初中數(shù)學(xué)經(jīng)典相似三角形練習(xí)題附參考答案

1、經(jīng)典練習(xí)題相似三角形(附答案)一.解答題(共30小題)1 .如圖，在 ABC 中，DE/ BC EF/ AR 求證： AD曰 EFC2 .如圖，梯形 ABC邛，AB/ CD點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點 G.(1)求證： CDQ ABGF(2)當(dāng)點F是BC的中點時，過 F作EF/ CD交AD于點E,若AB=6cm EF=4cm 求CD的長.3 .如圖，點 D, E在 BC上，且 FD/ AB, FE/ AC求證：AB6AFDE4 .如圖，已知 E是矩形 ABCD勺邊CD上一點，BF±AE于F,試說明： ABM EAD5 .已知：如圖所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC

2、AD=AE / BACW DAE且點 B, A D在一條直線上， 連接BE, CD M N分別為BE, CD的中點.(1)求證：BE=CDAMN是等腰三角形；(2)在圖的基礎(chǔ)上，將4ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖所示的圖形.請 直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立；(3)在(2)的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P.求證： PBDAAMN6 .如圖，E是？ABCD勺邊BA延長線上一點，連接 EC,交AD于點F.在不添加輔助線的情況下，請你寫 出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明.7 .如圖，在4X3的正方形方格中， ABC和4DEF的頂點都

3、在邊長為 1的小正方形的頂點上.(1)填空：/ ABC=° , BC=;(2)判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.8 .如圖，已知矩形 ABCD勺邊長AB=3cm BC=6cm某一時刻，動點 M從A點出發(fā)沿 AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點 N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經(jīng)過多少時間， AMN的面積等于矩形 ABCE®積的)(2)是否存在時刻t,使以A, M N為頂點的三角形與 ACD相似若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.9 .如圖，在梯形 ABCDK 若AB/ DC AD=BC對角線BD AC把梯形

4、分成了四個小三角形.(1)列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)請你任選一組相似三角形，并給出證明.10 .如圖 ABC 中，D為 AC上一點，CD=2DA / BAC=45 , / BDC=60 , CELBD 于 E,連接 AE(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；(2)圖中有無相似三角形若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；(3)求4BEC與4BEA的面積之比.11 .如圖，在 ABC中，AB=AC=a M為底邊BC上的任意一點，過點 M分另作AR AC的平行線交 AC于巳 交AB于Q(

5、1)求四邊形AQMP勺周長；(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；(3) M位于BC的什么位置時，四邊形 AQM耽菱形并證明你的結(jié)論.12 .已知：P是正方形 ABCD勺邊BC上的點，且 BP=3PC M是CD的中點，試說明： ADMh MCP13 .如圖，已知梯形 ABCD43, AD/ BC AD=2 AB=BC=8 CD=10.(1)求梯形ABCD勺面積S;(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度, 的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點 目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為 當(dāng)點P在B?A上運動時，是否存在這樣的沿B?A?D?CT向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm

6、/s Q作QELBC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá) t秒.問：t ,使得直線PQ將梯形ABC而周長平分若存在，請求出 t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、A、D為頂點的三角形與 CQE相似若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t ,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以 DQ為一腰的等腰三角形若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.14 .已知矩形 ABCD長BC=12cm寬AB=8cm P、Q分別是AR BC上運動的兩點.若 P自點A出發(fā)，以 1cm/s的速度沿AB方向運動，同

7、時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、日 Q為頂點的三角形與 BDC相似15 .如圖，在 ABC中，AB=10cm BC=20cm點P從點A開始沿 AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點 Q 從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，4PBQ 與 ABC相似.16 .如圖，/ ACBWADC=90 , AC=/耳 AD=2問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.17 .已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD43,M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N(不含A、B),使得CDM與MAN!似若能，請給出證明，若不

8、能，請說明理由.18 .如圖在 ABC中，/C=90 , BC=8cm AC=6cm點Q從B出發(fā)，沿 BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動.若 。P分別同時從 B C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以 點C、P、Q為頂點的三角形與 CBA相似19 .如圖所示，梯形 ABCD43, AD/ BC Z A=90° , AB=7, AD=2 BC=3,試在腰 AB上確定點 P的位置， 使得以P, A, D為頂點的三角形與以 P, B, C為頂點的三角形相似.20 . ABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，/ A=Z D=9(J , DEF 的頂點E位于邊

