高中數(shù)學132楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)學案新人教A版選修(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1 32“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)教學目標：知識與技能：掌握二項式系數(shù)的四個性質(zhì)。過程與方法：培養(yǎng)觀察發(fā)現(xiàn)，抽象概括及分析解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀：要啟發(fā)學生認真分析書本圖151提供的信息，從特殊到一般，歸納猜想，合情推理得到二項式系數(shù)的性質(zhì)再給出嚴格的證明。教學重點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題教學難點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 第一課時一、復習引入：1二項式定理及其特例：（1），（2）.2二項展開式的通項公式： 3求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公

2、式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性 二、講解新課：1二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當依次取時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和 2二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（）直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值，相對于的增減情況由決定，當時，二項式系數(shù)逐漸增大由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和：，令，

3、則 三、講解范例：例1在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和證明：在展開式中，令，則，即，即在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和說明：由性質(zhì)（3）及例1知.例2已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）當時，展開式右邊為，當時，（2）令， 令， 得：， .（3）由展開式知：均為負，均為正，由（2）中+ 得：， ， 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)解：=，原式中實為這分子中的，則所求系數(shù)為第二課時例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)解：在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x

4、)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為 展開式中含x的項為 ，此展開式中x的系數(shù)為240例5.已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項解：依題意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設第r+1項為常數(shù)項，又 令，此所求常數(shù)項為180例6 設，當時，求的值解：令得：，點評：對于，令即可得各項系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項和的關系例7求證：證（法一）倒序相加：設 又， 由+得：，即（法二）：左邊各組合數(shù)的通項為， 例8在的展開式中,求:二項式系數(shù)的和;各項系數(shù)的和;奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;奇

5、數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和;的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和.分析:因為二項式系數(shù)特指組合數(shù),故在,中只需求組合數(shù)的和,而與二項式中的系數(shù)無關.解：設(*),各項系數(shù)和即為,奇數(shù)項系數(shù)和為,偶數(shù)項系數(shù)和為,的奇次項系數(shù)和為,的偶次項系數(shù)和.由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求出相關的系數(shù)和.二項式系數(shù)和為.令,各項系數(shù)和為.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為.設,令,得到(1),令,(或,)得(2)(1)+(2)得,奇數(shù)項的系數(shù)和為;(1)-(2)得,偶數(shù)項的系數(shù)和為.的奇次項系數(shù)和為;的偶次項系數(shù)和為.點評:要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項

6、系數(shù)和”嚴格地區(qū)別開來,“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一.第三課時例9已知的展開式的系數(shù)和比的展開式的系數(shù)和大992,求的展開式中:二項式系數(shù)最大的項;系數(shù)的絕對值最大的項.解：由題意,解得.的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大,即.設第項的系數(shù)的絕對值最大,則,得,即 ,故系數(shù)的絕對值最大的是第4項 例10已知：的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項解：令，則展開式中各項系數(shù)和為，又展開式中二項式系數(shù)和為，（1），展開式共項，二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，（2）設展開式中第項系數(shù)最大，則，即展開式中第項系數(shù)最大，例11已知

7、，求證：當為偶數(shù)時，能被整除分析：由二項式定理的逆用化簡，再把變形，化為含有因數(shù)的多項式 ，為偶數(shù)，設（）， （） ，當=時，顯然能被整除，當時，（）式能被整除，所以，當為偶數(shù)時，能被整除三、課堂練習：1展開式中的系數(shù)為 ，各項系數(shù)之和為 2多項式（）的展開式中，的系數(shù)為 3若二項式（）的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值為（ ） A.4 B.5 C.6 D.84某企業(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應 （ ） A.低于5 B.在56之間 C.在68之間 D.在8以上5在的展開式中，奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7

8、求證：當且時，8求的展開式中系數(shù)最大的項 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6. 7. (略) 8. 四、小結 ：二項式定理體現(xiàn)了二項式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項數(shù)、二項式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項展開式中的項和系數(shù)的綜合問題，只需運用通項公式和二項式系數(shù)的性質(zhì)對條件進行逐個節(jié)破，對于與組合數(shù)有關的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項式定理的逆用 五、課后作業(yè)：P36 習題1.3A組5. 6. 7.8 B組1. 21已知展開式中的各項系數(shù)的和等于的展開式的常數(shù)項，而 展開式的系數(shù)的最大的項等于，求的值答案：2設求： 答案：； 3求值：答案

9、：4設，試求的展開式中：（1）所有項的系數(shù)和；（2）所有偶次項的系數(shù)和及所有奇次項的系數(shù)和答案：（1）； （2）所有偶次項的系數(shù)和為；所有奇次項的系數(shù)和為六、板書設計（略） 七、教學反思：二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系數(shù)最大的才是中間項，而系數(shù)最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關二項展開式系數(shù)的問題的重要手段。二項式定理概念的引入，我們已經(jīng)學過(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么對一般情況；(a+b)n展開后應

10、有什么規(guī)律，這里nN，這就是我們這節(jié)課“二項式定理”要研究的內(nèi)容.選擇實驗歸納的研究方式，對(a+b)n一般形式的研究與求數(shù)列an的通項公式有些類似，大家想想，求an時我們用了什么方法，學生：先寫出前n項，再觀察規(guī)律，猜測其表達式，最后用數(shù)學歸納法證明，老師：大家說得很正確，現(xiàn)在我們用同樣的方式來研究(a+b)4的展開，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我們可以用(a+b)3展開的結論計算(a+b)4(由學生板演完成，體會計算規(guī)律)然后老師把計算過程總結為如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3

11、ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.對計算的化算：對(a+b)n展開式中的項，字母指數(shù)的變化規(guī)律是十分明顯的，大家能說出它們的規(guī)律嗎？學生：a的指數(shù)從n逐次降到0，b的指數(shù)從0逐次升到n，老師：大家說的很對，這樣一來展開式的項數(shù)就是從0到n的(n+1) 項了，但唯獨系數(shù)規(guī)律還是“猶抱琵琶半遮面”使我們難以發(fā)現(xiàn)，但我們?nèi)钥捎脕肀硎?，它這樣一來(a+b)n的展開形式就可寫成(a+b)n=現(xiàn)在的問題就是要找的表達形式.為此我們要采用抽象分析法來化簡計算2007年高考題1（2007年江蘇卷）若對于任意實數(shù)，有，則的值為（B）A B C D2（2007年湖北卷）如果 的展開式中含有

12、非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為A.3 B.5 C.6 D.10【答案】：B.【分析】：，（）。.【高考考點】：本題主要考查二項式定理的有關知識和整除的知識,以及分析問題和解決問題的能力.【易錯點】：注意二項式定理的通項公式中項數(shù)與r的關系?！緜淇继崾尽浚憾検蕉ɡ硎歉呖嫉某？純?nèi)容，有時單獨命題，有時與其它分支的知識相綜合。3（2007年江西卷）已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則等于（C）4（2007年全國卷I）的展開式中，常數(shù)項為，則（ D ）ABCD5（2007年全國卷）的展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答）6（2007年天津卷）若的二項展開式中的系數(shù)為，則2（用數(shù)字作答）7（2007年重慶卷）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208（2007年安徽卷）若(2x3+)a的展開式中含有常數(shù)項,