初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項培優(yōu)練習(xí)題及答案解析

1、初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項培優(yōu)練習(xí)題及答案解析一、圓的綜合1 .如圖，四邊形 OABC是平行四邊形，以 。為圓心，OA為半徑的圓交 AB于D,延長AO 交。于E,連接CD, CE,若CE是。的切線，解答下列問題：(1)求證：CD是。的切線；OABC的面積.試題分析：(1)連接OD,求出/EOCN DOC,根據(jù)SAS推出EOeDOC,推出/ODC=/ OEC=90,。根據(jù)切線的判定推出即可；(2)根據(jù)切線長定理求出 CE=CD=4根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=OD=4,根據(jù)平行四邊形的面積公式二24 COD的面積即可求解.試題解析：(1)證明：連接OD,-.OD=OA, / ODA=/ A, .四邊形

2、OABC是平行四邊形， .OC/ AB, / EOC=Z A, / COD=/ ODA, / EOC二Z DOC,在EOC和ADOC中，OE ODEOC DOCOC OC.,.EOCADOC (SAS , / ODC=/ OEC=90 ；即 OD, DC, .CD是。O的切線；(2)由(1)知CD是圓O的切線, .CDO為直角三角形， .Sa cdcf CD?OD2，又 oafbcfOd=4Sacdo= X 6X 4=,122，平行四邊形OABC的面積S=2S cdo=24.2.如圖1,已知扇形MON的半徑為J2 , /MON=90，點B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié)BM , 作OD，BM,垂足為點 D

3、, C為線段OD上一點，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)ABOM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求 x的值.圖1圖2各用圖【答案】(1)證明見解析；(2) y 一二.(0 x 收);(3)X 4 及. x v22【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OAXBAM,即可得出結(jié)論;(2)OA OE (3)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=-1(J2 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三

4、種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1) - OD BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :人 ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點D作DE/AB,交OM于點E. OB=OM, ODXBM, ，BD=DM. DM1. DE/AB, BDME,AE=EM.AE 1. om=J2 , AE=-(應(yīng) x).2OA.DE/AB, OEOC 2DMOD ODDMODy x ,20 / COB, /COB=/AOC, . / ACO / AOC,，此種情況不

5、存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a,a45 :/ BOA=2 490 : : / BOAW 90 ，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為 而 近.2點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.3.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。的直徑，過點 C作AC的垂線交AD 的延長線于點E,點F為CE的中點，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平

6、分 ZADC, AB=5拒，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長.【答案】(1)見解析；(2)、:5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進(jìn)而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 .點 F 為 CE的中點，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90, . DF是。的

7、切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90. DB平分 / ADC,/ ADB=Z CDB, . Ab 二?C，BC=AB=5我.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x, .-100=4x?5x,，x=V5, .DE=V5.wE F C點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.4.如圖，AB是。的直徑，PA是。O的切線，點 C在。O上，CB/ PO

8、. (1)判斷PC與。O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若 AB=6, CB=4,求 PC 的長._ 3 【答案】（1） PC是。的切線，理由見解析；（2） -J52【解析】試題分析：（1）要證PC是。的切線，只要連接 OC,再證Z PCO=90即可.（2）可以連接 AC,根據(jù)已知先證明 ACBPCQ再根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì) 求出PC的長.試題解析：（1）結(jié)論：PC是。的切線.證明：連接OC . CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又,. OA=OC, OP=OP .APOACPO/ OAP=Z OCP. PA是。O

9、的切線/ OAP=90 / OCP=90 .PC是。的切線.(2)連接AC.AB是。O的直徑 ./ACB=90 (6 分)由(1)知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCOBC_AC-oc_pcOOAC 3VaB2-BC 3針-42 3旄.pc二一一一二二二.0 BC 442點睛：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與 這點(即為半徑)，再證垂直即可.同時考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì).5.如圖，PA、PB是。的切線，A, B為切點，/APB=60,連接PO并延長與。交于C 點，連接AC BC.(I )求/

10、 ACB的大??；(n )若。半徑為1,求四邊形 ACBP的面積.【解析】分析：(I)連接AO,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理，得到 OAL AP, OP平分/APB,然 后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，得到 / ACB的度數(shù)；(n )根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等底同高的性質(zhì)求三角形的面積即可.詳解：(I )連接OA,如圖,.PA、PB是。的切線，OAXAP, OP平分/APB,/- 1 ,/ APO=- / APB=302，/ AOP=60 ；.OA=OC,Z OAC=Z OCA,1/ ACO=AOP=30 ,2同理可得/BCP=3

