘米對應(yīng)的容量值,具體結(jié)果見正文表。對于問題二, 兩端為球冠的圓柱體儲(chǔ)油罐,將其體積分為三段進(jìn)行積分。利用微積分知識(shí)建立球冠液體部分積分模型,柱體部分積分模型。并利用集合關(guān)系,最終建立了罐內(nèi)液體總體積與油浮子高度,變位參數(shù)的關(guān)系模型。利用計(jì)算機(jī)搜索,三重循環(huán),求出使總殘差平方和最小的變位參數(shù)。并將參數(shù)帶入模型中求出不同油浮子高度時(shí)對應(yīng)的罐內(nèi)液體的體積,并對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。根據(jù)數(shù)據(jù)得到變位參數(shù),對變位后表標(biāo)的每10的重新標(biāo)定見正文表關(guān)鍵詞:二重積分 空間幾何 最小二乘法 計(jì)算機(jī)模擬 Matlab軟件一、問題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐,并且一般
5、都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”,采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù),通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表(即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對應(yīng)關(guān)系)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算,以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后,由于地基變形等原因,使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化(以下稱為變位),從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定,需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。要求用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。 (1)為了掌握罐體變位后對罐容表的影響,利用小橢圓型儲(chǔ)油罐(兩端平頭的橢圓柱體),分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請
6、建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響,并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。(2)對于實(shí)際儲(chǔ)油罐,試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)(縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b )之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)(附件2),根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù),并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡P偷恼_性與方法的可靠性。綜上所述,我們需要解決如下幾個(gè)問題:問題一:為兩端平頭的橢圓柱體的情況下,根據(jù)題中提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對表的影響,為變位后油位高度間隔為1cm罐容表標(biāo)定值。問題
7、二:對實(shí)際儲(chǔ)油罐,在同時(shí)考慮縱向傾斜和橫向傾斜的情況下建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)提供的數(shù)據(jù),確定變位參數(shù)的大小,由理論值和實(shí)際值進(jìn)一步分析檢驗(yàn)所建模型的合理性和可靠性。從而計(jì)算罐容表的標(biāo)定值。二、問題分析問題一:研究變位后對罐容表的影響,并為變位后油位高度間隔為1cm罐容表標(biāo)定值。要比較變?yōu)榍昂蠊奕荼順?biāo)的變化,首先需要建立未發(fā)生變位時(shí)油位高度與所對應(yīng)的罐內(nèi)油量的體積之間的關(guān)系。其次要建立發(fā)生變位時(shí)油位高度與所對應(yīng)的罐內(nèi)油量的體積之間的關(guān)系。由題意可知這里的變位只考慮了縱向傾斜,對于模型的建立,我們需要根據(jù)幾何關(guān)系,建立坐標(biāo)系,利用微積分知識(shí)建立其中變量之間的關(guān)系。此題的關(guān)鍵就是
