章數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限PPT課件

1、一、惟一一、惟一性性定理 2.2 若na收斂, 則它只有一個(gè)極限.證 設(shè).的的一一個(gè)個(gè)極極限限是是naa下面證明對(duì)于任何定數(shù).,的極限的極限不能是不能是nabab 若 a，b 都是 an 的極限，則對(duì)于任何正數(shù) 0,有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 22,NnN 有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11,NnN )1(;| aan第1頁(yè)/共28頁(yè).ba 是是任任意意的的，所所以以因因?yàn)闉?當(dāng) n N 時(shí) (1), (2)同時(shí)成立,max21NNN 令令從而有)2(.| ban.2| baaabann第2頁(yè)/共28頁(yè)二、有界性二、有界性即存在0,|,1, 2,.nMaM n使使得得證lim,nnaa 設(shè)設(shè)對(duì)于正數(shù)1,N nN 時(shí)

2、時(shí), ,有有|1,naa11.naaa即即若令12max |,|,|,|1|,|1| ,nMaaaaa則對(duì)一切正整數(shù) n , 都有|.naM 定理 2.3 若數(shù)列，為為有有界界數(shù)數(shù)列列則則收收斂斂,nnaa第3頁(yè)/共28頁(yè)件.注 數(shù)列)1(n 是有界的, 但卻不收斂.這就說(shuō)明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條第4頁(yè)/共28頁(yè)三、保號(hào)性三、保號(hào)性定理 2.4lim,nnaa 設(shè)設(shè)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù) b, c , 證min,0,ab caNnN 取取當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)注),0(0 aa或或若若我們可取(),22aabc或或0 (0).22nnaaaa則則或或這也是為什么稱該定理為保號(hào)性定理的原因.nba

3、c故故,nbaaac , 則存在 N, 當(dāng) n N 時(shí),. cabn bac第5頁(yè)/共28頁(yè)例1 證明.0!1limnnn證 對(duì)任意正數(shù) ,(1)lim0 ,!nnn 因因?yàn)闉樗杂?11,!nn 1.!nn 即即這就證明了. 0!1limnnn0,NnN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)定理 2.4,第6頁(yè)/共28頁(yè)四、保不等式性四、保不等式性定理 2.5,nnab設(shè)設(shè)均為收斂數(shù)列, 如果存在正00,nnNnNab數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有l(wèi)imlim.nnnnab 則則證lim, lim.nnnnaabb設(shè)設(shè),2abba 若若取取,22babaaan,22bababbn,nnab 故故導(dǎo)導(dǎo)致致矛矛盾盾. .所以.ab 0,

4、NNnN由由保保號(hào)號(hào)性性定定理理 存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)第7頁(yè)/共28頁(yè)是嚴(yán)格不等式.注 若將定理 2.5 中的條件 改為,nnab nnba 這就是說(shuō), 即使條件是嚴(yán)格不等式, 結(jié)論卻不一定也只能得到limlim.nnnnab 例如 , 雖然12, nn 但但12limlim0 .nnnn第8頁(yè)/共28頁(yè)五、迫斂性五、迫斂性 ( (夾逼原理夾逼原理) )定理 2.6 設(shè)數(shù)列,nnba都以 a 為極限,nc數(shù)列數(shù)列.limaccnnn 且且收斂，收斂，證 對(duì)任意正數(shù) nnnnaba,limlim,因?yàn)橐驗(yàn)?所以分,121時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)別存在別存在NnNN ;naa 2.nnNba 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),ma

5、x2, 1, 0NNNN 取取. abcaaNnnnn時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)這就證得滿足: 存在,00nnnbcaNnN 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則第9頁(yè)/共28頁(yè)例2 求數(shù)列nn的極限. ,22)1()1(2 nhnnhnnnn,1121lim1lim nnn所以由迫斂性，求得.1lim nnn.limacnn.12111 nhnnn故故又因解10,nnhn設(shè)則設(shè)則有第10頁(yè)/共28頁(yè)六、四則運(yùn)算法則六、四則運(yùn)算法則定理2.7為為收收斂斂數(shù)數(shù)列列，與與若若nnba,nnba 則(1) limlimlim;nnnnnnnabab(2) ,limlimlimnnnnnnnbaba 當(dāng)nb為常數(shù) c 時(shí),;limlim

