中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練特殊三角形含解析

1、特殊三角形一、選擇題1如圖，ABC中，AB=AC，A=36°，BD是AC邊上的高，則DBC的度數(shù)是（）A18°B24°C30°D36°2如圖，在ABC中，CAB=70°在同一平面內(nèi)，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，使得CCAB，則BAB=（）A30°B35°C40°D50°3等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為6，另一邊長(zhǎng)為13，則它的周長(zhǎng)為（）A25B25或32C32D194如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（）A cmB cmC c

2、mD8cm5如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)二、填空題6若等腰三角形的一個(gè)角為50°，則它的頂角為7若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為8已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE

3、，則DE=9如圖，OP=1，過(guò)P作PP1OP，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=10如圖，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則CEF的度數(shù)是三、解答題（共40分）11已知，如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)求證：BD=AE12如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N（1

4、）求證：CM=CN；（2）若CMN的面積與CDN的面積比為3：1，求的值13如圖，在ABC中，ABC=45°，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，ABE=CBE（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求證：BG2GE2=EA214已知兩個(gè)等腰RtABC，RtCEF有公共頂點(diǎn)C，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45°時(shí)，

5、求證：BM=ME特殊三角形參考答案與試題解析一、選擇題1如圖，ABC中，AB=AC，A=36°，BD是AC邊上的高，則DBC的度數(shù)是（）A18°B24°C30°D36°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得DBC的度數(shù)【解答】解：AB=AC，A=36°，ABC=ACB=72°BD是AC邊上的高，BDAC，DBC=90°72°=18°故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題

6、，此題難度一般2如圖，在ABC中，CAB=70°在同一平面內(nèi)，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，使得CCAB，則BAB=（）A30°B35°C40°D50°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，B與B，C與C分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角BAB=CAC，AC=AC，再利用平行線的性質(zhì)得CCA=CAB，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到等腰ACC中，根據(jù)內(nèi)角和定理求CAC【解答】解：CCAB，CAB=70°，CCA=CAB=70°，又C、C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AC=AC，即ACC為等腰三角形，BAB=CAC=180°2

7、CCA=40°故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角同時(shí)考查了平行線的性質(zhì)3等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為6，另一邊長(zhǎng)為13，則它的周長(zhǎng)為（）A25B25或32C32D19【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系解答即可【解答】解：三角形的三邊長(zhǎng)為13、13、6時(shí)，它的周長(zhǎng)為32，三角形的三邊長(zhǎng)為13、6、6時(shí)，不能組成三角形，三角形的周長(zhǎng)為32，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵4如圖所示，矩形紙片ABCD中

8、，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（）A cmB cmC cmD8cm【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）【分析】設(shè)AF=xcm，則DF=（8x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，由勾股定理求AF即可【解答】解：設(shè)AF=xcm，則DF=（8x）cm，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2+DF2，x2=62+（8x） 2，解得：x=（cm）故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸

9、對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變是解題關(guān)鍵5如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】壓軸題【分析】作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證CDF和ADE全等，從而可證EDF=90°，DE=DF

10、所以DFE是等腰直角三角形；當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積保持不變；DEF是等腰直角三角形， DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離【解答】解：連接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45°，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°，DFE是等腰直角三角形（故正確）；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形（故錯(cuò)誤）；如圖2所示，分別過(guò)點(diǎn)D，作

11、DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N，可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故錯(cuò)誤）；DEF是等腰直角三角形， DE=EF，當(dāng)EFAB時(shí)，AE=CF，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是ABC的中位線，EF取最小值=2，CE=CF=2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為EF=（故正確）；故正確的有2個(gè)，故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵二、填空題6若等腰三角形的一個(gè)角為50°，則它的頂角為80°或50

12、76;【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理【分析】已知給出了一個(gè)內(nèi)角是50°，沒(méi)有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還有用內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立【解答】解：當(dāng)該角為頂角時(shí)，頂角為50°；當(dāng)該角為底角時(shí)，頂角為80°故其頂角為50°或80°故填50°或80°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵7若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5【考點(diǎn)】勾股定理；非負(fù)

13、數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根【專題】壓軸題【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得該直角三角形的斜邊長(zhǎng)【解答】解：，a26a+9=0，b4=0，解得a=3，b=4，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，該直角三角形的斜邊長(zhǎng)=5故答案是：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)值、算術(shù)平方根任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值（二次根式）都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于08已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形外角

