第二部分第五課時(shí)

1、第二部分第五課時(shí)：第二部分第五課時(shí)： 方程與幾何的綜合方程與幾何的綜合 思想方法提煉思想方法提煉 感悟、滲透、應(yīng)用感悟、滲透、應(yīng)用 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練 思想方法提煉思想方法提煉1.1.充分利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其判別式等充分利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其判別式等知識(shí)解決有關(guān)幾何問(wèn)題；知識(shí)解決有關(guān)幾何問(wèn)題；2.2.能熟練地將方程的根與幾何圖形中的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái)，能熟練地將方程的根與幾何圖形中的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)方程的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)實(shí)行轉(zhuǎn)化通過(guò)方程的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)實(shí)行轉(zhuǎn)化. . 感悟、滲透、應(yīng)用感悟、滲透、應(yīng)用【例例2 2】已知已知ABAB是半圓是半圓O O的直徑，的直徑，A

2、CAC切半圓于切半圓于A A，CBCB交交O O于于D D，DEDE切切O O于于D D，BEDEBEDE，垂足是垂足是E E，BD=10BD=10，DEDE、BEBE是方是方程程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根( (DEDEBE)BE)，求求ACAC的長(zhǎng)的長(zhǎng). .【解析】【解析】已知半徑，一般先構(gòu)造已知半徑，一般先構(gòu)造90的圓周角，的圓周角，故可以連故可以連AD，由此可容易由此可容易推得推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和勾股定理建立關(guān)于根與系數(shù)關(guān)系和勾股定理建立關(guān)于DE、BE、m

3、的方程組，的方程組，解之，于是解之，于是RtBED可解可解.欲求欲求AC，只要先求出只要先求出AB，而而這通過(guò)相似三角形易求得這通過(guò)相似三角形易求得. 解：解：DEDE、BEBE是方程是方程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根( (DEDEBE)BE)且且BEDEBEDE，BD=10BD=10連接連接ADAD，ABAB是直徑是直徑ADB=90ADB=90DEDE是是O O的切線(xiàn)的切線(xiàn)EDB=DABEDB=DABRtRtBDERtBDERtBADBADABC=DBEABC=DBE， AB= AB=ACAC切切O O于于ACAB=9

4、0ACAB=90RtRtCABRtCABRtDEBDEB AC=AC= 8BE6DE5m100BDBEDE3mm2BEDE2m2BEDE2222) )( (BEBDBDAB 8100BEBDAB2 225BEABDEAC 87586225BEDEAB 【例【例3 3】已知：已知：ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC的長(zhǎng)是關(guān)于的長(zhǎng)是關(guān)于x x的一元二的一元二次方程次方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BCBC的的長(zhǎng)為長(zhǎng)為5.5.(1)(1)k k為何值時(shí)，為何值時(shí)，ABCABC是以是以BCBC為斜

5、邊的直角三角形為斜邊的直角三角形? ?(2)(2)k k為何值時(shí)，為何值時(shí)，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .【分析】【分析】ABAB、ACAC是方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以是方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及及ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形聯(lián)立關(guān)于為斜邊的直角三角形聯(lián)立關(guān)于k k的方程，即的方程，即可求得可求得k k的值；而的值；而ABCABC為等腰三角形，則要通過(guò)分類(lèi)討論為等腰三角形，則要通過(guò)分類(lèi)討論三種情形，并且使分類(lèi)不重不漏，再由其他條件確定三種情形，并且使分類(lèi)不重不漏，再由其他條件確定k k值，值，從而求得等腰三角

6、形的周長(zhǎng)從而求得等腰三角形的周長(zhǎng). . 解：解：(1)(1)ABAB、ACAC是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的兩根的兩根AB+AC=2k+3AB+AC=2k+3，ABABAC=kAC=k2 2+3k+2+3k+2又又ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形，且為斜邊的直角三角形，且BC=5BC=5ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2(AB+AC)(AB+AC)2 2-2AB-2ABAC=25AC=25即即(2(2k+3)k+3)2 2-2(k-2(k2 2+3k+2)=25+3k+2)=25kk2 2+3k