9、BC的中點上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點 M, EF與AC交于點N,求證： BEMTACNE(2)如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點 M EF與AC交于點N,于是，除(1) 中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論.21 .如圖，在矩形 ABCD43, AB=15cm BC=10cm點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點 Q 沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果 P、Q同時出發(fā)，用t (秒)表示移動的時間，那么 當(dāng)t為何值時，以點 Q A、P為頂點的三角形與 ABC相似.22 .如圖，路燈(P點)距地面8米，身高米

10、的小明從距路燈的底部(。點)20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了變長或變短了多少米23 .陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到 達(dá))，他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡.請你在他們提供的測量工具中選出 所需工具，設(shè)計一種測量方案.(1)所需的測量工具是： ;(2)請在下圖中畫出測量示意圖；(3)設(shè)樹高AB的長度為x,請用所測數(shù)據(jù)(用小寫字母表示)求出 x.24 .問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信

11、息：甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為 60cm.乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.丙組：如圖3,測得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計)的高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求：(1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖3,設(shè)太陽光線NH與。0相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑.(友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602)25 .陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=窗口高AB=,求

12、窗口底邊離地面的高BC26 .如圖，李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高AB=h,燈柱的高OP=O P' =l ,兩燈柱之間的距離OO =m(1)若李華距燈柱 OP的水平距離 OA=a求他影子 AC的長；(2)若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和(DA+AC是否是定值請說明理由；(3)若李華在點A朝著影子(如圖箭頭)的方向以 vi勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度V2 .27 .如圖，分別以直角三角形 ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S, S2, S3表示，則不難證明 Sl=S2 + S3.(1)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形

13、，其面積分別用Si, S2, S3表示，那么S1, S2, S3之間有什么關(guān)系；(不必證明)(2)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S、&、S表示，請你確定Si, S2, S3之間的關(guān)系并加以證明；(3)若分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用Si, S2, S3表示，為使Si,S3之間仍具有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；(4)類比(1), (2), (3)的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論.28 .已知：如圖， AB6AADE AB=15, AC=9 BD=5.求 AE.29 .已知：如圖

14、 RtAABCRtABDCC 若 AB=3, AC=4(1)求BD CD的長；(2)過B作BE!DC于E,求BE的長.30 . (1)已知金/ J,且 3x+4z 2y=40,求 x, y, z 的值；(2)已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3: 10,且這兩個三角形的周長差為560cm,求它們的周長.參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）1 .如圖，在 ABC 中，DE/ BG EF/ AR 求證： AD曰 EFC考點：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知/ AEDW C, /A=/ FEC根據(jù)相似三角形白判定定理可知 AD曰 EFC解答：證明：.DE/

15、BC DE/ FG / AEDW C.又 EF/ AB, .EF/ AD / A=Z FEC .AD曰 AEFC點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.2.如圖，梯形 ABCD43, AB/ CD點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點 G（1）求證： CDSABGF（2）當(dāng)點F是BC的中點時，過 F作EF/ CD交AD于點E,若AB=6crp EF=4cm求CD的長.考點：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。專題：幾何綜合題。分析：（1）利用平行線的性質(zhì)可證明 CDSABGF（2）根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件， 可得 CD四ABGF則CD=BG只要求出BG的長即可解題

16、.解答：（1）證明：二.梯形 ABCD AB/ CD/CDFW FGB /DCFW GBF （2 分） .CDS ABGF （3 分）（2）解：由（1） CDSABGF又F是BC的中點，BF=FC. .CD2 ABGF.DF=GF CD=BG （6 分）1. AB/ DOI EF, F 為 BC中點， .E為AD中點， .EF是 DAG的中位線， .2EF=AG=AB+B G.BG=2EF AB=2K 4 - 6=2,.CD=BG=2cm （8 分）點評：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復(fù)雜.3 .如圖，點 D, E在 BC上，且 FD/ AB,

