數(shù)學(xué)模型中的反問(wèn)題逆問(wèn)題

1、數(shù)學(xué)模型中的反問(wèn)題向下運(yùn)動(dòng)向上運(yùn)動(dòng)風(fēng)箏數(shù)學(xué)模型竟賽中有很多涉及反問(wèn)題。如2010國(guó)賽中A題和2011年美賽中A題都涉及反問(wèn)題。顧名思義，反問(wèn)題是相對(duì)于正問(wèn)題而言的。正問(wèn)題的定義為：按著自然順序來(lái)研究事物的演化過(guò)程或分布形態(tài)，起著由因推果的作用。自然順序的定義為：不受任何限制和約定俗成的順序，一般地都認(rèn)為他們是自然而然的，無(wú)須多加解釋的。在一般地語(yǔ)境下，認(rèn)為這些順序都是是前提條件的。如時(shí)間順序、空間順序、因果順序，等等。純粹的自然順序的例子是第一，第二，第三這種升序；或者反過(guò)來(lái)的倒序；約定俗成的例子是上北下南左西右東。反問(wèn)題的定義為：根據(jù)事物的演化結(jié)果，由可觀測(cè)的現(xiàn)象來(lái)探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的

2、外部影響，由表及里，索隱探秘，起著倒果求因的作用?？梢钥闯?，正、反兩方面都是科學(xué)研究的重要內(nèi)容。但相對(duì)正問(wèn)題，反問(wèn)題求解難大，計(jì)算量大。許多人知道求解問(wèn)題的思路，但由于選用計(jì)算方法不適當(dāng)，在幾天內(nèi)求不出計(jì)算結(jié)果，失去獲獎(jiǎng)機(jī)會(huì)。盡管一些經(jīng)典反問(wèn)題的研究可以追溯很早，反問(wèn)題這一學(xué)科的興起卻是近幾十年來(lái)的事情。在科學(xué)研究中經(jīng)常要通過(guò)間接觀測(cè)來(lái)探求位于不可達(dá)、不可觸之處的物質(zhì)的變化規(guī)律；生產(chǎn)中經(jīng)常要根據(jù)特定的功能對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行設(shè)計(jì)，或按照某種目的對(duì)流程進(jìn)行控制。這些都可以提出為某種形式的反問(wèn)題?？梢姡磫?wèn)題的產(chǎn)生是科學(xué)研究不斷深化和工程技術(shù)迅猛發(fā)展的結(jié)果，而計(jì)算技術(shù)的革命又為它提供了重要的物質(zhì)基礎(chǔ)。 現(xiàn)在

3、，反問(wèn)題的研究已經(jīng)遍及現(xiàn)代化生產(chǎn)、生活、研究的各個(gè)領(lǐng)域。簡(jiǎn)單的概括不足以說(shuō)明問(wèn)題，我們下面具體介紹一些常見的反問(wèn)題類型，希望大家能夠?qū)λ幸粋€(gè)概括的了解.第一節(jié)反問(wèn)題的例子例1 物體下落距離L與時(shí)間T，正問(wèn)題是：已知物體的高度，測(cè)量下落時(shí)間，即t=t(x). 反問(wèn)題是：已知物體下落時(shí)間，求物體的高度,即x=x(t)。當(dāng)人們不知道自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律x=0.5gT2之前，能用時(shí)鐘測(cè)量物體下落時(shí)間，但反過(guò)來(lái)，給定下落時(shí)間，測(cè)量物體高度比較難。對(duì)于沒(méi)有讀中學(xué)的人，能完成時(shí)鐘測(cè)量物體下落時(shí)間的試驗(yàn)。但給他物體下落時(shí)間，測(cè)量物體的下落高度是不容易的事情。例2 年齡與身高。正問(wèn)題是，根據(jù)年齡T，每周歲測(cè)身高H