7、-10=0k+3k-10=0k1 1=-5=-5或或k k2 2=2=2當(dāng)當(dāng)k=-5k=-5時(shí)，方程為時(shí)，方程為x x2 2+7x+12=0+7x+12=0解得解得x x1 1=-3=-3，x x2 2=-4(=-4(舍去舍去) )當(dāng)當(dāng)k=2k=2時(shí)，方程為時(shí)，方程為x x2 2-7x+12=0-7x+12=0解得解得x x1 1=3=3，x x2 2=4=4當(dāng)當(dāng)k=2k=2時(shí)，時(shí)，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形為斜邊的直角三角形. .(2)(2)若若ABCABC是等腰三角形，則有是等腰三角形，則有AB=ACAB=AC，AB=BCAB=BC，AC=BCAC=BC三種三種情況情況

8、. .=(2k+3)=(2k+3)2 2-4(k-4(k2 2+3k+2)=1+3k+2)=10 0ABACABAC，故第一種情況不成立；故第一種情況不成立；當(dāng)當(dāng)AB=BCAB=BC，或或AC=BCAC=BC時(shí)，時(shí)，5 5是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的根的根即即25-5(225-5(2k+3)+kk+3)+k2 2+3k+2=0k+3k+2=0k2 2-7k+12=0-7k+12=0kk1 1=3=3或或k k2 2=4=4當(dāng)當(dāng)k=3k=3時(shí)，時(shí)，x x2 2-9x+20=0-9x+20=0，x x1 1=4=4，x x2

9、2=5=5等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別是等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別是5 5、5 5、4 4，周長(zhǎng)是，周長(zhǎng)是14.14.當(dāng)當(dāng)k=4k=4時(shí)，時(shí)，x x2 2-11x+30=0 x-11x+30=0 x1 1=5=5，x x2 2=6=6等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別是等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別是5 5、5 5、6 6，周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為1616，故當(dāng)故當(dāng)k=3k=3或或k=4k=4時(shí)，時(shí)，ABCABC為等腰三角形，周長(zhǎng)分別為為等腰三角形，周長(zhǎng)分別為1414或或16.16.【例【例4 4】已知，在】已知，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分別是分別是A A、BB、CC的對(duì)邊，的對(duì)邊，ta

10、n Atan A、tan Btan B是關(guān)于是關(guān)于x x的一元二次的一元二次方程方程x x2 2-kx+12k-kx+12k2 2-37k+26=0-37k+26=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求：求：(1)(1)求求k k的值；的值；(2)(2)若若c=10c=10，且且a ab b，求求a a、b b的值的值. .【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程即可求【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程即可求k k的值；再利的值；再利用三角函數(shù)知識(shí)可求出用三角函數(shù)知識(shí)可求出a a、b b的邊長(zhǎng)的邊長(zhǎng). . 解：解：(1)(1)tan Atan Atan B=12ktan B=12k2 2-37k+26-37k

11、+26則由則由C=90C=90知知A+B=90A+B=90即即tan Atan Atan B=1tan B=112k12k2 2-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0k=25/12k=25/12或或k=1k=1當(dāng)當(dāng)k=1k=1時(shí)時(shí) ，方程變?yōu)?，方程變?yōu)閤 x2 2-x+1=0-x+1=0因因00不合題意舍去不合題意舍去當(dāng)當(dāng)k=25/12k=25/12，方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閤 x2 2-25/12x+1=0-25/12x+1=0因因00成立成立k k的值為的值為25/12.25/12.(2)(2)又又tan A+tan B=ktan A+ta

12、n A+tan B=ktan A+(tanA)(tanA)2 2- (tan A)+1=012(tan A)- (tan A)+1=012(tan A)2 2-25(tan A)+12=0-25(tan A)+12=0tan A=3/4tan A=3/4或或tan A=4/3tan A=4/3又又a abtan A=a/bbtan A=a/b1tan A=4/31tan A=4/31225A1 t ta an n 6b8a10ba34ba2221225【例【例5 5】如圖所示，銳角三角形】如圖所示，銳角三角形ABCABC內(nèi)接于內(nèi)接于O O，高高ADAD、BEBE交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A

13、A引圓的切線(xiàn)與直線(xiàn)引圓的切線(xiàn)與直線(xiàn)BEBE交于點(diǎn)交于點(diǎn)P P，直線(xiàn)直線(xiàn)BEBE交交O O于另一點(diǎn)于另一點(diǎn)F F，AB12AB12的長(zhǎng)是關(guān)于的長(zhǎng)是關(guān)于x x的方程的方程x x2 2- x+ (sin- x+ (sin2 2C- sin C+1)=0C- sin C+1)=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的一個(gè)實(shí)數(shù)根. .(1)(1)求求C C的度數(shù)與的度數(shù)與ABAB的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)(2)設(shè)設(shè)BH=xBH=x，BP=yBP=y，求求y y與與x x間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)y=3 y=3 時(shí)，試判斷時(shí)，試判斷ABCABC的形狀，并的形狀，并說(shuō)明理由說(shuō)明理由. . 214133【分析】【分析】(1)(1)