17、 FE/ AC求證：AB6AFDE考點：相似三角形的判定。專題：證明題。分析： 由FD/ AB, FE/ AC可知/ B=Z FDE / C=/ FED根據(jù)三角形相似的判定定理可知： AB6 FDE 解答： 證明：.FD/ AB, FE/ AC/ B=Z FDE / C=Z FED.AB6 AFDE點評：本題很簡單，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；（2）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三 角形相似；（3）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.4 .如

18、圖，已知 E是矩形ABCDW邊CD上一點，BHAE于F,試說明： ABQ EAD考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可解.解答： 證明：二.矩形 ABCD43, AB/ CD /D=90 ,（2 分） ./BA% AED （4 分） .BF± AE,，/AFB=90 . /AFB之 D. （5 分） .ABMAEAD （6 分）點評：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)的角.5 .已知：如圖所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC AD=AE / BACW DAE且點 B, A, D在一條直線上, 連接BE, CD M N分別為

19、BE, CD的中點.（1）求證：BE=CD4AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將 ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖所示的圖形.請 直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長 ED交線段BC于點P.求證： PBDAAMN考點專題分析解答:(1) 可知(2)(3)相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 幾何綜合題。因為/ BACW DAE所以/ BAE4CAD又因為 AB=AC AD=AE利用SAS可證出 BA9 ACADBE、CD是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等，可證AMN 是等腰三角形.利

20、用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變.先證出 AB陣AACIN（ SAS）,可得出/ CANW BAM所以/ BACW MAN（等角加等角和相等），又 / BACW DAE所以/ MAN= DAE= BAC所以 AMN ADE 和 ABC都是頂角相等的等腰三角形, 所以/ PBDWAMN所以 PBDAAMN（兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似）（1）證明：. / BAC= DAE，/BAE4 CAD . AB=AC AD=AE .AB珞 AACD.BE=CD由 AB珞AACID得/ABEh ACD BE=CD M N分別是BE, CD的中點，.BM=C N又AB=AC. .AB俸

21、 AACNAM=AN即 AMN為等腰三角形.（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立.（3）證明：在圖中正確畫出線段PD,由（1）同理可證 AB俸AACN/ CAN= BAM. / BAC= MAN又. / BAC= DAE/ MAN = DAE= BACAMN ADE和 ABC都是頂角相等的等腰三角形. . PBD和 AMNB為頂角相等的等腰三角形， / PBDW AMN / PDBW ANM. .PB AAMN點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似 三角形的判定(兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似)6 .如圖，E是?ABCD勺邊BA延長線上一

22、點，連接 EC交AD于點F.在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖 中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明.考點：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：開放型。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有： AEQ ABE(C AAEF DCF BE6 DCF解答： 解：相似三角形有 AEM ABE(C AEQ DCF BE6 DCF( 3分)如： AEFABEC在？ABC邛,AD/ BC./ 1=/B, /2=/3. (6 分).AEM ABEC (7 分)點評：考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.7 .如圖，在4X3的正方形方格中，

23、 ABC和 DEF的頂點都在邊長為 1的小正方形的頂點上. (1)填空：/ ABC= 135°° , BC2V2_；(2)判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題；網(wǎng)格型。分析：(1)觀察可得：BF=FC=2故/ FBC=45 ;則/ ABC=135 ,BC晶麗=正；(2)觀察可得：BC EC的長為2/2血，可得遺娶，再根據(jù)其夾角相等；故 AB6 DEC解答： 解：(1) Z ABC=135 , BC=2V2；(2)相似；. BCg?2 + ?'=EC=/1+1 =l2.;. AB 2 仁BC 2服廠.,AB

24、 BC CE DE又 / ABCW CED=135 ,. .AB6 ADEC自評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、 正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率.8 .如圖，已知矩形 ABCM邊長AB=3cmg BC=6cm某一時刻，動點 M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點 N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經(jīng)過多少時間， AMN的面積等于矩形 ABCDB積的,(2)是否存在時刻t ,使以A, M N為頂點的三角形與 ACD相似若存在，求t的值；若不存在，請說明理

25、 由.考點：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專題：動點型。分析：(1)關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為 x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用， AMN的面積等于矩形 ABC面積的工作為相等關(guān)系；上山”-、（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在.解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，4AMN的面積等于矩形 ABC面積的工， 問貝u有：二（62x） x=X3X6,即 x2- 3x+2=0, （2 分）29解方程，得xi=1, x2=2, （3分）經(jīng)檢驗，可知xi=1, x2=