8、對于一個(gè)固定的高度,求出其所對應(yīng)的體積。建立模型后,用模型球求的不同高度所對應(yīng)的理論上體積值,用實(shí)驗(yàn)所得進(jìn)油量數(shù)據(jù)與理論值比較,并對模型進(jìn)行校正。然后用出油量對改進(jìn)后的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。問題二:對實(shí)際儲(chǔ)油罐,在同時(shí)考慮縱向傾斜和橫向傾斜的情況下建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)提供的數(shù)據(jù),確定變位參數(shù)的大小,并計(jì)算罐容表的標(biāo)定值。進(jìn)一步分析檢驗(yàn)所建模型的合理性和可靠性。由于該罐體包括圓冠部分,可以將罐內(nèi)液體的體積分為前冠體積,柱體體積、后冠體積三部分來求。建立柱體積分模型,球冠積分模型,求出在橫向變位,縱向變位后,不同高度所對應(yīng)的理論體積值。然后根據(jù)提供的數(shù)據(jù)算出高度變化時(shí),所對應(yīng)的理論出
9、油量,并和實(shí)際出油量進(jìn)行比較,求出總誤差,利用計(jì)算及搜索和三重循環(huán)求出使總誤差最小的變位參數(shù)。三、模型假設(shè)1、不考慮溫度對儲(chǔ)油罐的容積的影響,假設(shè)儲(chǔ)油罐的最大容積不變。2、第一問中,將除了縱向傾斜影響儲(chǔ)油罐的示數(shù)外,其它各種條件如出油管,油浮子所占體積等造成理論值和實(shí)際值造成的偏差均擬合在系統(tǒng)誤差里。3、 在一段時(shí)間內(nèi),變位參數(shù)保持不變。4、 油罐表面光滑,無變形。5、所給數(shù)據(jù)真實(shí)。四、符號(hào)定義:儲(chǔ)油罐兩端球冠所在球體的半徑:一般儲(chǔ)油罐圓柱體底面圓的半徑:油浮子的示數(shù):縱向變位數(shù):橫向變位數(shù):小橢圓油罐寬度的一半:小橢圓油罐高度的一半:小橢圓油罐長度為方便計(jì)算文中關(guān)于高度長度的單位都轉(zhuǎn)化為分米
10、,對應(yīng)的體積為升。其它定義附號(hào)在文中都有相應(yīng)的注釋五、模型建立與求解1、建立模型一:計(jì)算小橢圓儲(chǔ)油罐無傾斜時(shí)油的含量問題一:為解小橢圓油罐儲(chǔ)量與油高度的關(guān)系,現(xiàn)以小橢圓油罐側(cè)面最低點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖1所示空間直角坐標(biāo)系。其中,為油罐高度的一半,為油罐寬度的一半,為油罐的長度。油罐橫切面、縱切面圖像如圖2、圖3所示。圖1 裝有高度h的油的小橢圓油罐坐標(biāo)示意圖圖2 小橢圓油罐橫切圖3 小橢圓油罐縱切面根據(jù)建立的坐標(biāo),在XOY平面小橢圓油罐的函數(shù)曲線為:用二重積分計(jì)算盛裝高度為的油時(shí)的體積化簡以后可得在此,為了方便計(jì)算,本文將長度單位設(shè)置為,轉(zhuǎn)換單位后,。用Matlab編程,計(jì)算function y
11、=tiji(h);a=8.9;b=6;l=24.5;n=length(h);for i=1:n y(i)=l.*a.*(sqrt(2.*b.*h(i)-h(i).2).*(h(i)-b)+b.2.*asin(h(i)-b)./b)-b.2.*asin(-1)./b;end計(jì)算出詳細(xì)結(jié)果見 附錄1。由附件1所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),當(dāng)油罐內(nèi)液面高度為時(shí),油罐中油的實(shí)際體積為油量初值262L加上添加的油的體積,把根據(jù)模型計(jì)算出的體積結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對比,得到如下所示圖形。圖4 模型計(jì)算體積與實(shí)驗(yàn)所得真實(shí)體積對比圖2、模型一改進(jìn)根據(jù)圖中所示,油罐中油高度越高,計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果誤差越大。但將兩數(shù)據(jù)差值與實(shí)
