2013年高考真題——理科數(shù)學(xué)(天津卷)解析版

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選才i題)兩部分，共150分.考試用時(shí)120分鐘.第 I卷1至2頁，第n卷3至5頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上 ，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本 試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1 .每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2 .本卷共8小題，每小題5分，共40分.參考公式：如果事件A, B互斥，那么P(A B) P(

2、A) P(B)棱柱的體積公式 V=Sh,其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高.如果事件A, B相互獨(dú)立，那么P(AB) P(A)P(B)43球的體積公式V - R3.3其中R表示球的半徑.一.選擇題： (1)已知集合(A)(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的A = xC R| | x| < 2A = xC R| x< 1,則 A B,2(B) 1,2(C) 2,2(D) -2,13x(2)設(shè)變量x, y滿足約束條件 x620,0,0,則目標(biāo)函數(shù)z =y- 2x的最小值為(A) -7(C) 1(3)閱讀右邊的程序框圖 為1,則輸出S的值為(B) 4(D) 2,運(yùn)行相

3、應(yīng)的程序，若輸入x的值(A) 64(C) 512(4)已知下列三個(gè)命題：(B) 73(D) 585若一個(gè)球的半徑縮小到原來的1 一，2,則其體積縮小到原來的1 ；8若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等直線x + y + 1 = 0與圓,則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；21 y 相切.2其中真命題的序號(hào)是(A)(C)(B)(D)(5)已知雙曲線2 x2 a2 y b21(a 0,b 0)的兩條漸近線與拋物線2 px( p 0)的準(zhǔn)線分別交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為 2, 4AOB的面積為33 ,則 p =(6)(8)(A) 1(C) 2(D) 3在4ABC中,10(A)10函數(shù)f(x)ABC,AB

4、 2, BC410(B)53,則 sin BAC3 10 (C)105(D)武 52x|log0.5x| 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A) 1已知函數(shù)f(x)(B) 2x(1 a | x|).設(shè)關(guān)于(C) 3x的不等式f (xa)(D) 4f (x)的解集為A,若1 12, 2A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)15,0(B) 13,0(D)15八(C)2 ,02013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學(xué)第II卷注意事項(xiàng)：1 .用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上2 .本卷共12小題，共110分.二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.(9)已知 a, b C R, i 是虛數(shù)單位.

5、若(a + i)(1 + i) = bi,則 a + bi =(10)的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(11)已知圓的極坐標(biāo)方程為 4cos ,圓心為Q點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 4,-,則|CP = (12)在平行四邊形 ABCD中，AD = 1, BAD 60 , E為CD的中點(diǎn).若uuir uuu'AD BE 1,則 AB 的長(zhǎng)為.'-(13)如圖， ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD/AC.過點(diǎn).A做圓的切線與 DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E AD與BC交于點(diǎn)F.若AB = AQ ' 匕AE = 6, BD = 5,則線段CF的長(zhǎng)為.1 lai 一 .一一 .(14)設(shè)a + b

6、 = 2, b>0,則當(dāng)a = 時(shí)，-匕取得最小值.2 1al b三.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(15)(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x) 2sin 2x 6sin xcosx 2cos2x 1,x R .4(I )求f(x)的最小正周期；(n )求f(x)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.(16)(本小題滿分13分)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2, 3, 4;白色卡片3張，編號(hào)分 別為2, 3, 4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(I )求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概

7、率X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望(n)再取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為 (17)(本小題滿分13分)如圖，四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，側(cè)棱 AiA,底面ABCD AB/DQ ABX AD, AD = CD = 1, AAi = AB = 2, E 為棱 AAi的中點(diǎn).(I )證明 BiGXCE(n )求二面角Bi- CE- Ci的正弦值.所成角的正弦值為包,求線段AM的長(zhǎng).6(m)設(shè)點(diǎn) M在線段 CiE上，且直線 AM與平面 ADDiAi(18)(本小題滿分13分)223設(shè)橢圓。 1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為3,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截a b3得的線