4、，得到身高H與年齡T的關(guān)系H=H(T). 反問(wèn)題是：已知身高H，求年齡T，即求關(guān)系T=H(T). 例3速度V與軌道形狀z=f(x)，其摩擦系數(shù)為，z為高度，初始速度為V0，末速度為Ve=V(y=H). 正問(wèn)題是，已知軌道形狀z=f(x)，求末速度為Ve.反問(wèn)題是：給定末速度為Ve.求軌道形狀z=f(x)。對(duì)大學(xué)生，正問(wèn)題能求出來(lái)，但反問(wèn)題有些難。例4 熱傳導(dǎo)問(wèn)題（2013美賽A題）設(shè)點(diǎn)P到邊界的距離為x, 傳熱系數(shù)為a, 溫度T=T(a,x). 正問(wèn)題是：已知距離x, 傳熱系數(shù)a的數(shù)值, 求溫度T。如用一維傳熱公式：反問(wèn)題是：已知溫度T,x，求傳熱系數(shù)為a,例5 光電板問(wèn)題(2012A題)設(shè)屋

5、頂面積為D，光電板長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為H。正問(wèn)題是：已知D，L，H，求在屋頂上鋪設(shè)光電板最大數(shù)量N。反問(wèn)題是：已知光電板總鋪設(shè)面積D*，光電板長(zhǎng)L，寬H，求屋頂面積。由上面幾個(gè)例子，可以在數(shù)學(xué)上定義正問(wèn)題為y=f(x)，定義域?yàn)镈，值域?yàn)閂。反問(wèn)題為x=g(y). 由高等數(shù)學(xué)可知，若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)的，則反函數(shù)g(y)存在且唯一。相對(duì)正問(wèn)題而言，反問(wèn)題計(jì)算量大，選用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法是成功求解反問(wèn)題的關(guān)鍵。因而要求在求反問(wèn)題之前，要求學(xué)生掌握基本的計(jì)算方法。第二節(jié)計(jì)算方法2.1方程求根在數(shù)學(xué)建模中，求解方程的根是經(jīng)常遇到的。常用求根方法有迭代法，二分法，牛頓法，極小值法，一維尋查法，格子法。迭代法

6、設(shè)函數(shù)f(x)=x-g(x)有一根x*, 則f(x*)=0, 或x*-g(x*)=0; 或x*=g(x*); 定義求根的迭代公式為：定理: 若導(dǎo)數(shù)g的絕對(duì)值小于1, 即|g|L1, 則迭代收斂。證：由于x*=g(x*)，則xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g() (xk-x*)有| xk+1-x*|L| xk-x*|L2| xk-1-x*|Lk+1| x0-x*|因?yàn)長(zhǎng)0, 故xkx*. 證畢。例 求f(x)=x-x*x的零點(diǎn)。解：這里g(x)=x*x, g(x)=2x, 則當(dāng)|x|0.5時(shí)，|g(x)|1, 即|x|0.5時(shí)，迭代公式. xk+1=xk2收斂。取x0=0.1, 計(jì)算得X

7、1=x02=0.12=10-2X2=x12=(10-2)2=10-4.最后求得xkx*=0. 實(shí)際上，我們知道x=0為x=x*x的解，但它還有一解x=1; 由于|2x|=|2*1|=2, 則用上面迭代公式x=g(x)=x*x求不出解x=1. 它需要構(gòu)造另一種迭代公式.xk+1=g(xk)=xk容易驗(yàn)證當(dāng)x=1時(shí)，|g|1. 取x0=2, 計(jì)算得X1=x00.5=20.51.414X2=x10.5=(20.5) 0.5=20.251.1189X3=x30.5=(20.25) 0.5=20.1251.090.最后求得xkx*=1.由上面例子可知，對(duì)同一函數(shù)f(x)，它的不同零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的迭代公式不同。

8、2.1.2二分法在高等數(shù)學(xué)里，我們已學(xué)習(xí)下面定理。定理：設(shè)f(a)f(b)0, f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)可導(dǎo)，則至少有一個(gè)(a,b)中的點(diǎn)x*，使f(x*)=0.取a0=a, b0=b, x1=(a0+b0)/2, 則點(diǎn)x*屬于子區(qū)間a0,x1，或子區(qū)間x1,b0。若屬于子區(qū)間a0,x1，取a1=a0,b1=x1. 否則屬于子區(qū)間x1,b0，取a1=x1,b1=b0. 得到點(diǎn)x*屬于子區(qū)間a1,b1，且b1-a1=0.5(b0-a0)，即區(qū)間長(zhǎng)度只有原始區(qū)間的一半。類似上面方法，取x2=(a1+b1)/2, 則點(diǎn)x*屬于子區(qū)間a1,x2，或子區(qū)間x2,b1。若屬于子區(qū)間a1,x2，取a2=a