12、驗(yàn)數(shù)據(jù)相除,得到誤差率,可知誤差率維持在3.49%左右。由于上述模型建立在理想狀況下,油罐內(nèi)測量儀器所占的體積并未減去,因此將上述模型改進(jìn)。根據(jù)最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合,得到誤差值與油高度的關(guān)系,則桶內(nèi)油量與高度的關(guān)系為:用Matlab編程,計(jì)算function y=tiji(h);a=8.9;b=6;l=24.5;n=length(h);for i=1:n y(i)=l.*a.*(sqrt(2.*b.*h(i)-h(i).2).*(h(i)-b)+b.2.*asin(h(i)-b)./b)-b.2.*asin(-1)./b+0.2609*h(i).2-16.8216*h(i)+19.9504
13、;end運(yùn)行程序之后,利用無變位出油量數(shù)據(jù)對改進(jìn)的模型一進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)油面高度由下降至?xí)r,根據(jù)公式計(jì)算油桶出油量為。用此數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)中的出油量對比,用以檢驗(yàn)?zāi)P偷恼_性。用Matlab編程,程序如下:function y=cha(h)n=length(h);for i=1:n-1 y(i)=tiji(h(i)-tiji(h(i+1)-50;end經(jīng)計(jì)算,兩數(shù)據(jù)之間的差值在0.01左右,說明此模型與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合程度很好,模型建立正確。油桶內(nèi)油量與高度的關(guān)系為:3、建立模型二:小橢圓油罐縱向傾斜時(shí)油量與測量高度的關(guān)系傾斜油罐的縱切面示意圖如下:圖5 傾斜油罐縱切面示意圖其中紅色線條為水平線,其與軸的夾
14、角為。下面為方便計(jì)算,本文將小橢圓油罐旋轉(zhuǎn)后縱向放置代入坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,示意圖如下:圖6 縱向放置油罐示意圖 圖7 切面示意圖在平面內(nèi),小橢圓橫切面軌跡函數(shù)為,假設(shè)油面與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,則油面浸沒高度為。設(shè)油罐內(nèi)油高的平面函數(shù)為,對圖7中陰影部分求積分可得出此時(shí)油罐中油的含量:其中,被積函數(shù)、積分區(qū)域關(guān)于軸對稱,積分化簡為接下來求的函數(shù)表達(dá)式。在截面中,設(shè)平面與橢圓柱體交點(diǎn)為,則坐標(biāo)為圖8 被積平面示意圖觀察圖像,顯然可以得到空間內(nèi)平行于油面的一組空間向量以及在油面上一點(diǎn)設(shè)油面函數(shù)表達(dá)式其中 整理可得油面函數(shù)表達(dá)式代入上文中體積積分公式此為傾斜小橢圓油桶體積的一般公式。但當(dāng)變得足夠大時(shí),油面升高至
15、油罐另一端面圓底線之上,須將上進(jìn)一般公式計(jì)算出的結(jié)果,減去相應(yīng)的罐外虛擬部分,如下圖所示。圖9 含有虛擬部分的積分示意圖在計(jì)算虛擬部分體積時(shí),我們在原有坐標(biāo)系基礎(chǔ)上,又以油罐上橢圓面中心為原點(diǎn),建立新坐標(biāo)系。圖10 兩種坐標(biāo)系計(jì)算積分設(shè)線段與油罐交點(diǎn)為,且橫坐標(biāo)為將未剔除虛擬部分時(shí)的體積記作,虛擬部分的體積記作,油的容量。根據(jù)相似關(guān)系,得到在新建立坐標(biāo)系中,容易得到,則設(shè)計(jì)量表顯示的油量高度為,則與、有如下關(guān)系:圖11 關(guān)系示意圖,得到、與關(guān)系為,即當(dāng)時(shí),計(jì)算體積時(shí)需要減去虛擬部分。代入體積的積分公式:用Matlab變成,程序如下:function s=vh(h);c=cot(4.1.*pi.
