全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試二試

1、2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準（A卷）說明：1評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1函數(shù)在上的最小值是 （ C ）A0 B1 C2 D3解 當時，因此，當且僅當時上式取等號而此方程有解，因此在上的最小值為22設，若，則實數(shù)的取值范圍為 （ D ）A B C D解 因有兩個實

2、根 ，故等價于且，即且，解之得3甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望為 （ B ）A. B. C. D. 解法一 依題意知，的所有可能值為2，4，6.設每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為 若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故解法二 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨立性與互不相容性得， ， ，故4

3、若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3解 設這三個正方體的棱長分別為，則有，不妨設，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無解，若，則無解此時無解若，則，有唯一解，若，則，此時，故，但，故，此時無解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm35方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 若，則解得或若，則由得 由得 將代入得 由得，代入化簡得.

4、易知無有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6設的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是 （ C ）A. B. C. D. 解 設的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設，其中為實數(shù)，若，則 5 .解 由題意知，由得，因此，8設的最小值為，則解 ，(1) 時，當時取最小值；(2) 時，當時取最小值1；(3) 時，當時取最小值又或時，的最小值不能為，故，解得，(舍去)9將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名

5、額且各校名額互不相同的分配方法共有 222種解法一 用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用表示名額如表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額若把每個“”與每個“”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當于個位置（兩端不在內(nèi)）被2個“”占領的一種“占位法”“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“”，故有種又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種解法二設分配給3個學校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程

6、的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種10設數(shù)列的前項和滿足：，則通項=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以11設是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足 ，則=解法一 由題設條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以12一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 解 如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為

7、，作平面/平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因答12圖1 ，故，從而記此時小球與面的切點為，連接，則考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證： 答13圖證 的圖象與直線 的三個交點如

8、答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點為，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即 5分分組分解 ， 10分所以， 15分所以，即或故原不等式解集為 20分解法二 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于5分即， ， 10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于 ， 15分即，解得(舍去)，故原不等式解集為 20分題15圖15如題15圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值解 設，不妨設直線的方程:，化簡得 又圓心到的距離為1， ， 5分故，易知，上式化簡得， 同理有 10分所以，則因是拋物線上的點，有，

9、則 ， 15分所以 當時，上式取等號，此時因此的最小值為8 20分2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試（A卷）試題參考答案及評分標準說明：1評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次一、（本題滿分50分）如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動點，令（）求證：當達到最小值時，四點共圓；（）設是外接圓的上一點，滿足：，又是的切線，求的最小值解法一 （）如答一圖1，由托勒密不等式，對平面上的任意點，有答一圖1 因此 因為上面不等式當且僅當順次共圓時取等號，因此當

10、且僅當在的外接圓且在上時， 10分又因，此不等式當且僅當共線且在上時取等號因此當且僅當為的外接圓與的交點時，取最小值故當達最小值時，四點共圓 20分（）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分從而，為等腰直角三角形因，則又也是等腰直角三角形，故，故 50分答一圖2解法二 （）如答一圖2，連接交的外接圓于點（因為在外，故在上）過分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以 10分設，則對平面上任意點，有 ，從而 由點的任意性，知點是使達最小值的點由點在上，故四點共圓 20

11、分（）由（），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分所以，為等腰直角三角形，因為，點在上，所以為矩形，故，所以 50分解法三 （）引進復平面，仍用等代表所對應的復數(shù)由三角形不等式，對于復數(shù)，有 ，當且僅當與（復向量）同向時取等號有 ，所以 （1） ，從而 （2） 10分（1）式取等號的條件是 復數(shù) 與同向，故存在實數(shù)，使得 ， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點共圓（2）式取等號的條件顯然為共線且在上故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓 20分（）由（）知以下同解法一二、（本題

12、滿分50分）設是周期函數(shù)，和1是的周期且證明：（）若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；（）若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個都是的周期證（）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 于是是的周期10分又因，從而設是的素因子，則，從而是的周期 20分（）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ， ， 30分由數(shù)學歸納法易知均為無理數(shù)且又，故，即因此是遞減數(shù)列 40分最后證：每個是的周期事實上，因1和是的周期，故亦是的周期假設是的周期，則也是的周期由數(shù)學歸納法，已證得均是的周期 50分三、（本題滿分50分）設，證明：當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件：（），；（）存在；（）， 證 必要性：假設存在滿足（），（），（iii）注