二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

1、四四、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng) 222222121)(nnnssTssTsG其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩 周期， 為阻尼比； n1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：0222nnss極點(diǎn)（特征根）：122 , 1nnp 臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1具有兩個相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：np2 , 1系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：ttnntee, 過阻尼二階系統(tǒng)： 1具有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：122 , 1nnp系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：tnn1exp2122 , 1nnp 欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 01具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：dnnnjjp22 , 11系統(tǒng)時域響應(yīng)含有衰

2、減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：tjttjdndneee)(其中，21nd稱為阻尼振蕩頻率。122 , 1nnp 零阻尼二階系統(tǒng)： 0具有一對共軛虛極點(diǎn)：njp2 , 1系統(tǒng)時域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：tjne 負(fù)阻尼二階系統(tǒng)： 0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。21,21nnp 122 , 1nnp2、二階系統(tǒng)的、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 0 1：012)(11222teetxttnonn3、二階系統(tǒng)的、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼（01）狀態(tài) 0)11 (21)11 (211)()1(22)1(2222tee

3、txttonn，01txo(t)q 特點(diǎn) 單調(diào)上升，無振蕩， 過渡過程時間長 xo () = 1，無穩(wěn)態(tài) 誤差。 無阻尼（=0）狀態(tài) 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特點(diǎn) 頻率為n的等 幅振蕩。)2()()()(222nnniossssXsGsX 負(fù)阻尼（0）狀態(tài) 0txo(t)-10t0 xo(t)-1q -10：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。 q -1：輸出表達(dá)式與過阻尼狀態(tài)相同。 特點(diǎn)：振蕩發(fā)散 特點(diǎn)：單調(diào)發(fā)散 幾點(diǎn)結(jié)論 q 二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性： 0 時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；01時，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴(yán)重，

4、但響應(yīng)愈快； = 0時，出現(xiàn)等幅振蕩。 q 工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.40.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過 大的振蕩。q 一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越 迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng) 的快速性越好。 例題例題 例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 toetx657)(解解：由題意Xi(s)=1，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss 例2解解：1）單位階躍輸入時 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)

5、。2) 1(12)(sssG11) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio從而： ttooetesXLtx1)()(2）單位脈沖輸入時，由于)( 1 )(tdtdt 因此：ttooteetxdtdtx2)()(16、 二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。 10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統(tǒng)的時

6、域性能指標(biāo)q 評價系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo) 上升時間tr響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。 峰值時間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。 調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。 最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示： q 評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo) %100)()()(oopopxxtxM若xo(tp) xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。 振蕩次數(shù)N在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實(shí)測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。 欠阻尼二階系

7、統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 上升時間tr1sin11)(2rdtrotetxrn根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：0),sin(11)(2ttetxdton2221arccos11nndrarctgt從而：即：0sinrdt, 2, 1, 0,kktrd顯然， 一定時，n越大，tr越??；n一定時， 越大，tr 越大。 峰值時間tp，并將t = tp代入可得： 0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即： tgttgpd21)(, 2, 1, 0,kktpd根據(jù)tp的定義解上方程可得： 21ndpt可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td2/d的一半。且

8、一定，n越大，tp越??；n一定， 越大，tp 越大。 最大超調(diào)量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng) = 0.40.8時，可以求得相應(yīng)的 Mp = 25.4%1.5%。00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10102030405060708090100Mp二階系統(tǒng)Mp 圖211lnpM 調(diào)整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量 1 的指數(shù)曲線： 211tnet01xo(t)211tne211tn

9、e21112111T2T3T4TT2當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當(dāng)一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst當(dāng)00.7時， 振蕩次數(shù)NN 僅與 有關(guān)。與Mp 一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。2122nddT對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN則 二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。 結(jié)論 通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般 選擇在0.40.8之間，然后再調(diào)

10、整n以獲得合 適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。 一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好， tr、 tp、ts越小。 增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp 和振蕩 次數(shù)N ，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；510150=0.2=0.4=0.6=0.8 例題1圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘性阻尼系數(shù)C的值。 mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t /s13xo(t)/mtpb)解解：根據(jù)牛頓第二定律： 22)()()()(dttxdMdttdxCtKxtfooo2222211)()()(nnnossKKCsM

11、ssFsXsGKMCMKn2,其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：sKCsMssXsGsXio9 . 81)()()(2由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：KKCsMsssXxsoso9 . 89 . 8lim)(lim)(200由圖b)知 xo() = 0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：%7 . 9%10003. 00029. 0%10021eMp解得： = 0.6212npt又由：代入，可得n=1.96rad/sKMCMKn2,根據(jù)解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s 例題2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 求

12、K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。若K 增大到1500或減小到13.5，試分析動態(tài)性能指標(biāo)的變化情況。 )5 .34(5)(ssKsG解解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： KssKsGsGs55 .345)(1)()(21）K = 200時 10005 .341000)(2sssn=31.6rad/s，=0.545stnr081. 01arccos2)05. 0(174. 03stns%13%10021eMp21.5 10.731(0.05)N stnp12. 0122）K = 1500時 n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得： tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.