16、/180);n=length(h);syms x y;for i=1:nv1(i)=2.*c.*int(int(x-6+h(i)+4./c,y,0,8.9.*sqrt(1-x.2./36),x,6-h(i)-4./c,6);if h<=0.2867 s(i)=v1(i);endif h>0.2867 v2(i)=2.*c.*int(int(x-6+h(i)-20.5./c,y,0,8.9.*sqrt(1-x.2./36),x,6-h(i)+20.5./c,6) s(i)=v1(i)-v2(i);endend4、模型二檢驗(yàn)與改進(jìn)將附件1中油量高度數(shù)據(jù)代入程序,計(jì)算油罐中油的含量,結(jié)果
17、見附表。計(jì)算結(jié)果可知,由模型計(jì)算出的油量與實(shí)際實(shí)驗(yàn)中得到的數(shù)據(jù)相差較大,誤差率可達(dá)到5.46%。兩者之差如下圖所示圖12 計(jì)算值與實(shí)際值之差為了找到誤差與高度之間的關(guān)系,我們用最小二乘法擬合出兩者的關(guān)系。利用Matlab軟件中polyfit命令進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合,得到兩數(shù)據(jù)差值與高度關(guān)系為,擬合圖像如下圖13 差值的最小二乘法擬合模型改進(jìn)之后,高度與油量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椋豪脙A斜變位出油量數(shù)據(jù)對改進(jìn)的模型二進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)油面高度由下降至?xí)r,根據(jù)公式計(jì)算油桶出油量為。用此數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)中的出油量對比,用以檢驗(yàn)?zāi)P偷恼_性。用Matlab編程,程序如下:function y=cha(h)n=length
18、(h);for i=1:n-1 y(i)=vh(h(i)-vh(h(i+1)-50;end運(yùn)行結(jié)果如附錄所示,得到模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)的實(shí)際值之差維持在(-3.5,3.5)升左右,即模型計(jì)算值與實(shí)際值相差很小,說明改進(jìn)模型二較合理。利用改進(jìn)的模型二,計(jì)算小橢圓油罐縱向傾斜后,油管高度示數(shù)與油量的關(guān)系為(高度:):表1 儀器讀數(shù)每升高1罐容表標(biāo)定值高度標(biāo)定值高度標(biāo)定值高度標(biāo)定值高度標(biāo)定值1112.06431611.8611758.2913034.82119.080732643.9621800.6923075.53117.15533676.6631843.1933115.94116.379134709
19、.9641885.89431565116.8435743.7651928.5953195.86118.636778661971.3963235.37121.7437812.9672014.3973274.48126.3338848.2682057.2983313.29132.4239884692100.3993351.510140.140920.2702143.31003389.411149.341956.9712186.4101342712160.342994722229.5102346413172.9431031.5732272.71033500.614187.3441069.474231
20、5.81043536.615203.6451107.6752358.91053572.216221.4461146.2762401.91063607.117240.6471185.27724451073641.518261.1481224.5782487.91083675.219282.7491264792530.81093708.220305.4501303.9802573.61103740.621329.1511344.1812616.31113772.222353.7521384.5822658.9112380323379.3531425.2832701.31133832.924405.
21、7541466.1842743.71143861.925433551507.2852785.81153889.926461561548.6862827.91163916.827489.8571590.2872869.71173942.428519.3581631.9882911.31183966.529549.5591673.9892952.7119398930580.3601716902993.91204009.95、建立模型三:實(shí)際油罐縱向偏轉(zhuǎn)問題二:該油罐主體為圓柱體,兩端為球罐體,先單從縱向旋轉(zhuǎn)的角度考慮,可傾斜后的情形如下圖所示; 圖14 實(shí)際油罐體積分割圖像由于在縱向傾斜角度固定的