11、0,/ ACB=60 ；(n )在 RtOPA 中， / APO=30 , ，AP=V3OA=V3, OP=2OA=2,.OP=2OQ而 Sa opa= 1 X 1 用，Saaoc= ； S paO=縣,一 3,3 . Sa acp=,4，四邊形ACBP的面積=2Saacb33 .2等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)點睛：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形 是解題的關(guān)鍵.6.如圖1,e 0的直徑AB 12, P是弦BC上一動點（與點B, C不重合）, ABC 30,過點P作PD 0P交eO于點D-1如圖2,當(dāng)PD/AB時，求PD的長；12如圖3,當(dāng)DC AC時，延長AB至點E,使BE -AB

12、 ,連接DE.求證：DE是e O的切線；求PC的長.圖1郅鄴【答案】（1） 2志；（2）見解析，3內(nèi)3. 【解析】分析：1根據(jù)題意首先得出半徑長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出0P, PD的長；2首先得出V0BD是等邊三角形，進(jìn)而得出ODE 0FB 900,求出答案即可；首先求出CF的長，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長，進(jìn)而得出答案.詳解：1如圖2,連接0D,cQOP PD, PD/AB,POB 900，Qe O的直徑AB 12,OB OD 6,在 RtVPOB 中， ABC 30,OP OB tan30 6 2點，在 RtVPOD 中，PD JOD2 OP2/62 (2鬲 2屈；2證明：如

13、圖3,連接OD,交CB于點F,連接BD,q De Ac ,DBC ABC 30,ABD 60,QOB OD ,VOBD是等邊三角形，OD FB,-1Q BE AB,OB BE ,BF /ED ,ODE OFB 90,DE是e O的切線；由知，OD BC ,CF FB OB cos30 6 3 3，在 RtVPOD 中，OF DF ,_1 _ _PF DO 3(直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半)，2CP CF PF 3M 3.點睛：此題主要考查了圓的綜合以及直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出VOBD是等邊三角形是解題關(guān)鍵.7.矩形ABCD中，點C (3, 8) , E、F為AB、

14、CD邊上的中點，如圖1,點A在原點處，點B在y軸正半軸上，點 C在第一象限，若點 A從原點出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位 長度的速度運動，點 B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形 ABCD在平面內(nèi)滑動，如圖 2,設(shè)運動 時間表示為t秒，當(dāng)點B到達(dá)原點時停止運動.(1)當(dāng)t=0時，點F的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)t=4時，求OE的長及點B下滑的距離；(3)求運動過程中，點 F到點O的最大距離；(4)當(dāng)以點F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求 t的值.【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-4/3 ； ( 3) 7; (4) t 的值為或一. 55【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而彳#出點F

15、的坐標(biāo)；(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出/AB830。，即可得出結(jié)論；(3)當(dāng)0、E、F三點共線時，點F到點O的距離最大，即可得出結(jié)論；(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當(dāng) t=0 時.-.AB=CD=8, F 為 CD 中點，DF=4,F (3, 4)；(2)當(dāng) t=4 時，0A=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90,1-Z ABO=30 ；點E是AB的中點，OE=AB=4, BO=4，3 ,，點B下滑的距離為 28 4出.(3)當(dāng)O、E、F三點共線時，點 F到點O的距離最大，F(xiàn)O=OE+EF=.r _6 -,7姝 C f B i“:J

16、_ X8【答案】（1） 3兀；（2） 27兀；（3） 273 n兀.【解析】試題分析：（1）先求出AC的弧長，繼而得出萊洛三角形的周長為3兀，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出萊洛三角形等邊 4DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形 的面積之和即可；（3）先判斷出萊洛三角形的一個頂點和。重合旋轉(zhuǎn)一周點I的路徑，再用圓的周長公式即可得出.試題解析：解：（1） ;等邊 aABC 的邊長為 3, ./ABC=/ ACB= / BAC=60,Ac Bc Ab，lAc lBc =* = 60=3 =兀,.線段 mn 的長為 180l Ac l Be lAB =3兀故答案為3兀；（2）如圖1.等邊

