數學形態(tài)學原理

1、第6章 數學形態(tài)學及其應用 6.1 數學形態(tài)學概述數學形態(tài)學概述 6.2 二值形態(tài)學二值形態(tài)學6.3 灰值形態(tài)學灰值形態(tài)學 6.4 形態(tài)學的應用形態(tài)學的應用 6.5 形態(tài)學濾波及骨架抽取的形態(tài)學濾波及骨架抽取的MATLAB實現實現 6.1 數學形態(tài)學概述數學形態(tài)學概述 6.1.1 數學形態(tài)學數學形態(tài)學 數學形態(tài)學是法國和德國的科學家在研究巖石結構時建立的一門學科(1664)。 形態(tài)學的用途是獲取物體拓撲和結構信息，它通過物體和結構元素相互作用的某些運算，得到物體更本質的形態(tài)。 在圖象處理中的應用主要是：(1)利用形態(tài)學的基本運算，對圖象進行觀察和處理，從而達到改善圖象質量的目的；(2)描述和定

2、義圖象的各種幾何參數和特征，如面積、周長、連通度、顆粒度、骨架和方向性等。 數學形態(tài)學的數學基礎和所用語言是集合論，因此它具有完備的數學基礎，這為形態(tài)學用于圖像分析和處理、形態(tài)濾波器的特性分析和系統(tǒng)設計奠定了堅實的基礎。 數學形態(tài)學的應用可以簡化圖像數據，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干的結構。 數學形態(tài)學方法利用一個稱作結構元素的“探針”收集圖像的信息，當探針在圖像中不斷移動時， 便可考察圖像各個部分之間的相互關系，從而了解圖像的結構特征。 迄今為止， 還沒有一種方法能像數學形態(tài)學那樣既有堅實的理論基礎，簡潔、 樸素、 統(tǒng)一的基本思想，又有如此廣泛的實用價值。有人稱數學形態(tài)學在理論上是嚴

3、謹的，在基本觀念上卻是簡單和優(yōu)美的。 數學形態(tài)學是一門建立在嚴格數學理論基礎上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產生了重大影響。已經構成一種新的圖像處理方法和理論，成為計算機數字圖像處理的一個重要研究領域.6.1.2 基本符號和定義基本符號和定義 1. 集合論概念集合論概念 在數字圖像處理的數學形態(tài)學運算中，把一幅圖像稱為一個集合。 對于一幅圖像A，如果點a在A的區(qū)域以內， 那么就說a是A的元素，記為aA，否則，記作aA.2. B包含于包含于A 設有兩幅圖象B，A。對于B中所有的元素ai，都有aiA，則稱B包含于A，記作AB AB cD 3. 交集和并集交集和并集 兩個圖像集合A和

4、B的公共點組成的集合稱為兩個集合的交集， 記為AB，即AB=aaA且aB。 兩個集合A和B的所有元素組成的集合稱為兩個集合的并集，記為AB，即AB=aaA或aB。 4. 補集補集 設有一幅圖象X，所有X區(qū)域以外的點構成的集合稱為X的補集，記作Xc，顯然，如果BX=，則B在X的補集內。B 2. 擊中與擊不中擊中與擊不中 設有兩幅圖象B，A。若存在這樣一個點，它即是B的元素，又是A的元素， AB 則稱B擊中A，記作BA， 擊不中擊不中 設有兩幅圖象B，A。若不存在任何一個點，它即是B的元素，又是A的元素，即B和A的交集是空，則稱B不擊中A，記作BA= 3平移和對稱集平移和對稱集平移平移 設A是一幅

5、數字圖像，b是一個點，那么定義A被b平移后的結果為Abab| aA，即取出A中的每個點a的坐標值，將其與點b的坐標值相加，得到一個新的點的坐標值a+b，所有這些新點所構成的圖像就是A被b平移的結果，記為A+b， 對稱集對稱集 設有一幅圖象B，將B中所有元素的坐標取反，即令(x，y)變成(-x，-y)，所有這些點構成的新的集合稱為B的對稱集，記作Bv。 4. 結構元素結構元素 設有兩幅圖象B，A。若A是被處理的對象，而B是用來處理A的，則稱B為結構元素，又被形象地稱做刷子。結構元素通常都是一些比較小的圖象 6.2 二值形態(tài)學二值形態(tài)學 二值形態(tài)學中的運算對象是集合。設A為圖像集合，S為結構元素，