13、7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化 即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s3）K = 13.5時 n=8.22rad/s，=2.1 ，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為： ) 10308. 0)(1481. 0(15 .675 .345 .67)(2sssssG對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調(diào)整時間ts間可以通過其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進(jìn)行估算，即： ts=3T1=1.443s (=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調(diào)，但過渡過程緩

14、慢。五五、高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮系統(tǒng)0011,)()(abKpszsKnjjmiinrqsspszsKrkkkkqjjmii2,)2()()(12211rkkkkqjjmiiosspsszsKsX12211)2()()()(假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)互不相同。21kkkkjs其中，a, aj為Xo(s)在極點(diǎn)s = 0和s = -pj處的留數(shù)； bk、ck是與Xo(s)在極點(diǎn) 處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。rkkkkkkkkkkkqjjjscsbpsasa122221)1

15、()(1)(當(dāng)Xi(s)=1/s時，)0(1sin1cos)(12121ttectebeaatxrkkktkrkkktkqjtpjokkkkj其中，=arctg(bk/ck)。)0( )1sin(12221ttecbeaarkkktkkqjtpjkkj2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn) 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系 統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。 如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在 s 平面的左半平面內(nèi)，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部( pj 、 kk大于零)，則隨著時間t，xo()=a。 即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài) 分量衰減的快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；3、

16、系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對時域響應(yīng)的影響、系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對時域響應(yīng)的影響0j-n-8n-5n-10np1p2p3p4p5z10txo(t)p1 、p2p3p4 、p5 通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值 小一個數(shù)量級，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對 偶極子，可以對消。 系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小，所以一對靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。這對零極點(diǎn)稱為偶極子。 綜上所述，對于高階系統(tǒng)，如果能夠找到 主導(dǎo)極點(diǎn)（通常選為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng)

17、進(jìn)行處理。 主導(dǎo)極點(diǎn)（ 距虛軸最近、實(shí)部的絕對值為其它極點(diǎn)實(shí)部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)）對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。 4、 例題例題已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：65234651024. 6104 . 480001001025. 61012. 3)()()(ssssssXsXsio求系統(tǒng)近似單位階躍響應(yīng)。解解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為：)4 .7110)(4 .7110)(60)(20()03.20(1012. 3)(5jsjsssss-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖可見，零點(diǎn)z1-20.03和極點(diǎn)p1-20 構(gòu)成一對偶極子，

18、可以消去，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3,4-10j71.4與極點(diǎn)p2-60相距很遠(yuǎn)， p3,4 為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)， p2對響應(yīng)的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：3235102 . 520102 . 5)4 .7110)(4 .7110(601012. 3)(ssjsjss系統(tǒng)的近似單位階躍響應(yīng)為：0),43. 14 .71sin(01. 11)(10ttetxton=72.11rad/s，=0.139txo (t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)txo(t)0-10j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量六六、誤差分析和計算1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(

19、s)B(s) (s)G(s) 偏差信號(s)(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s)偏差信號(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即： 誤差信號E(s)誤差信號e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即： E(s)= Xor(s) Xo(s)控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s) 為偏差信號(s)0時的實(shí)際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出： Xo(s)Xor(s)由：(s)=Xi(s)H(s)Xor(s)0可得：Xor(s)Xi(s)/H(s) 對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)1，Xor(s)Xi(s) 偏差信號(s

20、)與誤差信號E(s)的關(guān)系)()()()()()()()(sHssXsHsXsXsXsEoioor對單位反饋系統(tǒng)：E(s) (s) 2、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算 穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t) 的穩(wěn)態(tài)分量：)(limteetss當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：)(lim)(lim0ssEteestss 穩(wěn)態(tài)誤差的計算系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為： )()(11)()()(sHsGsXssiii)()()(11)(sXsHsGsii即：)()()(11lim)(lim

21、)(lim00sXsHsGssstisstss利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)誤差：)0()(1lim)()()(11)(1lim)()(lim)(lim)(lim0000HsHsXsHsGsHssHssssEteesssssissstssH(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)()(11lim0sXsGseisssss對于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。 例題已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及

22、正弦信號sint輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：1)(11)(TsTssGse在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：011lim)()(11lim00sTsTsssXsGsesisss在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：TsTsTsssXsGsesisss20011lim)()(11lim在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：30011lim)()(11limsTsTsssXsGsesissssint輸入時：)(1()()(11)(22sTsssXsGsEi由于上式在虛軸上有一對共軛極點(diǎn)，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。tTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22

23、222222對上式拉氏變換后得：tTTtTTtesssin1cos1)(222222穩(wěn)態(tài)輸出為：而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結(jié)論：01lim220sTsTssesss此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念q 穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)psisssKsHsGsXsHsGs11)()(11lim)()()(11lim00單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。)0()0()()(lim0HGsHsGKsp其中，q 穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)vsisssKsHssGssXsHsGs1)()(1lim)()()

24、(11lim00單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。)()(lim0sHssGKsv其中，)0(,11GKKeppssss對于單位反饋系統(tǒng)，pssKHe11)0(1易知：)(lim,10ssGKKesvvssss對于單位反饋系統(tǒng)，vssKHe1)0(1易知：q 穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)asisssKsHsGsssXsHsGs1)()(1lim)()()(11lim2200單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。)()(lim20sHsGsKsa其中，q 結(jié)論當(dāng)輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 )(lim,120sG