22、情況下,油罐體積形態(tài)不會(huì)隨著橫向傾斜角度的變化而發(fā)生改變,因此,可以首先單獨(dú)分析縱向傾斜下油罐體內(nèi)油的體積與高度的關(guān)系。在油罐體發(fā)生縱向傾斜后,為了方便計(jì)算其體積,將油罐體分為三部分,其依次為前冠、柱體與后冠,通過分別計(jì)算三者的體積,來求取儲(chǔ)存油的總體積。其總體積求取公式可表示如下:對此,我們分布求取三部分的體積。首先求取柱體的體積。將第一問的模型加以改進(jìn),即將橢圓柱體改為第二問中的圓柱體,整理數(shù)據(jù)后,得出如下結(jié)果:設(shè)為測量表平面中液面高度,則與、有如下關(guān)系:圖15 實(shí)際油罐中、三者關(guān)系,得到、與關(guān)系為 ,其中r為圓柱體底面圓的半徑,;即當(dāng)時(shí),計(jì)算體積時(shí)需要減去虛擬部分。代入體積的積分公式:當(dāng)
23、油位高度以及縱向偏轉(zhuǎn)角確定時(shí),根據(jù)以上模型即可求取圓柱體積。其次,我們求取球冠體積。由上圖分析得出,在偏角相對較小的情況下,由于與之間的體積相差極小,可以將兩者近似看成相等。為得到體積,可將的體積近似看作的體積圖16 前球冠體積積分區(qū)間 則儲(chǔ)存油在球冠內(nèi)的體積公式為具體積分推導(dǎo)如下圖17 球冠內(nèi)液體含量建立坐標(biāo)后的球冠如上如所示,其中依圖可求取與間關(guān)系,式子如下:易得:由以上球冠體積積分模型可知,只要給出確定的,就能求出其對應(yīng)的球冠體積?,F(xiàn)在此題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化由固定的油位高度來確定,有幾何知識(shí)可得可知,之間的關(guān)系:對于前冠易得確定球的方程: 斜截面方程: 直線的方程:: 直線與球面的交點(diǎn)橫坐標(biāo)極
24、為聯(lián)立直線與球面方程: 求得:取則同理對于后冠圖18 后半球冠液體含量示意圖易得其對應(yīng)的,則由以上模型可得:當(dāng)給出確定和油位高度時(shí)即可求得前冠油量體積和后冠油量體積。然后考慮油桶橫向傾斜的情況。油桶橫切面是一半徑的圓,因此橫向傾斜后,油面的實(shí)際高度并未變化,即為模型三中。設(shè)此時(shí)油罐測量出的高度值為,如下圖所示,明顯有,圖19 橫向傾斜時(shí)關(guān)系圖油桶橫向傾斜角度后,根據(jù)中的邊角關(guān)系知:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有可以算出,()同時(shí)考慮橫向傾斜縱向傾斜后 可轉(zhuǎn)化為因此由此模型,給出縱向偏轉(zhuǎn)角,橫向偏轉(zhuǎn)角,油浮子顯示的油位高度 ,即可求得對應(yīng)的罐內(nèi)液體體積的理論值。對于總體積的求解,還用Matlab
25、編程,具體程序見附錄5。6、確定參數(shù)現(xiàn)根據(jù)擬合的數(shù)據(jù),欲利用來確定的值,顯然,直接將數(shù)據(jù)代入求解很難得到相應(yīng)的數(shù)據(jù),因此,這里利用計(jì)算機(jī)擬合的方法,利用計(jì)算機(jī)生成一組對應(yīng)的與,用以計(jì)算最優(yōu)參數(shù)值。當(dāng)油面高度的測量值由下降到時(shí),根據(jù)計(jì)算,桶內(nèi)油的減少量為:由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),記每次倒出的油量為,倒出油前,高度的測量值為,倒出油后,高度的測量值為,因此,倒出油的計(jì)算值為:計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的差距為:殘差的平方為用計(jì)算機(jī)模擬生成、,取其中令殘差的平方和最小的的值為變位參數(shù)的估計(jì)。用Matlab編程,程序如下function r,c=fc(h,v0);n=length(h);for alp=0.01:0.01:
26、15 for bet=0.01:0.01:15 for i=1:n-1 v(i)=(ztj(h(i),alp,bet)-ztj(h(i+1),alp,bet)-v(i).2; end s(1000alp,1000bet)=sum(v); endenda,b=find(s=min(min(s);r=a/1000;c=b/1000;程序運(yùn)行結(jié)果為,此為兩參數(shù)的估計(jì)值。7、模型三的檢驗(yàn)根據(jù)建立的模型,我們隨機(jī)在實(shí)際儲(chǔ)油罐的采集數(shù)據(jù)中選取16組數(shù)據(jù)對模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn),通過模型三計(jì)算理論出油量與實(shí)際出油量進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)之間誤差很小,如下表所示:表2 理論出油量與實(shí)際出油量對比理論出油量實(shí)際出