6、數學形態(tài)學運算是用S對A進行操作。 實際上結構元素本身也是一個圖像集合。對每個結構元素可以指定一個原點，它是結構元素參與形態(tài)學運算的參考點。應注意， 原點可以包含在結構元素中，也可以不包含在結構元素中，但運算的結果常不相同。SO 6.2.1 腐蝕腐蝕 對一個給定的目標圖像X和一個結構元素S， 想象一下將S在圖像上移動。在每一個當前位置x， S+x只有三種可能的狀態(tài)： (1) S+xX； (2) S+xXC； (3) S+xX與S+xXC均不為空。 xS x1S x2S x3 腐蝕是最基本的一種數學形態(tài)學運算。 腐蝕也可以用集合的方式定義，即 X用S腐蝕的結果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合

7、。換句話說，用用S S來腐蝕來腐蝕X X得到的集合是得到的集合是S S完全包括在完全包括在X X中時中時S S的原的原點位置的集合。點位置的集合。|XxSxSX 對于任意一個在陰影部分的點a，Ba 包含于X，所以X被B腐蝕的結果就是那個陰影部分。陰影部分在X的范圍之內，且比X小，就象X被剝掉了一層似的，這就是為什么叫腐蝕的原因 腐蝕在數學形態(tài)學運算中的作用是消除物體邊界點。6.2.2 膨脹膨脹 膨脹可以看做是腐蝕的對偶運算，其定義是：把結構元素B平移a后得到Ba，若Ba擊中X，我們記下這個a點。所有滿足上述條件的a點組成的集合稱做X被B膨脹的結果。 腐蝕可以看作是將圖像X中每一與結構元素S全等

8、的子集S+x收縮為點x。反之，也可以將X中的每一個點x擴大為S+x，這就是膨脹運算，記為X S。若用集合語言，它的定義為X S = x| S+xx 圖中X是被處理的對象，B是結構元素，對于任意一個在陰影部分的點a，Ba擊中X，所以X被B膨脹的結果就是那個陰影部分。陰影部分包括X的所有范圍，就象X膨脹了一圈似的，這就是為什么叫膨脹的原因。 圖 腐蝕與膨脹示意圖 二值圖像腐蝕膨脹6.2.4 開運算與閉運算開運算與閉運算開運算 先腐蝕后膨脹稱為開對圖像X及結構元素S，用符號XS表示S對圖像X作開運算SSXSX)(O 開運算去掉了凸角(a) 結構元素S1和S2；(b) XS1；(c) XS2 結論：結

9、論：我們可以得到關于開運算的幾點結論：（）開運算能夠除去孤立的小點，毛刺和小橋，而總的位置和形狀不便。（）開運算是一個基于幾何運算的濾波器。（）結構元素大小的不同將導致濾波效果的不同。（）不同的結構元素的選擇導致了不同的分割，即提取出不同的特征。6.2.5 閉閉先膨脹后腐蝕稱為閉對圖像X及結構元素S，用符號X S表示S對圖像X作閉運算SSXSX)( 一般來說，閉運算能夠填平小湖(即小孔)，彌合小裂縫，而總的位置和形狀不變。這就是閉運算的作用。 閉運算填充了凹角(a) 結構元素S1和S2；(b) XS1； (c) XS2 n綜上所述，我們也可以得到關于閉運算的幾點結論：n（1）閉運算能夠填平小湖

10、（即小孔），彌合小裂縫，而總的位置和形狀不變。n（2）閉運算是通過填充圖像的凹角來濾波圖像的。n（3）結構元素大小的不同將導致濾波效果的不同。n（4）不同結構元素的選擇導致了不同的分割。 6.2.6 開閉運算的代數性質開閉運算的代數性質 由于開、閉運算是在腐蝕和膨脹運算的基礎上定義的， 根據腐蝕和膨脹運算的代數性質，我們不難得到下面的性質。1） 對偶性(XCS)C = XS ， (XCS)C = XS2）擴展性（收縮性）XSXXS 即開運算恒使原圖像縮小，而閉運算恒使原圖像擴大 3） 單調性 如果XY， 則XSYS， XSYS 如果YZ且ZY=Z， 那么XYX Z 根椐這一性質可以知道，結構元

11、素的擴大只有在保 證擴大后的結構元素對原結構元素閉運算不變的條件下方能 保持單調性。 4） 平移不變性(X+h)S=(XS)+h， (X+h)S=(XS)+hX(S+h)=XS， X(S+h)=XS 5）等冪性(XS)S = XS， (XS)S = XS 開、閉運算的等冪性意味著一次濾波就能把所有特定結構元素的噪聲濾除干凈，作重復的運算不會再有效果。這是一個與經典方法 (例如中值濾波、線性卷積)不同的性質。 6.3 灰值形態(tài)學灰值形態(tài)學 6.3.1 腐蝕與膨脹腐蝕與膨脹 1 灰度腐蝕灰度腐蝕 用結構元素b對輸入圖像f(x, y)進行灰值腐蝕記為f S， 其定義為式中，Df和Db分別是f和b的定