9、1,b2=x2. 否則屬于子區(qū)間x2,b1，取a2=x2,b2=b1. 得到點(diǎn)x*屬于子區(qū)間a2,b2，且b2-a2=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0), 即區(qū)間長(zhǎng)度只有原始區(qū)間的四分之一。這種方法一直分二去，得點(diǎn)x*屬于子區(qū)間ai,bi, 和數(shù)列xi, 且bi-ai=0.5i(b0-a0)0, xix*. 例. 求f(x)=1-x2 在區(qū)間0.5, 2上的零點(diǎn)。解這里a0=0.5, b0=2; 有f(a0)=f(0.5)=1-0.52=0.75, f(b0)=f(2)=1-22=-3, 有f(a0)f(b0)=0.75*(-3)0, 故在0.5,2上f(x)有一零點(diǎn)x*. 取x1=

10、(a0+b0)/2=(0.5+2)/2=1.25, 有f(x1)=f(1.25)=-0.5625, f(a0)f(x1)=0.75*(-0.5625)0, 則零點(diǎn)x*在區(qū)間x2,b1=0.875,1.25中，故取a2=0.875, b2=1.25. 如此計(jì)算下去， 當(dāng)bi-ai0, 無(wú)根，停止計(jì)算。否則轉(zhuǎn)下一步；3)取x1=(a0+b0)/2, 若f(a0)f(x1)0, 取a1=a0,b1=x1; 否則取a1=x1, b1=b0;4)若b1-a1, 輸出近似根x*=(a1+b1)/2; 否則a1a0, b1b0, 轉(zhuǎn)第三步。二分法能用圖形來(lái)說(shuō)明，其示意圖見圖2.1, 圖中給出了點(diǎn)a0,b0,

11、x1,x2,x3, 它們根據(jù)二分法計(jì)算。由圖可知，當(dāng)二分次數(shù)增加時(shí)，中間點(diǎn)xi相互靠近，收斂于零點(diǎn)x*.圖2.1 二分法示意圖2.1.3 極小值法定型：若x*為f(x)的零點(diǎn)，則它為F(x)=f2(x)的極小值點(diǎn)。證：由于F(x)非負(fù)，F(xiàn)(x*)=f2(x*)=00=0, 則x*為F(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。我們?nèi)菀椎茫憾ɡ恚喝鬎(x) =f2(x),F(x*)=0, 則f(x*)=0.可見，f(x)的零點(diǎn)計(jì)算問(wèn)題能化為極小值計(jì)算問(wèn)題。它常用一維尋查法求解。一維尋查法比較簡(jiǎn)單，它的計(jì)算步驟為1)輸入初始點(diǎn)d0, 步長(zhǎng)h, 誤差；2)計(jì)算函數(shù)值F(d0),F(d0-h),F(d0+h);3)若F(d

12、0)F(d0-h), 取d1=d0-h; 否則取d1=d0+h;5)令d1d0, h2h, 轉(zhuǎn)第2步。6)取a=d0-h, b=d0+h, 用二分法求極值點(diǎn)。二分法求極值點(diǎn)的原理與求根原理類似。由下面定理給出：定理：設(shè)F(x)在a,b上連續(xù)，且0F(x),若c為a,b中的點(diǎn)，且 F(c)minF(a),F(b), 則F(x)在a,b上存在極小值點(diǎn)x*. 上面定理用反證法容易證明。二分法求極值點(diǎn)的步驟為，取a0=a,b0=b,c0=c=(a0+b0)/2; h=(b-a)/2; 中點(diǎn)x0=(a0+c0)/2; y0=(c0+b0)/2; 若F(z0)=minF(a0),F(b0),F(x0),F