27、油量誤差誤差率未出油高度出油后高度70.211368.451.76130.02573126.24326.2067215.2464212.342.90640.01368725.000724.9006106.1936104.631.56360.01494423.393723.3488146.2139144.042.17390.01509222.328822.269990.412989.640.77290.00862221.003220.9684313.5757316.03-2.4543-0.0077719.895919.7787225.4407225.69-0.2493-0.001118.0498
28、17.968237.0517240.4-3.3483-0.0139316.744816.6596119.7358120.98-1.2442-0.0102815.609215.5662180.0304181.51-1.4796-0.0081514.224514.1593133.9623134.84-0.8777-0.0065112.89212.8426157.8067159.7-1.8933-0.011869.55089.4867215.1994221.72-6.5206-0.029418.42188.3295212.8129219.44-6.6271-0.03026.63386.5311194
29、.2199199.47-5.2501-0.026325.34855.2427170.9802182.7-11.7198-0.0641519.793319.7251圖20 理論出油量與實(shí)際出油量對比根據(jù)表中數(shù)據(jù)明顯可以看出,模型三所得數(shù)據(jù)的誤差率時(shí)刻保持在一個(gè)相當(dāng)?shù)偷乃缴希瑤缀蹩梢院雎圆挥?jì),因此,我們認(rèn)為此模型的建立比較合理準(zhǔn)確。8、確定罐容表標(biāo)定值通過上述檢驗(yàn),證明經(jīng)過模型計(jì)算出的容量與真實(shí)值差別不大,這也說明了模型的正確性。根據(jù)模型,我們可以得到每升高1油罐的容量如下表:表3 每升高1 罐容表的標(biāo)定值高度(dm)標(biāo)定值高度(dm)標(biāo)定值43515.10 173507755175.00 18
30、3784667050.30 194058579107.70 2043278811321.00 2145911913667.00 22484671016126.00 23509281118680.00 24532771221311.00 25554931324004.00 26575541426742.00 27594341529510.00 28611011632294.00 六、模型的評價(jià)和改進(jìn)模型優(yōu)點(diǎn):1.由于此模型需要求解物體的相應(yīng)體積,我們通過積分學(xué)對物體體積 進(jìn)行建模與求解,得出的物體體積真實(shí)且精確,提高了模型的可靠性;2.文中借以構(gòu)造虛擬的積分區(qū)域及借助了物體間的對稱性或相似性等客
31、觀特點(diǎn),對物體體積進(jìn)行分段處理,為其求取提供了便捷且有效的空間,并使模型更便于分析與利用;3.由于模型中采取了變量積分的方法,改變變量值即可求得其對應(yīng)條件下的結(jié)果,模型適用范圍較大,便于模型在實(shí)際生活中的推廣和應(yīng)用。4.模型建立后,通過理論模型與實(shí)際數(shù)據(jù)相結(jié)合的方法,進(jìn)行誤差分析,并對模型進(jìn)行了進(jìn)一步的修正和改進(jìn)模型,使得模型理論值和實(shí)際值的誤差控制在一個(gè)較小范圍內(nèi),使得模型更符合實(shí)際,更精確。5.模型求解時(shí),由于數(shù)據(jù)繁瑣,積分較復(fù)雜,合理的應(yīng)用了Matlab編程,并利用計(jì)算機(jī)搜索使得模型的求解具有可操作性。模型缺點(diǎn):1.此模型只考慮到在其他因素不變的情況下,物體的形態(tài)隨傾斜角度的不同而發(fā)生變
32、化的情況,雖然對誤差進(jìn)行了分析,但是對于多因素影響的情況,模型仍顯得有些不足;2.模型對問題進(jìn)行了分析與相應(yīng)地求解,雖然考慮了誤差因素并對模型進(jìn)行了改善,但是仍然缺乏準(zhǔn)確對物體進(jìn)行修正的方法,此外,利用Matlab求解,由于存在大量變量積分,運(yùn)算速度較慢。通過對模型的評價(jià),我們可以將模型結(jié)合實(shí)際,加以推廣,如考慮多方面因素對罐內(nèi)液體體積的影響,并且建立可行的模型,使其更具通用性,并且可以通過模型對物體的分析,來建立合理的修正模型,使得后續(xù)工作更為完善。七、參考文獻(xiàn)1陳紀(jì)修等,數(shù)學(xué)分析(第二版),北京,高等教育出版社,2004.2蕭樹鐵等,大學(xué)數(shù)學(xué)(第二版),北京,高等教育出版社,2006.3姜