12、義域。 這里限制(t+x)和(m+y)在f的定義域之內，類似于二值腐蝕定義中要求結構元素完全包括在被腐蝕集合中。 ()( ,)min (,)( , )|,fsfs t mf tx mys x ytx myDxyD 其效果相當于半圓形結構元素在被腐蝕函數的下面“滑動”時，其圓心畫出的軌跡。但是，這里存在一個限制條件，即結構元素必須在函數曲線的下面平移。從圖中不難看出，半圓形結構元素從函數的下面對函數產生濾波作用，這與圓盤從內部對二值圖像濾波的情況是相似的。 采用了一個扁平結構元素對上圖的函數作灰值腐蝕。采用了一個扁平結構元素對上圖的函數作灰值腐蝕。扁平結構元素是一種在其定義域上取常數的結構元素。

13、注扁平結構元素是一種在其定義域上取常數的結構元素。注意這種結構元素產生的濾波效果。意這種結構元素產生的濾波效果。 6.3.2 灰值膨脹灰值膨脹 用結構元素S(x,y)對輸入圖像進行灰值膨脹記為f s，其定義為式中，Df和Db分別是f和S的定義域。這里限制(t-x)和(m-y)在f的定義域之內，類似于在二值膨脹定義中要求兩個運算集合至少有一個（非零）元素相交。()( ,)max (,)( , )|,fsfs t mf tx mys x ytx myDxyD 灰度膨脹可以通過將結構元素的原點平移到與信號重合，灰度膨脹可以通過將結構元素的原點平移到與信號重合，然后，對信號上的每一點求結構元素的最大值

14、得到然后，對信號上的每一點求結構元素的最大值得到. 6.3.2 開運算與閉運算開運算與閉運算 灰度開運算 用結構元素S(灰值圖像)對灰值圖像f做開運算記為f S，其定義為 f S =（f S） S 灰值閉運算灰值閉運算 用結構元素S(灰值圖像)對灰值圖像f做閉運算記為fS， 其定義為 f S=（f S） S 開運算可看作將b貼著f 的下沿從一端滾到另一端。對所有比b的直徑小的山峰其高度和尖銳度都減弱了。 開運算操作消除與結構元素相比尺寸較小的亮細節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。 腐蝕去除了小的亮細節(jié)并同時減弱了圖像亮度，膨脹增加了圖像亮度，但又不重新引入前面去除的細節(jié)。 閉運

15、算可看作將b貼著f 的上沿從一端滾到另一端。所有比b的直徑小的山谷得到了“填充”。閉運算操作消除與結構元素相比尺寸較小的暗細節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不受影響；膨脹去除了小的暗細節(jié)并同時增強了圖像亮度， 腐蝕減弱了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細節(jié)。 6.3.3 形態(tài)學重構 形狀重構是圖像形態(tài)處理的重要操作之一，通常用來強調圖像中與掩模圖像指定對象相一致的部分，同時忽略圖像中的其他對象。形態(tài)學重構是根據一幅圖像(稱之為掩模圖像mask)的特征對另一幅圖像(稱之為標記圖像marker)進行重復膨脹，重點是要選擇一個合適的標記圖像，使膨脹所得的結果能夠強調掩模圖像中的主要對象。每一

16、次膨脹處理從標記圖像的峰值點開始，整個膨脹過程將一直重復，直到圖像的像素值不再變化為止。形態(tài)重構操作具有這樣一些獨有的特性：形態(tài)重構處理是基于兩幅圖像的，一個是標記圖像，另一個是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個結構元素；重構將一直重復直至圖像穩(wěn)定(即圖像不再變化)；形態(tài)重構是基于連通性概念的，而不是基于結構元素的。 若g是掩模，f為標記，則從f重構g可以記為 ，它有下面的迭代過程定義： 1. 將 初始化為標記圖像 。 2. 創(chuàng)建結構元素 。 3. 重復 直到 標記 必須是g 的一個子集，即 。( )gRf1hfS1()kkhhsg1kkhhffg6.4 形態(tài)學的應用形態(tài)學的應用 前面已經介紹

17、了二值形態(tài)學和灰值形態(tài)學的基本運算腐蝕，膨脹，開和閉運算及其一些性質，通過對它們的組合可以得到一系列二值形態(tài)學和灰值形態(tài)學的實用算法。灰值形態(tài)學的主要算法有灰值形態(tài)學梯度，形態(tài)學平滑，紋理分割等。本節(jié)主要介紹形態(tài)學濾波，骨架抽取等重要算法。通過本節(jié)的討論，可以從幾何角度理解形態(tài)學的一些非常實用的技術。不過，應該注意到，在實際應用形態(tài)學方法時，通常需要對輸入圖像做預處理，以便適合于使用這些算法。同時對輸出圖像可能還要做一些處理，以便產生滿意的結果。6.4.1 形態(tài)學濾波形態(tài)學濾波 由于開、閉運算所處理的信息分別與圖像的凸、凹處相關， 因此，它們本身都是單邊算子，可以利用開、閉運算去除圖像的噪聲、