13、(c0),F(y0), z0為a0,c0,b0,x0,y0 中的一點(diǎn)， 取h1=h/2, a1=z1-h1, c1=z1, b1=z1+h1; 容易計(jì)算出(b1-a1)=0.5(b0-a0); 即長(zhǎng)度只有原區(qū)間的一半。用類似方法，取中點(diǎn)x1=(a1+c1)/2; y1=(c1+b1)/2; 若F(z1)=minF(a1),F(b1),F(x1),F(c1),F(y1), z1為a1,c1,b1,x1,y1 中的點(diǎn)， 取h2=h/4, a2=z2-h2, c2=z2, b2=z2+h2; 有(b1-a1)=0.5(b1-a1)= 0.25(b0-a0); 則長(zhǎng)度只有初始區(qū)間長(zhǎng)度的四分之一。如此下

14、去，我們得到點(diǎn)ai, ci, bi, 且(bi-ai)=0.5i(b0-a0)0. 可以證明，xix*為極小值點(diǎn)。由上面討論可知，求極小值點(diǎn)分為兩步，先求極點(diǎn)所在的區(qū)間a,b, 然后用二分法逐步縮小區(qū)間，求出極小值點(diǎn)。其計(jì)算過(guò)程可以用圖2.2說(shuō)明。圖中函數(shù)F只有一個(gè)極小值點(diǎn)。 給定初值d0和步長(zhǎng)h, 求出d0+h為最小值，取2h, 計(jì)算得d0+2h也為最小，再取4h, 計(jì)算得d0+2h也為最. 圖2.2 極小值示意圖例. 用極小值法求函數(shù)f(x)=1-x*x的零點(diǎn)，x0=1.4, h=0.1.解. 令F(x)= f2(x*)=(1-x2)2先用一維尋查法求含有根的區(qū)間a,b. 計(jì)算F(x0-h

15、)=F(1.3)=0.4761; F(x0)=F(1.4)=0.9216; F(x0+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個(gè)數(shù)值，x1=1.3時(shí)F=0.4761最小。將步長(zhǎng)放大2倍，取h=0.2, 計(jì)算F(x1-h)=F(1.1)=0.0441; F(x1)=F(1.3)=0.4761; F(x1+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個(gè)數(shù)值，x2=1.1時(shí)F=0.0441最小。再將步長(zhǎng)放大2倍，取h=0.4, 計(jì)算F(x2-h)=F(0.7)=0.216; F(x2)=F(1.1)=0.0441; F(x2+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個(gè)數(shù)值，x3=1.1時(shí)F=0.0

16、441最小。因而取a=0.7, b=1.5. 再用二分法求極值點(diǎn)。取a0=0.7,b0=1.2,c0=0.95, h=0.25; 中點(diǎn)x0=(a0+c0)/2=0.825; y0=(c0+b0)/2=1.075; 計(jì)算得F(0.7)=0.216; F(0.825)=0.102; F(0.95)=0.0095; F(1.075)=0.02421; F(1.2)=0.1936; 當(dāng)z1=0.95時(shí)，函數(shù)F(0.95)=0.0095最小。則取a1=0.825, c1=0.95, b1=1.075; x1=0.8875; y1=1.0125; 計(jì)算得F(0.825)=0.102; F(0.8875)=

17、0.04509, F(0.95)=0.0095; F(1.0125)=6.328e-4, F(1.075)=0.02421; 給定誤差=0.1時(shí)，若(bi-a1)/4, 輸出近似根x*=1.0125.2.1.4格子法對(duì)于高維問(wèn)題，格子法是求極值點(diǎn)的常用方法。它的思想與二分法類似，基本原理為，給定非負(fù)的高維函數(shù)y=F(X), 初始點(diǎn)X0, 步長(zhǎng)h, 將每個(gè)坐標(biāo)分量加上h和減去h, 求最小值y0=minF(X0),F(X-h),F(X+h), 和對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)X1, 若X1=X0，取hh/2, 步長(zhǎng)減半，否則取h2h, 步長(zhǎng)加倍，再將X1的每個(gè)坐標(biāo)分量加上h和減去h, 求最小值點(diǎn)X2，如此下去，直到