8、段長(zhǎng)為4 3.3(I )求橢圓的方程；(n )設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn).若uuir uuir uur uuuAC DB AD CB 8 ,求 k 的值.(19)(本小題滿分14分)已知首項(xiàng)為3的等比數(shù)列a。不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(n N*),且及+ a3, S5 + as, S4 + 2a4成等差數(shù)列.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；、一 一 1 ，一，一一，一.(n )設(shè)TnSn (n N*),求數(shù)列T。的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.Sn(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) x2lnx.(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n )證明

9、：對(duì)任意的t>0,存在唯一的s,使t f(s).(m)設(shè)(n )中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s g(t),證明：當(dāng)t>e2時(shí)，有2 In g(t) 1.5 Int 22013 <高笫學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類)參考解答選擇聰:4胞看竹林本知識(shí)和從本運(yùn)笄.好小做S分,滿分40分.I)D12) AG) ii CS (>6) C7) H(X) A.境空達(dá)：木也與六基本知識(shí)和從本運(yùn)算,短小收0分,滿分30分.IX12) -< 1 n< 14)-223薛若卷I? S ,-u.：. ： , ；. . . Z. .一：工門工乙一一.；,?。?1; 丁I ) 解

10、：/ (I j2sin 2v cos <2cos2x sin sin 2x - cos2x, 兒小一:發(fā)小典概%.反認(rèn)股#,汁以公式.住一件、離放空班機(jī)交貨的分VI )一仃泣號(hào)為3-S； ”為事件人 一人”JJ.C； 7所以.取出償4東。六中.臺(tái)。編號(hào)為3的"的圖.率為生7（II）帽 隨班支廿*的廝仃M能奴勺為I. 2. 3. 4/>（'二】）-1：-工 F（.V-2） = Si. 4 .Cl 35U 35C，C1 4八工一3）二V一. ax 一=二二一.<- 7C： 7所以懣機(jī)貨氧,V的分是I1一4P14r 11 .A彳。77_j陽機(jī)奎中X俏鼓學(xué)、汽&qu

11、ot;才-I XL . 2，3 " . 4 X 2 = 12 . 353577 5（ 小小版；，CU的條仃紋的也芭關(guān)禮二面角、宜淺叼丫面爐成的角,門線）中面幸不,押礎(chǔ)小識(shí).。吝短；，：4辮注。.體幾何詞題的方法.考外空間出發(fā)能力、龍rr傀力和推理-j.謁分二分.i力法i）加圖,以史力為4點(diǎn)建京空間N/坐標(biāo)系, 依超慧刊0.0）, ZJI0.0.2）. C（l.o.l）.<0, 2.2） , QL2.1）, £（J.L（H.，I）證明：5, £（：-".（）.-1）. （, 二（-1J-I）1小At；40段以月（7，CE.11）ft?： ac =（u

12、-2.-i）.式：回 BCE ffjij. :,J t. m （ii ;1; z >.m - B.C - 0.fx _ 2 v _ :=U.kh 上.1 由Ax. v - 2r-0.，、幼今；: = 1.二得一個(gè)注向。C£=0. r1 一1一。：ii力 m-（7.-2.D.J:<1）. <； 1CE. 乂 ccas。,叮存 4G，平面 CEC，故瓦-】）為艱面sc的一個(gè)力向!L55, 士 YN兆H 3 -夕7- 8 諦即'士 -" ss££；iCjC£力啊.不>8山。78、9-= 9J (H? .» s

13、-d)cPr9rt1lii 山 ar? V 盯切 njl w 加 D yD- & W 皿-：)f)ff7 n 為 DJ T 33 母1 DJ&EIJ. I 0加？JT'DG « I ) HI - DO 1 D y T !)ff -|l P? 2W < 11 >工）LJ8空鄴/二工）工, 392切4：）8計(jì)均。-J1U DJ3D。耳冰二1 JJX .7 J T lJff, ：;： 1X717：/).? + ：5g = ；3 g NVr £s = Jy Y、= hg :&穢/右也 誦 H T ：)討峋 'a 3 (I Y 即/