18、恢復圖像，也可交替使用開、閉運算以達到雙邊濾波目的。一般，可以將開、閉運算結合起來構成形態(tài)學噪聲濾波器，例如(XS)S或(XS)S等。 整個過程是先做開運算再做閉運算，可以寫為 SSXSSSSX)()( 可看出目標區(qū)域內外的噪聲都消除掉了，而目標本身除原來的4個直角變?yōu)閳A角外沒有太大的變化。在利用開、 閉運算濾除圖像的噪聲時，選擇圓形結構元素會得到較好的結果。為了能使從噪聲污染的圖像X中恢復原始圖像X0的結果達到最優(yōu)，在確定結構元素的半徑時，可以采用優(yōu)化方法。6.4.2 骨架抽取骨架抽取 1. 細化 就是從原來的圖中去掉一些點，但仍要保持原來的形狀。實際上，是保持原圖的骨架。 )(BXXBX即

19、X B為X與X B的差集。更一般地，利用結構對序列B1，B2，BN迭代地產生輸出序列 NNNBXXBXXBXX121211,隨著迭代的進行，得到的集合也不斷細化2. 細化的重要性 利用細化技術得到區(qū)域的細化結構是常用的方法。尋找二值圖像的細化結構是圖像處理的一個基本問題。在圖像識別或數據壓縮時，經常要用到這樣的細化結構。 在圖像識別或數據壓縮時，經常要用到這樣的細化結構3. 骨架 所謂骨架，可以理解為圖象的中軸. 例如 ：一個長方形的骨架是它的長方向上的中軸線； 圓的骨架是它的圓心； 直線的骨架是它自身； 孤立點的骨架也是自身 。（1）基于烈火模擬： 設想在時刻，將目標邊界各處同時點燃，火的前

20、沿以勻速向目標內部蔓延，當前沿相交時火焰熄滅，火焰熄滅點的集合就構成了骨架。圖 骨架的定義 （2）基于最大圓盤： 目標X的骨架由X內所有最大內切圓盤的圓心組成，最大圓盤不是其他任何完全屬于X的圓盤的子集，并且至少有兩點與目標邊界輪廓相切。 定義骨架子集Sk（X）為圖像X內所有最大圓盤kB的圓心x構成的集合，對于k0，1， 2， 從骨架的定義可知，骨架是所有骨架子集的并， 即 S(X)= Sk（X ）| k0， 1， 2， 可以證明骨架子集為Sk（X）= (X kB)-(X k) 式中，B為結構元素， (X kB)代表連續(xù)k次用B對X腐蝕S(X) = (X kB)-(XkB) | k0， 1，

21、2， 圖 骨架抽取示例(a) 一幅二值圖像； （b） 用33的結構元素S得到的骨架；(c） 用55的結構元素得到的骨架； （d）用77的結構元素得到的骨架 4. 細化算法舉例細化算法舉例 細化算法有很多，我們在這里介紹的是一種簡單而且效果很好的算法，用它就能夠實現從文本抽取骨架的功能。我們的對象是白紙黑字的文本。 * 判斷一個點是否能去掉的判據：判斷一個點是否能去掉的判據： 依據：八個相鄰點（八連通）的情況：依據：八個相鄰點（八連通）的情況： (1)內部點不能刪除；內部點不能刪除； (2)孤立點不能刪除；孤立點不能刪除； (3)直線端點不能刪除；直線端點不能刪除； (4)如果如果P是邊界點，去

22、掉是邊界點，去掉P后，如果連通分量不增加，則后，如果連通分量不增加，則P可以刪除?？梢詣h除。 方法：查表法 事先做出一張表，從0到255共有256個元素，每個元素要么是0，要么是1。我們根據某點(當然是要處理的黑色點了)的八個相鄰點的情況查表，若表中的元素是1，則表示該點可刪，若為0則保留。白點為白點為1，黑點為，黑點為012340567812480163264128 0-15 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1, 16-31 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1, 32-47 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,

23、0,1, 48-63 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1, 64-79 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 80-95 0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 96-111 1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,1,1,1,0,1, 112-127 0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 128-143 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1, 144-159 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1, 160-175 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1, 176-191 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,0, 192-207 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 208-223 1,1,0,0,1,1,1,1