14、性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在RtBDC中，由勾股定理求出BD即可【解答】解：ABC為等邊三角形，ABC=ACB=60°，AB=BC，BD為中線，DBC=ABC=30°，CD=CE，E=CDE，E+CDE=ACB，E=30°=DBC，BD=DE，BD是AC中線，CD=1，AD=DC=1，ABC是等邊三角形，BC=AC=1+1=2，BDAC，在RtBDC中，由勾股定理得：BD=，即DE=BD=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長(zhǎng)9如圖，OP=1，過(guò)P作PP1OP，

15、得OP1=；再過(guò)P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=【考點(diǎn)】勾股定理【專題】壓軸題；規(guī)律型【分析】首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長(zhǎng)度找到規(guī)律進(jìn)而求出OP2012的長(zhǎng)【解答】解：由勾股定理得：OP4=，OP1=；得OP2=；依此類推可得OPn=，OP2012=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由已知數(shù)據(jù)找到規(guī)律10如圖，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則CEF的度

16、數(shù)是50°【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出OBC=40°，以及OBC=OCB=40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO=EC，CEF=FEO，進(jìn)而求出即可【解答】解：連接BO，BAC=50°，BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，OAB=ABO=25°，等腰ABC中，AB=AC，BAC=50°，ABC=ACB=65°，OBC=65°25°=40°，ABOACO，BO=CO，OBC=OCB=40°，點(diǎn)C沿

17、EF折疊后與點(diǎn)O重合，EO=EC，CEF=FEO，CEF=FEO=50°，故答案為：50°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵三、解答題（共40分）11已知，如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)求證：BD=AE【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】證明題【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出ACE=BCD，然后利用“邊角邊”證明ACE和BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊

18、相等即可證明【解答】證明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=90°，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），BD=AE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N（1）求證：CM=CN；（2）若CMN的面積與CDN的面積比為3：1，求的值【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)

19、可得：ANM=CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得ANM=CMN，則可證得CMN=CNM，繼而可得CM=CN；（2）首先過(guò)點(diǎn)N作NHBC于點(diǎn)H，由CMN的面積與CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，由勾股定理，可求得MN的長(zhǎng)，繼而求得答案【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：ENM=DNM，即ENM=ENA+ANM，DNM=DNC+CNM，ENA=DNCANM=CNM，四邊形ABCD是矩形，ADBC，ANM=CMN，CMN=CNM，CM=CN；（2）解：過(guò)點(diǎn)N作NHBC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形，HC=DN，NH=DC，CMN的面積與CDN的面積比為3：1，=3

20、，MC=3ND=3HC，MH=2HC，設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，CM=3x=CN，在RtCDN中，DC=2x，HN=2x，在RtMNH中，MN=2x，=2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用13如圖，在ABC中，ABC=45°，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，ABE=CBE（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求證：BG2GE2=EA2【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；

21、勾股定理【專題】證明題；幾何綜合題【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCD=ABC，ABE=DCA，推出DB=CD，根據(jù)ASA證出DBHDCA即可；（2）根據(jù)DB=DC和F為BC中點(diǎn)，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據(jù)BEAC和ABE=CBE得出AE=CE，在RtCGE中，由勾股定理即可推出答案【解答】（1）BH=AC，理由如下：CDAB，BEAC，BDH=BEC=CDA=90°，ABC=45°，BCD=180°90°45°=45°=ABCDB=DC，BDH=BEC=CDA=90°，A+ACD=90°

22、，A+HBD=90°，HBD=ACD，在DBH和DCA中，DBHDCA（ASA），BH=AC（2）連接CG，由（1）知，DB=CD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，DF垂直平分BC，BG=CG，ABE=CBE，BEAC，EC=EA，在RtCGE中，由勾股定理得：CG2GE2=CE2，CE=AE，BG=CG，BG2GE2=EA2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，等腰三角形具有三線合一的性質(zhì)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力14已知兩個(gè)等腰RtABC，RtCEF有公共頂點(diǎn)C，ABC=CEF=

23、90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME【考點(diǎn)】三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】壓軸題【分析】（1）證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得ABEF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得BAM=DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”

24、證明ABM和FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EBM=45°，從而得到EBM=ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MBCF即可，（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EMBD，求出BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明ACGDCF，得到D

25、F=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出ABCF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出BAM=DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明ABM和FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明BCE和DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得BEC=DEF，然后求出BED=CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可【解答】（1）證法一：如答圖1a，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知ABC與BCD均為等腰直角三角形，AB=BC=BD，點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，BM為ADF的中位線，BMCF證法二：如答圖1b，延長(zhǎng)BM交EF于D，ABC=CEF=90°，ABCE，EFCE，ABEF，BAM=DFM，M是AF的中點(diǎn)，AM=MF，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE是等腰直角三角形，EBM=45°，在等腰直角CEF中，ECF=45°，E