26、2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，4AMN的面積等于矩形 ABC而積的工.（4分）9（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A, M, N為頂點的三角形與 ACD相似，由矩形ABCD可彳導(dǎo)/ CDAW MAN=90 ,因此有鯉上迎口 （5分）AN-DA AN-Dq即一或（6分）2t 6&-2t 3解，得t=e；解，得t=2z（7分）25經(jīng)檢驗，t="或t=都符合題意，25所以動點M N同時出發(fā)后，經(jīng)過 衛(wèi)秒或二秒時，以A, M N為頂點的三角形與 ACD相似.（8分）25我評：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運用以及解分式方程.要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活

27、的運用.注意：一般關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可.9 .如圖，在梯形 ABCD43,若AB/ DC AD=BC對角線BQ AC把梯形分成了四個小三角形.（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明.考點：相似三角形的判定；概率公式。專題：開放型。分析：（1）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可求得；與，與相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可證得.解答：解：（1）任選兩個三角形的

28、所有可能情況如下六種情況：，（2分）其中有兩組（，）是相似的.選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P=- （4分）證明：（2）選擇、證明.在4AOB與ACOD中，1. AB/ CD / CDBW DBA / DCAW CAB .AO中CODC 8 分）選擇、證明. 四邊形ABC虛等腰梯形， / DABW CBA，在 DAB與4CBA中有AD=BC / DABW CAB AB=AB. .DA軍 ACBA (6 分)/ ADOg BCO又/ DOAg COB .DOApCOB( 8 分).點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件 A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事

29、件 A的概率P (A) =£,即相似三角形的證明.還考查了相似三角形的判定.10.附加題：如圖 ABC 中，D為 AC上一點，CD=2DA / BAC=45 , / BDC=60 , C吐BD 于 E,連接 AE(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；(2)圖中有無相似三角形若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；(3)求4BEC與4BEA的面積之比.考點：相似三角形的判定；三角形的面積；含30度角的直角三角形。專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)直角三角形中 30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知 CD=2ED則可寫出相等的線段;(2)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似則可判斷 AD曰 AEC

30、(3)要求 BEC與4BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作 BEA的邊BE邊上的高即可求解.解答:解：(1) AD=DE AE=CE . CEL BD / BDC=60 , 在 RtCED中，/ ECD=30 .CD=2ED .CD=2D A.AD=DE / DAEW DEA=30 =/ ECD.AE=CE(2)圖中有三角形相似， AD曰AAEC /CAEW CAE / ADEM AEC .AD曰 AAE(C(3)作AH BD的延長線于 F, 設(shè) AD=DE=x 在 RtCED中， 可得CE=/3K,故AE霏K.Z ECD=30 .在

31、RtMEF 中，AE囂/AEDW DAE=30 .sin /AEF典，AEAF=AE?sinZ AEF= 一一二二二.研條點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣.11.如圖，在 ABC中，AB=AC=a M為底邊BC上的任意一點，過點 M分另作 AB AC的平行線交 AC于P,交AB于Q(1)求四邊形 AQMP勺周長；(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；(3) M位于BC的什么位置時，四邊形 AQM的菱形并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；菱形的判定。專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求得

32、其周長；(2)因為/ B=Z C=Z PMC =QMB 所以PM。AQMBAABC(3)根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQM師菱形.解答：解：(1) AB/ Mp QM/ AC，四邊形 APMQI平行四邊形，/ B=/ PMC /C=/ QMB.AB=ACB=/ C, ./PMC =QMBBQ=QM PM=PC，四邊形 AQMP勺周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a(2) PM/ AB, .PCMh AACB . QM/ AC .BM ABCA(3)當(dāng)點M中BC的中點時，四邊形 APM虛菱形， 點 M是 BC的中點，AB/ MP QM/ AC .Q

33、M PM是三角形 ABC勺中位線. .AB=AC.-.qm=pm=ab=1ac.22又由(1)知四邊形APMQI平行四邊形，平行四邊形 APM%菱形.我評：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的綜合運用.12 .已知：P是正方形 ABCD勺邊BC上的點，且 BP=3PC M是CD的中點，試說明： ADMh MCP考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：欲證4人口跳4MCP通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即/D=/ C,此時，再求夾此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例即可.解答：證明：.正方形 ABCD M為CD中點，.CM=MD=AD.2.