33、啟源等,數(shù)學(xué)模型(第三版),北京,高等教育出版社,2003.4高恩強(qiáng)等,臥式傾斜安裝圓柱體油罐不同液面高度時(shí)貯油量的計(jì)算J,山東冶金,20卷:26-28,1998.5田鐵軍,傾斜立式罐部分容積的計(jì)算J,現(xiàn)代計(jì)量測試,第四期:39-44,1999.八、附錄附錄1:無傾斜小橢圓油罐模型計(jì)算結(jié)果無傾斜油罐高度模型一計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值誤差誤差率改進(jìn)模型計(jì)算值改進(jìn)后后誤差改進(jìn)后誤差率1.5902322.931210.93.49359316.74.71.506411.7614374.636212.63.480663365.83.81.0497241.9259426.441214.43.495146414.92.
34、90.7038832.085478.146216.13.484848464.12.10.4545452.2393529.951217.93.496094513.41.40.2734372.3897581.656219.63.487544562.80.80.1423492.5366633.461221.43.496732612.30.30.049022.6804685.166223.13.489426661.8-0.2-0.030212.8216736.871224.83.483146711.4-0.6-0.084272.9603788.676226.63.490814761-1-0.13123
35、3.0969840.381228.33.485222810.7-1.3-0.16013.2315892.186230.13.491879860.4-1.6-0.185613.3644943.891231.83.486842910.1-1.9-0.208333.4957995.596233.53.482328959.9-2.1-0.21833.62561047.3101235.33.4881421009.7-2.3-0.227273.75421099.1106237.13.4934091059.5-2.5-0.23543.88161150.8111238.83.4892091109.4-2.6-
36、0.233814.00791202.6116240.63.4939761159.3-2.7-0.232364.13321254.3121242.33.4900991209.2-2.8-0.231024.257613061262443.4865291259.1-2.9-0.229794.38121357.8131245.83.4908541309-3-0.228664.5041409.5136247.53.4875181359-3-0.220264.62621461.2141249.23.4844191408.9-3.1-0.219554.747815131462513.4883721458.9
37、-3.1-0.212044.86891564.7151252.73.485451509-3-0.198414.98951616.5156254.53.4891171559-3-0.192065.10971668.2161256.23.4863521609.1-2.9-0.17995.229517201662583.4897711659.1-2.9-0.174495.3491771.7171259.73.487151709.2-2.8-0.163555.46821823.5176261.53.4903521759.2-2.8-0.158915.58721875.2181263.23.487859
38、1809.3-2.7-0.149015.7061198718621256.7132121859.4-2.6-0.139635.82481978.7191266.73.4884941909.5-2.5-0.130755.94352030.4196268.43.4862391959.6-2.4-0.122326.06222082.2201270.23.4890662009.8-2.2-0.109346.180921342062723.4917562059.9-2.1-0.101846.29962185.7211273.73.4895832110-2-0.09476.41852237.4216275
39、.43.4875122160.2-1.8-0.083266.53752289.2221277.23.4900542210.3-1.7-0.076856.65672340.9226278.93.4880642260.4-1.6-0.070736.77632392.7231280.73.4904842310.6-1.4-0.060556.78542396.62315.8380.773.4877342314.4-1.43-0.061756.90532448.42365.8382.573.4901072364.6-1.23-0.051996.90822449.62367.0682.543.487026
40、2365.8-1.26-0.053237.02852501.42417.0684.343.4893632416-1.06-0.043857.14912553.12467.0686.043.4875522466.1-0.96-0.038917.27032604.92517.0687.843.4897862516.3-0.76-0.030197.39192656.62567.0689.543.4880372566.5-0.56-0.021817.51422708.32617.0691.243.4863552616.6-0.46-0.017587.63727602666.9893.023.48784