6、nnnnbcbc (3),0lim, 0 nnnbb若若也收斂，且也收斂，且則則 nnba.limlimlimnnnnnnnbaba 也都是收斂數(shù)列, 且有, nnnnbaba 第11頁(yè)/共28頁(yè),nN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)|, |,nnaabb有有所以,2| bbaababannnn 由由的任意性, 得到 .limlimlimnnnnnnnbababa 證明 (2),收斂收斂因因nb,有界有界故故nb.|Mbn 設(shè)設(shè)對(duì)于任意0,nN 當(dāng)時(shí) 有當(dāng)時(shí) 有|, |1| 1nnaabbMa，證明 (1)lim, lim,nnnnaabb設(shè)設(shè)0,N 存存在在第12頁(yè)/共28頁(yè),2| | | bbaaabnnn 由

7、由的任意性, 證得 .limlimlimnnnnnnnbababa 證明 (3),1nnnnbaba 因?yàn)橐驗(yàn)橛?2), 只要證明.lim11limnnnnbb , 0 b由于由于據(jù)保號(hào)性, ,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NnN |abababbaabbannnnnn 于是第13頁(yè)/共28頁(yè)| |.2nbb 又因?yàn)?2lim,nnbbNnN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)取取NnNNN ,max212112nnnnbbbbbbb bb ，即11lim.nnbb limlim.limnnnnnnnaabb 所所以以,22 bbbn 第14頁(yè)/共28頁(yè)七、一些例子七、一些例子例3 用四則運(yùn)算法則計(jì)算11101110lim,m

8、mmmkknkka nana nab nbnb nb ,0.m kmka b其其中中(1) 當(dāng) m=k 時(shí), 有 1lim00 ,nn 依依據(jù)據(jù)分別得出:解第15頁(yè)/共28頁(yè)mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111 .mmba11101110limmmmmkknkka nana nab nbnb nb (2) 當(dāng) m N 時(shí), 有3,22naaa即即3.22nnnnaaa又因?yàn)?limlim1,22nnnnaa所以由極限的迫lim1.nnna 斂性, 證得第19頁(yè)/共28頁(yè)例6 lim(1).1nnnaaa 求求極極限限解(1) |1 ,a lim0,n

9、na 因因?yàn)闉樗杂蓸O限四則運(yùn)算法則, 得limlim0.11limnnnnnnnaaaa(2)1,a 11limlim.221nnnnaa (3) |1,a lim(1)0,nna 因因故得1limlim111nnnnnaaa 11.1lim(1)nna 第20頁(yè)/共28頁(yè)例7 12,maaa設(shè)設(shè)為 m 個(gè)正數(shù), 證明1212limmax,.nnnnmmnaaaaaa12,nnnnnmaaaam a證12max,.maaaa 設(shè)設(shè)由limlim,nnnmaaa以及極限的迫斂性, 可得1212limmax,.nnnnmmnaaaaaaa第21頁(yè)/共28頁(yè)定義1+,N,nkan設(shè)設(shè)為為數(shù)數(shù)列列為

10、為的的無(wú)無(wú)限限子子集集 且且12,knnn則則數(shù)數(shù)列列12,knnnaaa,.knnaa稱稱為為的的子子列列 簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為注,knnnaaa由由定定義義的的子子列列的的各各項(xiàng)項(xiàng)均均選選自自knnaa且且保保持持這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在中中的的先先后后次次序序. .中中的的第第,.nkkkannk項(xiàng)項(xiàng)是是中中的的第第項(xiàng)項(xiàng) 故故總總有有第22頁(yè)/共28頁(yè)定理 2.8,nnaaa若若數(shù)數(shù)列列收收斂斂到到則則的的任任意意子子列列.knaa也也收收斂斂到到證lim.0,.nnnaaNnN aa設(shè)設(shè)則則當(dāng)當(dāng) .,knnkaank設(shè)設(shè)是是的的任任意意一一個(gè)個(gè)子子列列 由由于于因因此此,.kknkNnkNaa 時(shí)時(shí)亦

11、亦有有這這就就證證明明了了lim.knkaa 注2.8由由定定理理可可知知, ,若若一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列的的兩兩個(gè)個(gè)子子列列收收斂斂于于不不同同的的值值, ,則則此此數(shù)數(shù)列列必必發(fā)發(fā)散散. .第23頁(yè)/共28頁(yè)例8 limnnaa求求證證的的充充要要條條件件是是.limlim212aaannnn證 (必要性)lim0,nnaaN nN 設(shè)設(shè)， 則則時(shí)時(shí).| aan所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?12 ,2NnNn， |1-2aan.|2 aan212()limlim,0,kkkkaaaN 充充分分性性 設(shè)設(shè)則則kN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，第24頁(yè)/共28頁(yè)12k-|aa | ，2k|aa |. 2,NKnN令令當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,則則有有|,naa lim.nnaa 所所以以第25頁(yè)/共28頁(yè)例91( 1) (1).nnnaan若若= =證證明明數(shù)數(shù)列列發(fā)