17、4DEF的邊長為2兀，等邊4ABC的邊長為3, ，S矩形aghf=2兀X 3=6,兀2由題意知，AB DE, AGAF,/ BAG=120,，S扇形 BAG=1203-=3 5圖形在運動過 360程中所掃過的區(qū)域的面積為3 （S矩形aghf+S扇形bag） =3 （6兀+3/=27k;（3）如圖2,連接BI并延長交 AC于D. ,I是4ABC的重心也是內(nèi)心，./DAI=30,1 33-AD=AC=, . OI=AI= AD2=43,當(dāng)它第1次回到起始位置時，點I2 2 -cos DAI cos30所經(jīng)過的路徑是以 。為圓心，OI為半徑的圓周，.當(dāng)它第n次回到起始位置時，點I所經(jīng) 過的路徑長為門

18、？2兀？氏=2石門兀.故答案為2百n8點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，萊洛三角形的周長，矩形，扇形面積公式，解(1)的關(guān)鍵是求出 AC的弧長，解(2)的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊4DEF掃過的圖形，解(3)的關(guān)鍵是得出點I第一次回到起點時，I的路徑，是一道中等難度的 題目.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A (2, 0),點B (0,人1出)，點O (0, 0) . 4AOB繞 著O順時針旋轉(zhuǎn)，得 AOB,點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 A, B,記旋轉(zhuǎn)角為 a.圖1國？(I )如圖1, AB恰好經(jīng)過點A時，求此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并求出點 B的坐標(biāo)；(II )如圖2,若0v a90,設(shè)

19、直線 AA和直線BB交于點P,求證：AAUBB；(出)若0V a2),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi) 作等邊 BCD),直線DA交y軸于E點.(1)求證：OB8 4ABD(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變,請求出直線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作圓，圓心為點 F,當(dāng)C點運動到何處時，直線 EF/直線BO;這時 O F和直線BO的位置關(guān)系如何？請給予說明.【答案】(1)見解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y3Xx2乳；(3) C點運動到(4,0)處時，直線EF/直線BO；此時直線BO與。F相切，理由見解析. 【解析】【分析】(4) 由

20、等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB, BC=BD, / OBA=/ DBC,等號兩邊都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據(jù)“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,由等邊 ABCD,得至U / BAO=60 ,根據(jù)平角定義及對頂角相等得到 /OAE=60 ；在直角三角形 OAE中，由OA的長，根據(jù)tan60的定義求出 OE的長，確定出 點E的坐標(biāo)，設(shè)出直線 AE的方程，把點 A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根據(jù)過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又

21、F為BC的中點，得到 A為OC中點，由A的坐標(biāo)即可 求出C的坐標(biāo)；相切理由是由 F為等邊三角形 BC邊的中點，根據(jù) 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形, .OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=60 , / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB AB OBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC

22、=60 ；/ OAE=60 ；又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 =OE, OA則 OE=2、,3 ,點E坐標(biāo)為(0, -2),設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得:0 2kb273 b 解得,k .3b273 直線AE的解析式為：y 向x 273.（3） C點運動到（4,0）處時，直線EF/直線BO;此時直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點F為DE與BC的交點，又F為BC中點， .A 為 OC 中點，又 AO=2,貝U OC=4 當(dāng)C的坐標(biāo)為（4, 0）時，EF/ OB,這

23、時直線BO與。F相切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，.-.DF BC,又 EF/ OB, FBXOB,，直線BO與。F相切,【點睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān) 系.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵 .13.如圖，在 4ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。與邊BC交于點D, D已 AC,垂足為E,交AB的延長線于點F.求證：EF是。的切線；(2)若/C= 60 , AC= 12,求？D 的長.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的長./ E C【答案】 見解析；(2) 2/.【解析】分析：(1)連接OD,根據(jù)等腰三

24、角形的性質(zhì)：等邊對等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,從而得到ZC=Z ODB,根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得到OD/AC,從而得證ODL EF,即EF是。的切線；1(2)根據(jù)中點的性質(zhì)，由 AB=AC=12,求得OB=OD=3AB=6,進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的判定得到OBD是等邊三角形，即 ZBOD=600,從而根據(jù)弧長公式七屆即可；(3)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由在R9DEC中，tanC 匹 2設(shè)CE=x,UCE一一. 一AE 一 .一 一.DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的長，然后根據(jù)相似三DE角形的判定與性質(zhì)求解即可 .詳解：(1