34、BP=3PCPCBCADCMK 4 2，空亞CM AD 2. /PCM =ADM=90 ,.MCD AADIM點評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的 對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.本題中 把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的方法.13 .如圖，已知梯形 ABCM, AD/ BC AD=2 AB=BC=8 CD=10(1)求梯形ABCD勺面積S;(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿 B?A?D?CT向，向點 C運動；動點 Q從點C出發(fā)，以1cm/s 的速度，

35、沿C?D?AT向，向點A運動，過點Q作QaBC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)目 的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒.問：當(dāng)點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t,使得直線PQ將梯形ABC而周長平分若存在，請求出 t的值;若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、A D為頂點的三角形與 CQE相似若存在，請求出所有符合條彳的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t ,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.考點：相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的

36、判定；勾股定理；直角梯形。專題：動點型；開放型。分析：(1)求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出高后即可求出梯形的面積.(2)PQ平分梯形的周長，那么 AD+DQ+AP=BC+CQ+BP知了 AD, BC的長，可以用t來表示出AP, BP, CQ QD的長，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值.本題要分三種情況進行討論：一，當(dāng)P在AB上時，即0<t<8,如果兩三角形相似，那么/ C=ZADP或/ C=/APD那么在 ADP 中根據(jù)/C的正切值，求出t的值.二，當(dāng)P在AD上時，即8<t<10,由于P, A, D在一條直線上，

37、因此構(gòu)不成三角形.三，當(dāng)P在CD上時，即10<t<12,由于/ADC是個鈍角，因此 ADP是個鈍角三角形因此不可能和 直角4CQE相似.綜合三種情況即可得出符合條件的t的值.(3)和(2)相同也要分三種情況進行討論：一，當(dāng)P在AB上時，即0<t<8,等腰4PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP DQ=PQ可以通過構(gòu)建直角三 角形來表示出DP, PQ的長，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值.二，當(dāng)P在AD上時，即8<t<10,由于 BA+AD=CD=10因此DP=DQ=10t,因此DP, DQ值相等.三，當(dāng)P在CD上時，即10vtwi2,情況同二.綜合三種情況可得出等

38、腰三角形以DQ為腰時，t的取值.解答：解：(1)過D作DH/ AB交BC于H點，1. AD/ BH DH/ AR四邊形ABH虛平行四邊形.DH=AB=8 BH=AD=2.CH=8- 2=6.,.CD=10.D+C=CD2.1. / DHC=90 ./ B=Z DHC=90 .梯形ABC皿直角梯形.Sabcd4 (AD+BC AB=X (2+8) X 8=40.(2).一BP=CQ=t.AP=8- t , DQ=10- t , AP+AD+DQ=PB+BC+CQ-8- t+2+10 t=t+8+t當(dāng)t=3秒時，PQ將梯形ABC調(diào)長平分.第一種情況：0VtW8若4PA中4QEC則/ADPWCtan

39、 / ADP=tanZ C=S.4.仁= , -t=16T若 PAD CEQ 貝U / APDW C1. tan Z APD=tanZ C=,=638-t 3一 ：；t-2第二種情況：8<t<10, P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10vt w 12AADP為鈍角三角形與 RtCQE不相似；.=或1=1?時，4PAD與4CQE相似.32第一種情況：當(dāng) 0DW8時.過Q點作QELBC Q也AB,垂足為. AP=8- t , AD=2E、H.PD=/Ap2+AI)2=J、2 - 1 譏+6g . CE衛(wèi)t, QE當(dāng)，國 1.QH=BE=8 t , BH=QE=t .575.P

40、H=t-3t.呻QH+F產(chǎn)上；-昌+64, DQ=10- tf b i： DQ=DP * t= &_6H68,解得t=8秒.n： DQ=pQ 10-k J：-整964， V U3化簡彳導(dǎo):3t2- 52t+180=0解得： 仁 H-JM, t= I64? )348 (不合題意舍去)| 金 | |3|26-2 如 t-3第二種情況：8<t<10 時.DP=DQ=16t. 當(dāng)8Wtv 10時，以DQ為腰的等腰 DPQ恒成立.第三種情況：10vtW12 時.DP=DQ=b 10. 當(dāng)10vtW12時，以DQ為腰的等腰 DPQ恒成立.綜上所述，t=產(chǎn)”或8Wt<10或10&l

