立體幾何中的向量方法第七課時(shí)學(xué)習(xí)教案

1、立體幾何中的向量立體幾何中的向量(xingling)方法第七課方法第七課時(shí)時(shí)第一頁，共17頁。空間空間(kngjin)“距離距離”問題問題1. 空間空間(kngjin)兩點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可將兩點(diǎn)距離問題，可將兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題2aa222zyxa),(zyxa第1頁/共17頁第二頁，共17頁。 例例1：如圖：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都

2、是點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個(gè)，那么以這個(gè)(zh ge)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解解:如圖如圖1,不妨不妨(bfng)設(shè)設(shè)11 ABAAAD，1160BAADAA 化為向量化為向量(xingling)問題問題依據(jù)向量的加法法則依據(jù)向量的加法法則，11ACABADAA 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 1112(cos60cos60cos60 ) 6 所以所以1|6AC 回到圖形問題回到圖

3、形問題這個(gè)晶體的對角線這個(gè)晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍倍。1AC6BAD第2頁/共17頁第三頁，共17頁。思考思考(sko)(sko)：（1）本題）本題(bnt)中四棱柱的對角線中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？的長與棱長有什么關(guān)系？ （2 2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長都相等，并且以）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于(dngy) , (dngy) , 那么有這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎那么有這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? ?aA1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 12

4、0 11BCBABBABC，其中其中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABmAC，設(shè)11 AAADABAC 則由則由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3 ( 23 222xxm即mxcos631 這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長。這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長。第3頁/共17頁第四頁，共17頁。A1B1C1D1ABCDH 分析：面面距離分析：面面距離(jl)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離(jl)來求來求. 11HACHAA于于點(diǎn)點(diǎn)平平面面點(diǎn)點(diǎn)作作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個(gè)個(gè)面面之之間間則則HA11

5、1 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離所求的距離(jl)是是6 .3 思考思考(3)(3)本題的晶體中相對的兩個(gè)平面本題的晶體中相對的兩個(gè)平面(pngmin)(pngmin)之間的距離是多少之間的距離是多少? ? 如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離?第4頁/共17頁第五頁，共17頁。 n A P O 2、向量法

6、求點(diǎn)到平面、向量法求點(diǎn)到平面(pngmin)的距離：的距離：|A P|ndn 第5頁/共17頁第六頁，共17頁。例例 2:2: 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點(diǎn)求點(diǎn) B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. DABCGFExyz第6頁/共17頁第七頁，共17頁。DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: :

7、如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點(diǎn)求點(diǎn) B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. 第7頁/共17頁第八頁，共17頁。1答案答案(d n)2答答案案(d n)APDCBMN2.(2.(課本第課本第107107頁練習(xí)頁練習(xí)2)2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線(zhxin)AC(zhxin)AC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，

8、ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 第8頁/共17頁第九頁，共17頁。1.1.如圖如圖, ,ABCD是矩形是矩形, ,PD 平面平面ABCD, ,PDDCa, ,2ADa , , 、MN分別是分別是、ADPB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求點(diǎn)求點(diǎn)A到平面到平面MNC的距離的距離. . APDCBMNzxy解：如圖解：如圖, ,以以D D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D Dxyzxyz 則則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0

9、,0, )2aa2aaa第9頁/共17頁第十頁，共17頁。 2. 2.如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)(lin )(lin )半平面內(nèi)，且都半平面內(nèi)，且都垂直垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 第10頁/共17頁第十一頁，共17頁。 3如圖 3-5，已知兩條異面直線所成的角為， 在直線 a、b 上分別取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂線 A A的長 d. EFEAA AAF 解：22

10、()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 當(dāng)當(dāng)E,FE,F在公垂線同一側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)在公垂線同一側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)當(dāng)當(dāng)d d等于等于(dngy)0(dngy)0是即為是即為“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 第11頁/共17頁第十二頁，共17頁。 n A P O 2、向量、向量(xingling)法求點(diǎn)到平法求點(diǎn)到平面的距離：面的距離：|A P|ndn 第12頁/共17頁第十三頁，共17頁。3. 異面直線異面直線(zhxin)間的距間的

11、距離離 P、A分別是 上任一點(diǎn)，則 間的距離可轉(zhuǎn)化為向量 在n上的射影長，故設(shè) 為兩異面直線，其公共法向量為 n,21, ll21,ll21,llAP A A P Pn nd dn nn1l2l1lPA第13頁/共17頁第十四頁，共17頁。例例3第14頁/共17頁第十五頁，共17頁。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC100n CEn AB 即即02240 xyxyz取x=1,z則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點(diǎn)1|2 3.|3n CACEABdn 與與的的距距離離EA1B1第15頁/共17頁第十六頁，共17頁。 1、E為平面為平面外一點(diǎn)外