14、利用根的判別式利用根的判別式00可迅速求得；可迅速求得；(2)(2)要尋找要尋找y y與與x x的關(guān)系式，就要尋找的關(guān)系式，就要尋找y y、x x所在的兩個(gè)所在的兩個(gè)三角形相似，故即證三角形相似，故即證PBAPBAABHABH；再利用再利用y y與與x x的關(guān)的關(guān)系式，已知系式，已知y y值即可求出值即可求出x x的值的值. .在在RtRtAHEAHE和和RtRtABEABE中中運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)知識(shí)求出運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)知識(shí)求出HEHE、BEBE的長(zhǎng)度，最后的長(zhǎng)度，最后計(jì)算出計(jì)算出BAC=60BAC=60=C=C即可即可. .21解：解：(1)(1)方程有實(shí)根方程有實(shí)根=(-1/2)

15、=(-1/2)2 2-4-41 11/4(sin1/4(sin2 2C-C-3sin C+1)03sin C+1)0即即-(-(sin C- )sin C- )2 20sin C= 0sin C= ，C=60C=60由由=0=0知知x x1 1=x=x2 2，而而x x1 1+x+x2 2=2x=2x1 1=1/2x=1/2x1 1=1/4=1/4即即AB12=14AB=3.AB12=14AB=3.(2)(2)ADBCADBC，BEACBEACP+PAC=BAD+ABC=90P+PAC=BAD+ABC=90又又PAPA切切O O于于APAC=ABCAPAC=ABCP=ABHP=ABHPBAPB

16、AABHABHx x即即y=y=23x33yBHABABPB x923當(dāng)當(dāng)y= y= 時(shí)，即時(shí)，即 在在RtRtDACDAC中，中，C=60C=60DAC=30DAC=30在在RtRtAHEAHE中，設(shè)中，設(shè)HE=mHE=m，則則AH=2mAH=2m，AE= mAE= m在在RtRtAEBAEB中，中，AEAE2 2+BE+BE2 2=AB=AB2 2 =3 =32 2m=- (m=- (舍舍) )m=m=BE=HE+HB=BE=HE+HB=sin BAE=sin BAE=BAE=60BAE=60BAE=C=60BAE=C=60ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. . 33333339BH

17、322m33m) )( () )( ( 323323323 233323 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練1.1.斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為1313的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為方程的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為方程x x2 2-(m- -(m- 1)x+3(m+2)=01)x+3(m+2)=0的兩根，求其內(nèi)切圓的半徑的兩根，求其內(nèi)切圓的半徑r.r.解：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為解：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為a a、b b，則則a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(m-1)-2ab=(m-1)2 2-6(m+2)=13-6(m+2)=132 2m=18m=18或或m=-10m=-10又又a+b=m-1a+b=m-10m0

18、m1m=-101m=-10舍去舍去a+b=m-1=18-1=17a+b=m-1=18-1=17r= (a+b-13)= (17-13)=2.r= (a+b-13)= (17-13)=2.21212.(20022.(2002年年北京東城區(qū)北京東城區(qū)) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，斜邊斜邊c=5c=5，兩直角邊的長(zhǎng)兩直角邊的長(zhǎng)a a、b b是關(guān)于是關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2- -mx+2m-2=0mx+2m-2=0的兩個(gè)根，求的兩個(gè)根，求RtRtABCABC中較小銳角的正弦值中較小銳角的正弦值. .解：解：a a、b b是方程是方程x x2-mx+2m-2=0-mx+2m-2=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根a+b=a+b=m m，abab=2m-2.=2m-2.在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得a a2 2+b+b2=c=c2 2即即( (a+b)a+b)2 2-2ab=25.-2ab=25.mm2 2-2(2m-2)=25m=7-2(2m-2)=25m=7或或m=-3(m=-3(舍舍) )當(dāng)當(dāng)m=7m=7時(shí)時(shí) ，原方程，原方程x x2 2-7x+12=0 x=3-7x+12=0 x=3或或x=4.x=4.假設(shè)假設(shè)a=3a=3則則sin A=ac=sin A=ac=Rt