41、t;t<12時，以DQ為腰的等腰 DPQ成點評:2）中要根據(jù)P, Q的不本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，要注意（ 同位置，進行分類討論，不要漏解.14.已知矩形 ABCD長BC=12cm寬AB=8cm P、Q分別是 AR BC上運動的兩點.若 P自點A出發(fā)，以1cm/s 的速度沿AB方向運動，同時， Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以 P、R Q為頂 點的三角形與 BDC相似考點分析解答:相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。幾何動點問題；分類討論。要使以P、B、Q為頂點的三角形與 BDC相似，則要分兩兩種情況進行分析.分別是 PBQABDC

42、 或 QBPoABD（C從而解得所需的時間.解：設(shè)經(jīng)x秒后，APB/ ABCD由于/ PBQW BCD=90 ,(1)當(dāng)/ 1=72 時，有:DC BC點評:(2)當(dāng)/ 1=73 時，有:居型,BC EC128經(jīng)過 連秒或 2 秒，APB(QoABCD 7此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用.15.如圖，在 ABC中，AB=10cm BC=20cm點P從點A開始沿 AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點 Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果 P、Q分別從A B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘， PBQ與4ABC 相似.考點專題分析解答:相似三角形的判定;次方程的應(yīng)用

43、。動點型。設(shè)經(jīng)過t秒后，4PBQ與4ABC相似，根據(jù)路程公式可得 AP=2t, BQ=4t, BP=10- 2t ,然后利用相似三 角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可.解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，4PBQ與 ABC相似，則有 AP=2t, BQ=4t, BP=10- 2t , 當(dāng)PBQ ABC 時，有 BP: AB=BQ BC,即(10 - 2t ) : 10=4t : 20,解得t= (s) (6分)當(dāng)QBm ABC 時，有 BQ AB=BP BC,即 4t : 10= (10 2t): 20,解得t=1 .所以，經(jīng)過或1s時，APBQ與ABC相似(10分).解法二：設(shè) ts 后，4PBQ與

44、4ABC相似，貝U有， AP=2t, BQ=4t, BP=10 2t 分兩種情況：(1)當(dāng)BP與AB對應(yīng)時，有 段=四，即"二1三11,解得t=AE BC 1020(2)當(dāng)BP與BC對應(yīng)時，有 BQ理 即叫三”二"，解得1三佰AE BC 1CI 20所以經(jīng)過1s或時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與 ABC相僅點評：本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學(xué)生平時學(xué)過的知識要會融合起來.16.如圖，/ ACBWADC=90 , AC=年，AD=2問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.考點：相似三角形的判定。專題：分類討論。分析：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一

45、個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.在 RtABC和RtAACID直角邊的對應(yīng)需分情況討論.解答：解：AC=/6|, AD=2,8=/煎2 _&2s.要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：二3；=371 .(1)當(dāng) RtAAB(C RtACD 時，有 前三嶇ab=_AD AC AD(2)當(dāng) RtAACBRtCDA 時，有 前三嶇AB=_ CD AC (7D故當(dāng)AB的長為3或3施時，這兩個直角三角形相似.自評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)

46、角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.17 .已知，如圖，在邊長為 a的正方形ABCD, M是AD的中點，能否在邊 AB上找一點N (不含A B),使得CDM與AMAN相似若能，請給出證明，若不能，請說明理由.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：探究型；分類討論。分析：兩個三角形都是直角三角形， 還只需滿足一對角對應(yīng)相等或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例即可說明兩個三角形相似.若DM AM對應(yīng)，則 CDM與AMANr等，N與B重合，不合題意；若DM AN對應(yīng)，貝U CD AM=DMAN,彳A AN=a,從而確定 N的位置.4解答：證明：分兩種情況討論：若CDMhAMAN 則 =AM O邊長為a, M是AD的中點