18、步長(zhǎng)h為止。最后Xi為近似最小值點(diǎn)。例.求方程式組的極小解：x-y(x+y)-1=0; y(x+y)-y-2=0;解：令F(x,y)=x-y(x+y)-12+y(x+y)-y-22取初值點(diǎn)X0=(0,0), 步長(zhǎng)h=0.8; 計(jì)算得：F(-0.8,0)=7.24; F(0.8,0)=4.04 F(0,0)=5.0; F(0,-0.8)=3.00; F(0,0.8)=7.355;可知X1=(0,-0.8)為最小值點(diǎn)，取加倍步長(zhǎng)h=1.6, 計(jì)算中心得：F(-1.6,0.8)=20.9; F(1.6,0.8)=4.923; F(0,0.8)=3.0; F(0,-2.4)=83.6; F(0,0.8

19、)=7.32;則X2=X1=(0,-0.8)為最小值點(diǎn)，取減半步長(zhǎng)h=0.8,繼續(xù)計(jì)算，最后求得近似極小值點(diǎn)(1.3175,-1.5675).滿足誤差=0.01.2.1.5 多項(xiàng)式擬合 在反問(wèn)題計(jì)算中，多項(xiàng)式擬合是常用的方法，其基本原理是：給定測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi), i=1, 2, ,m, 求一個(gè)多項(xiàng)式. y=a0+a1x+a2x2+anxn將數(shù)據(jù)代入得上式可寫為矩陣表達(dá)式： Y=XA這里：兩邊乘以X的轉(zhuǎn)置XT有 XTY=XTXA故有編程：clear allt=0,1,2,3L=0,9,35,90Y=L(MATLAB中表示Y的轉(zhuǎn)置矩陣)for i=1:nx(i,1)=1for j=1:3 x

20、(i,j+1)=x(i,j)*t(i)endendA=inv(X*X)*X*Y當(dāng)n=1時(shí)，y=a+bx為線性函數(shù)，可以由上式求出具體表達(dá)式：式中E(X)為X的平均值，E(Y)為Y的平均值。D(X)為X的方差。上式與最小二乘法得到的結(jié)果相同。例. 已知數(shù)據(jù)(0,0), (1,1), (2,4),(3,8)， 求一元回歸函數(shù)y=a+bx?解. 我們求得m=4E(X)=(0+1+2+3)/4=7/4; D(X)=(-7/4)2+(-3/4)2+(1/4)2+(5/4)2)/4=1.3125E(Y)=(0+1+4+8)/4=13/4E(XY)=(0*0+1*1+2*4+3*8)/4=33/4計(jì)算得：

21、b=1.9524; a=-0.1667; 則一元回歸為：Y=-0.1667+1.9524x2.1.6 數(shù)值積分在數(shù)學(xué)模型竟賽中，能求出分析解的積分太少，大多只能用數(shù)值方法離散計(jì)算。設(shè)h為步長(zhǎng)，a=x0x1 New-M-file3)在編輯窗中輸入程序；4）點(diǎn)擊Debug-Save and Run5）輸入文件名w11, 保存6）屏幕上出現(xiàn)結(jié)果c=3;上機(jī)實(shí)習(xí)程序二；計(jì)算 S=1+2+.+10clear all s=0;for k=1:10; s=s+k;end;sun=s上機(jī)實(shí)習(xí)程序三計(jì)算s=2+4+6+.+20; 如s10, 輸出“優(yōu)秀”，否則輸出“下一次優(yōu)秀”clear alls=0;for

22、k=1:10; s=s+2*k;end;if(s10);display(優(yōu)秀),end if(s4);continue;end; f2=x1+4*x2+x3; if(f14);continue;end; f3=2*x2+x3; if(f36);continue;end; f4=x1+x2; if(f41);continue;end; z=3*x1-x2+4*x3; if(Mzz);Mz=z;y(1)=x1;y(2)=x2;y(3)=x3;end; end;%i3 end;%i2end;%i1y(4)=Mz程序中continue為進(jìn)行下一個(gè)循環(huán)，而不計(jì)算后面的語(yǔ)句。程序二：clear allf=-3;-1;4;A=1 3 -2 1 4 1 0 2 1 1 1 0;b=4;4;6;1;x，fval=bintprog(f,A,b)上面bintprogo為0-1整數(shù)線性規(guī)劃