14、 n jy crg"即創(chuàng)TbD網(wǎng)/si :胡塞(1c r 9 m小l =，v飛組：力秘辭 e 7/ -?rj1Cy.I ?L ：洱A X ：?十 « ?卜：(> iffFl 'AK (/- =- -= i gy %/ ；皿 =gins?叮8尸/用 '1I M丁眼»%小一九邛-.捫回沼、Jr5 卜 (7/四小區(qū)(L0 3- " niln ' (rI ?)八？3V = /vr 一， h 1汐？3。,("，)-力" N3卷 FllD二:2 Y0r0)= 3/ (III)抵爾班宛中說5 -7，-勿頊序-n的LjL

15、乙、XH；、18；叫八.、心/. i" lZ AD8 w'11 " U】D解：連套D£，過點(diǎn)“住V/1ER于直 ,可行1/15曲連接/T”,購AfAH為門線AM 1 j T-lfl! ADD.1所成的角.r廠設(shè)片 W=x,從而在-4"” 中.AHx.在 RtAC.pE中，CA=1. EQ=j2,鈍 EH :&什Ix .在八中，乙4，二 I35L AE.ir AH: AE: 4 EH: -2AE EHC0i3SQ.得 12/=1/ +必、， 1893整理得5/7三56二。，線燈l=、5.所以線段兒”的長(zhǎng)為應(yīng).（18）不小建主要考挖柳囚的標(biāo)準(zhǔn)

16、方燈和幾何性度、直線的方程、向量的運(yùn)以等坯礎(chǔ)知 識(shí).匕用代數(shù)方法I :舊的性質(zhì).號(hào)】EW界求解能力.以及用方程思想解決問 題的能力.滿分13分.c 1）：設(shè)尸（-。0）.由£ =蟲，知。、/£.過點(diǎn)FR與X柏事克的有線為入=5 a 3代入橢圓方程方空一與=|,博得”士邈,于是2役=逑，就褥gJI,又 優(yōu) />,433 ，a-"從而。=JL c=l,所以亞圓的方程為三 1=1.、2C 1（）蟆 設(shè)點(diǎn)Q" »） /”“心）,由尸（一10）用直線CD的方程為=女工+1）.y = k(x - 1).土方程訊 父 V- 泊£一整理行(2

17、+ 3/)/ - 6n + 3/-6 =。.求解可行工，l=-_竺：，kx、= 竺二因?yàn)镠r5,0). 6«，0).所以 2 d 27左AC- DB + AD CB = (% + 73, y -(<3 x2. - y2)-* (x. + 73, y)N3 - xt. - y,) 6 -2xx2 - 2y.y2 = 6-2%x1-2ft:(x, l)(x2 .1)= 6一(2.2Xg2A“.E f 卜 2P由已知得得八士7L 2 + 34-U9）木小題主要考查等用數(shù)列的數(shù)念，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、商攻和公式， 教利的蛙本性及等區(qū)行知識(shí).老近分類討論的思想，考狂運(yùn)算能力、分析問

18、乏和箕決問 枝偽能力.滿分14分.（1）螃 設(shè)由匕攻處”的公工力g.因?yàn)楣?.邑+%, S4成句Z數(shù)列.所%即%,=。-r足/=%.又4不是遞減數(shù)/4列任勺=：,所以g=g.故等之故列他的通攻公式為a. =giJII）解；饞（I）得 S.”1 刀為奇效.JI 外為偶教.S.俎的增大而減小.歷以l<£S：二。故節(jié)為偶數(shù)時(shí). vs 3 250 v 3. 、31= -. S. '£236工隨的博大而增大.所以3 = s.這邑<1 .故40 > S - 1- S-5. 5.3 47 512714什、總/-12S.6所以數(shù)列7J最人：1史的值為;,必小卬的值為（”）不小國(guó)史妾號(hào)行相散餃找2、后教的零步、u鼠的運(yùn)行, 利用勺教研究語數(shù)的a 調(diào)性、不總式筆狀礎(chǔ)知識(shí).君褥，效用恕化歸思何.考杳抽能械括能力、琮合分析問 馥和第決詞題的能力.滿分M分.（I ）解：函數(shù)八外的定義域?yàn)椋?一動(dòng).f x)= 2xlnx x = x(2 in 宜-1) 令 /(幻=。得 x 7uX7C )17J住Tr（x）一0,>“n極小價(jià)/一 ,