25、)連接 OD AB=AC . / ABC玄 C. OD=OB . . / ABC=/ ODB./C=/ ODBOD/ AC又DE，AC OD DE,即 OD，EF.EF是。O的切線(2) AB=AC=12 OB=OD=1 AB =62由(1)得：/ C=/ ODB=600 OBD是等邊三角形/ BOD=600A E Cc 606Bd = 2 即Bd的長2180(3)連接 AD -. DEXAC Z DEC=/ DEA=9C0在 RtDEC中，tanC DE 2 設(shè) CE=xB DE=2x CE AB 是直徑/ ADB=Z ADC=900 / ADE+/ CDE=90)在 RtA DEC中，/

26、C+Z CDE=9(AE 一/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8,DE=4 則 CE=2 .AC=AE+CE=10直徑 AB=AC=10 貝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOFODBF 5 5 即：-AFAEBF 10 8解得：BF= 即BF的長為 .33點睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形以及 相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.14.如圖，在RtABC中,/ACB=60,。O是ABC的外接圓，BC是。O的直徑，過點B作。O 的切線BD,與CA

27、的延長線交于點 D,與半徑AO的延長線交于點 E過點A作。O的切線AF, 與直徑BC的延長線交于點F.(1)連接EF,求證:EF是。O的切線；(2)在圓上是否存在一點 P,使點P與點A,B,F構(gòu)成一個菱形？若存在，請說明理由.D【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析【解析】【分析】(1)過O作OMLEF于M,根據(jù)SAS證明4OA國OBE,從而得到OE=OF再證明EO平分 /BEF,從而得到結(jié)論；(2)存在，先證明 4OAC為等邊三角形，從而得出 /OAC=/AOC=60再得到AB=AF,再證 明ab=af=fp=bp從而得至IJ結(jié)論.【詳解】證明：如圖，過O作OMLEF于M,. OA=O

28、B,/ OAF=Z OBE=90 ；/ BOE=Z AOF, .-.OAFAOB.-.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;:/ OEM=Z OFM=30 :/ OEB=Z OEM=30 :即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90,：OM=OB,：EF為。O的切線.(2)存在.BC為。O的直徑，:/ BAC=90 ;/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60,OA=OC: OAC為等邊三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ;.AF為。O的切線,:/ OAF=90 :/ CAF=/ AFC=30 ；:/ ABC=/ AFC：AB=AF.當(dāng)點P在(1)中的點M

29、位置時，此時/OPF=90,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF為公共邊,.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=/ AFC=30 :II又-Z FOP=Z OBP=/ OPB=30,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四邊形AFPB是菱形.【點睛】考查了切線的判定定理和菱形的判定，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂 直即可.15.我們知道，如圖1, AB是。的弦，點F是AFB的中點，過點F作EF AB于點E, 易得點E是AB的中點，即 AE= EB. OO上一點C (AC BC),則折

30、線 ACB稱為。的一 條折弦”.(1)當(dāng)點C在弦AB的上方時(如圖 2),過點F作EFAC于點E,求證：點E是 折弦 ACB的中點，即 AE= EC+CB(2)當(dāng)點C在弦AB的下方時(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、EG CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.(3)如圖4,已知 RtA ABC中，/C= 90, Z BAC= 30, RtABC的外接圓。的半徑為2,過。上一點 P作PH, AC于點H,交AB于點 M,當(dāng)/ PAB= 45時，求 AH的長.圖1圖2C圖3及4【答案】(1)見解析；(2)結(jié)論AE= EC+C環(huán)成立，新結(jié)論為：C曰BC+AE見解析；(3) AH的長為出T或邪+1 .【解析】【分析】(1)在AC上截取 AG= BC,連接FA, FG, FB, FC,證明FA8 4FBC,根據(jù)全等三角形 的性質(zhì)得到FG= FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG= EC,即可證明.(2)在CA上截取CG= CB,連接FA, FB, FC,證明FC84FCB,根據(jù)全等三角形的性 質(zhì)得到FG= FB,得到FA= FG,根據(jù)等腰三