41、2666.7-0.28-0.01057.64162761.92668.8393.073.4872962668.6-0.23-0.008627.76532813.72718.8394.873.4893692718.7-0.13-0.004787.88992865.42768.8396.573.4877552768.90.070.0025288.01542917.22818.8398.373.48974628190.170.0060318.14192968.92868.83100.073.4881822869.20.370.0128978.26953020.72918.83101.873.4900
42、972919.40.570.0195288.39833072.42968.83103.573.488582969.50.670.0225688.52843124.13018.83105.273.4871133019.60.770.0255078.663175.93068.83107.073.4889523069.70.870.028358.79323227.63118.83108.773.4875263119.80.970.0311018.92823279.43168.83110.573.48933169.91.070.0337668.92843279.53168.91110.593.4898
43、4431701.090.0343979.06533331.23218.91112.293.4884483220.11.190.0369699.20453382.93268.91113.993.4870953270.21.290.0394639.34613434.73318.91115.793.4887963320.21.290.0388689.49053486.43368.91117.493.4874783370.21.290.0382919.6383538.23418.91119.293.4891243420.21.290.0377319.78913589.93468.91120.993.4
44、878393470.21.290.0371879.94433641.73518.91122.793.4894333520.11.190.03381710.10433693.43568.91124.493.4881835701.090.03054210.26993745.13618.91126.193.4869623619.80.890.02459310.44253796.93668.91127.993.4885023669.60.690.01880710.62373848.63718.91129.693.4873123719.30.390.01048710.81593900.43768.911
45、31.493.4888073768.9-0.01-0.0002711.02333952.13818.91133.193.4876443818.4-0.51-0.0133511.25324003.93868.91134.993.4890963867.6-1.31-0.0338611.52364055.63918.91136.693.487963916.4-2.51-0.0640511.93494107.43968.91138.493.4893713963.7-5.21-0.13127附錄2:改進(jìn)模型一出油量計(jì)算值與試驗(yàn)值之差無傾斜油罐出油量高度計(jì)算量與實(shí)際差值出油量高度計(jì)算量與實(shí)際差值50115
46、0.72-1.161350619.080.1348501123.99-0.783550607.210.0976501101.15-0.550950595.350.1245501080.51-0.418650583.480.089501061.36-0.282850571.610.1173501043.29-0.239750559.720.0829501026.08-0.141550547.820.0695501009.54-0.108450535.90.076750993.57-0.079750523.950.061850978.08-0.018550511.970.024350962.99-
47、0.008450499.960.046550948.260.018350487.90.002850933.840.055650475.8-0.024950919.690.090150463.650.002650905.780.06550451.43-0.039250892.10.102850439.15-0.070150878.610.10550426.8-0.052350865.30.117250414.36-0.108850852.150.147850401.84-0.122250839.140.125850389.22-0.13650826.270.133450376.49-0.154250813.520.176650363.64-0.219350800.870.140150350.67-0.221150788.330.14650337.55-0.243250775.880.15850324.27-0.291950763.510.17865
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