對稱性與周期性的關(guān)系

1、函數(shù)對稱性與周期性的聯(lián)系函數(shù)對稱性與周期性的聯(lián)系高三數(shù)學(xué)組高三數(shù)學(xué)組 張文根張文根很多同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)問題時，經(jīng)常會感覺很多同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)問題時，經(jīng)常會感覺函數(shù)的性質(zhì)不夠解題。而問題的實(shí)質(zhì)是我們沒發(fā)函數(shù)的性質(zhì)不夠解題。而問題的實(shí)質(zhì)是我們沒發(fā)現(xiàn)函數(shù)的隱含性質(zhì)。現(xiàn)函數(shù)的隱含性質(zhì)。如：一個函數(shù)如果具備兩種對稱性，如：一個函數(shù)如果具備兩種對稱性，則這個函數(shù)一定是一個周期函數(shù)則這個函數(shù)一定是一個周期函數(shù)例：已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a和x=b軸對稱(ab)，求函數(shù)f(x)的周期。兩對稱軸型兩對稱軸型由題意知：f(a-x)=f(a+x) (1) f(b-x)=f(b+x) (2)在（1）式中

2、令x=x+a得f(-x)=f(2a+x) (3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x) (4)由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)所以f(x)的周期為T=2b-2a.例：已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a,0)和(b,0)對稱(ab)，求函數(shù)f(x)的周期。兩對稱中心型兩對稱中心型由題意知：f(a-x)=-f(a+x) (1) f(b-x)=-f(b+x) (2)在（1）式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x) (3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x) (4)由（3）、（4）知：-f(2a

3、+x)=-f(2b+x)再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)所以f(x)的周期為T=2b-2a.例：已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a和(b,0)對稱(ab)，求函數(shù)f(x)的周期。一對稱軸一對稱中心型一對稱軸一對稱中心型由題意知：f(a-x)=f(a+x) (1) f(b-x)=-f(b+x) (2)在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x) (3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x) (4)由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得：f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x)所以f(x)的周期為T=4b-4a.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道函數(shù)的對稱性和周期性間的通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道函數(shù)的對稱性和周期性間的關(guān)系了嗎？關(guān)系了嗎？一個函數(shù)如果具備兩種對稱性，則這個函數(shù)一定是一個函數(shù)如果具備兩種對稱性，則這個函數(shù)一定是一個周期函數(shù)。一個周期函數(shù)。1、函數(shù)、函數(shù)f(x)圖象關(guān)于圖象關(guān)于x=a和和x=b對稱對稱(ab),則則f(x)的的周期為周期為2(b-a)2、函數(shù)、函數(shù)f(x)圖象關(guān)于圖象關(guān)于(a,0)和和(b,0)對稱對稱(ab),則則f(x)的周期為的周期為2(