47、，AN=a.4若CDMhANAIM 則=.AN AK邊長為a, M是AD的中點，二AN三a即N點與B重合，不合題意.所以，能在邊 AB上找一點N (不含A B),使得 CDM與MANt目似.當(dāng)ANa時，N點的位置滿足4條件.點評：此題考查相似三角形的判定.因不明確對應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論.18 .如圖在 ABC中，/C=90 , BC=8cm AC=6cm點Q從B出發(fā)，沿 BC方向以2cm/s的速度移動，點 P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動.若 。P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與 CBA相似考點：相似三角形的判定。專題：綜合題；動點型。分析

48、：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解.解答:解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ= （8-2x） cm, CP=xcm （1分）. /C=/ C=90 ,.當(dāng)£衛(wèi)或座？時，兩三角形相似.（3分）CB CA CA CR所以，經(jīng)過42秒或第秒后，兩三角形相似.（6分） 511自評：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法.19 .如圖所示，梯形ABCM,AD/ BC /A=90°,AB=7,AD=2BC=3試在腰AB上確定點 P的位置，使得以P, A,

49、 D為頂點的三角形與以 P, B, C為頂點的三角形相似.考點：相似三角形的判定；梯形。專題：分類討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，選擇適宜的判定方法.解題時要注意一題 多解的情況，要注意別漏解.解答:解：(1)若點A, P, D分別與點B, C, P對應(yīng)，即AAPDABCPBP BC_2_=AP7-AP 3'_2 _ .AP - 7AP+6=0, .AP=1 或 AP=6,檢測：當(dāng) AP=1 時，由 BC=3 AD=2 BP=6.國媽BC BP又./Am/ B=90° , .AP ABCP當(dāng) AP=6時，由 BC=3, AD=2 BP=1,又.

50、 /A=/ B=90° , .AP ABCP(2)若點A, P, D分別與點B, P, C對應(yīng)，即AAPD BPC生皿ap=k=APBP BC 口-虹 35檢驗：當(dāng) AP=時，由 bp", AD=2 BC=3，卿幽BP BC又./A=/ B=90° , .AP ABPC因此，點P的位置有三處，即在線段 AB距離點A的1、包、6處.點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.20 . AABCAD

51、EF是兩個等腰直角三角形，/ A=Z D=90 , DEF 的頂點E位于邊BC的中點上.（1）如圖1,設(shè)DE與AB交于點 M EF與AC交于點N,求證： BEMTACNE（2）如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點 M EF與AC交于點N,于是，除（1）中 的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；等腰直角三角形。專題：證明題；開放型。分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45。，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根 據(jù)性質(zhì)得到比例

52、線段，有夾角相等證得 ECNhAMEN解答：證明：（1） .ABC是等腰直角三角形，/ MBE=45 , / BME+ MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45 / NEC4 MEB=135，/BEM=NEC （4 分）而/ MBE=ECN=45 , .BEMTACNE （ 6 分）（2）與（1）同理BEMhACNE.磔 JI. （8 分）CM NE又 BE=EC.里ZM,（10 分）CM隨則. ECNA MEN中有里CM EN又/ ECNW MEN=45 , .ECNhAMEN （12 分）點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角

53、形相似；如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.21 .如圖，在矩形 ABCD43, AB=15cmg BC=10cm點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點 Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果 P、Q同時出發(fā)，用t （秒）表示移動的時間，那么當(dāng) t 為何值時，以點 Q A、P為頂點的三角形與 ABC相似.考點專題相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。幾何動點問題；分類討論。分析APQ ABA(C此時得 APQ ABC/A此時得 AQm ABA(C此時得 AQm ABC/A此時得AQAQAQAQBC=APAB=AP BA=AP BC=APAB; BC BC BA若以點Q A、P為頂點的三角形與 ABC相似，有四種情況:可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出 解答：解：以點Q A P為頂點的三角形與 ABC相似，所以 AB6 PAQ 或4 AB6 QAPt的值.當(dāng)AABa PAQ時,AB BC,二 ?AP AQ所以至二102t 10-t解得：t=6 ;當(dāng) ABC QAP 時,空里，AP-AQ所以"=有2t 10- t解得：t=巨；2當(dāng) AQmABAC時,所以t=芻 2當(dāng)AQm4BCA時，圓慳，即生1百