25、sKKesaassss對于單位反饋系統(tǒng)，assKHe1)0(1易知： 系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式： )() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sGsKsTsTsTssssKsHsGvvnvm)()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssXsstisstss則： )()(lim0sXsGKsssivvsKssXsvsivs010lim)(lim即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng) v = 0, 1, 2, 時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、型、系統(tǒng)。 不同類型系統(tǒng)

26、的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差q 0型系統(tǒng)) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTsssKsHsGvnmKsHsGKsp)()(lim0KKpss11110)()(lim0sHssGKsvvssK10)()(lim20sHsGsKsaassK1q I型系統(tǒng)) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKKsHssGKsv)()(lim0KKvss110)()(lim20sHsGsKsaassK1q 型系統(tǒng)) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21221sTsTsT

27、ssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssK)()(lim0sHssGKsv01vssKKsHsGsKsa)()(lim20KKass11表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)偏差00KII型00KI型00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型K11K1K1q 幾點(diǎn)結(jié)論 不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)， 其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于 不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán) 增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。 在階躍輸入作用下， 0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 為定值，常稱為有差系統(tǒng)； I型系統(tǒng)的穩(wěn) 態(tài)誤

28、差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)； 在速度輸入作用下，II 型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 為 0，常稱為二階無差系統(tǒng)。 11ssKxi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)0型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)I型系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)II型系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差）等于多個信號單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。 221)(CtBtAtxi如：avpssKCKBKA1總的穩(wěn)態(tài)偏差： 如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。 穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對相應(yīng)的階躍、速度及加 速度

29、輸入有意義。v有擾動存在時的穩(wěn)態(tài)偏差1.僅由擾動產(chǎn)生的偏差)()()(sXsHsoN)()()(sNsGsHBN)()()()(1)()(212sNsGsGsHsGsH)()()()(1)()(212sNsGsGsHsGsH2.僅由擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)偏差)(lim0sssss)()()()(1)()(lim2120sNsGsGsHsGsHss)()()(1)()(lim20sNsHsGsGsHss3.輸入和擾動共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（單位反饋）)()()(1)()(lim)()()(11lim200sNsHsGsHsGssXsHsGsesisss六 系統(tǒng)誤差分析和計算 系統(tǒng)總誤差 ssnssiss當(dāng)

30、系統(tǒng)同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：ssnssisseee穩(wěn)態(tài)誤差：六 系統(tǒng)誤差分析和計算減小系統(tǒng)誤差的途徑，方法。1 按干擾補(bǔ)償2 按輸入補(bǔ)償 Xi(s) E(s) Xo(s)+ -G1(s) G2(s)Gc(s)(1sG)(sGn)(2sG+)(sR)(sC)(sN 例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T為常數(shù)，試求當(dāng)輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。sK213TsKK1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)解解：n(t)=0時sK213TsKK1Xi(s)Xo(s)

31、_+K4321232143)(KKKsTsKKKsKKsi系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：)()1 ()()(1)()()(3212432sXKKKsTssKKTssXssXsXsEiiioori2321243211)1 (ssKKKsTssKKTssKKKsTsKKTsKKKsTsKKTs1)1 ()1 (32124332124301)(lim321430KKKKKssEesssi341KK 注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。sKKTsKKKsKKsssGiii)1 ()(1)()(43232143)(1)()(sGsGs)(1)()(s

32、ssG要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。只有擾動作用時(xi(t)=0)sKK2113TsK+G0(s)N(s)Xon(s)_3212021321)(1)()()(KKKsTssGsKKKKKsNsXsonn0)()()(sNssXnonsKKsG2101)(q 減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 提高系統(tǒng)開環(huán)增益； 增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)； 通過順饋控制或復(fù)合控制進(jìn)行補(bǔ)償；第三章第三章 例題講解例3.1 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：ttoeetx10602 . 12 . 01)(求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； 2）系統(tǒng)阻尼

33、比和無阻尼固有頻率n。解解：1） ssXi1)()10)(60(600102 . 1602 . 01)()(sssssstxLsXoo60070600)10)(60(600)()()(2sssssXsXsio2）對比二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式： 2222)(nnnsss7026002nn429. 1/5 .24sradn有： 例3.2 已知系統(tǒng)方框圖如下：圖中虛線方框稱為“比例微分”控制。求系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts 及最大超調(diào)量Mp。并分析“比例微分”控制對二階系統(tǒng)性能的影響。)2(2nnssdsXi(s)Xo(s)01解解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：)2() 1()(2ndnssssG閉環(huán)傳遞函數(shù)為：22222222) 1()2() 1()(nnddnnndndnsssssss其中：2ndd注意到上式為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，不可應(yīng)用典型二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)求解公式。ssssssnndnndnndnn22222222)2()2()(當(dāng)d1時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為：)sin()sin(11)(21ttetxdndddtond0)sin(1211222ttednddnddtnd其中，21dndddarctg21ndddarctg211) 上升