對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

1、?底數(shù)?對(duì)數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 1, 0aaa的的b次冪等于次冪等于N, 就是就是 Nab，那么數(shù)，那么數(shù) b叫做叫做以以a為底為底 N的的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)，記作，記作 bNaloga叫做對(duì)數(shù)的叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)底數(shù)，N叫做叫做真數(shù)真數(shù)。定義定義：有關(guān)性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)： 負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)（負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)（在指數(shù)式中在指數(shù)式中 N 0 ） , 01loga1logaa對(duì)數(shù)恒等式對(duì)數(shù)恒等式NaNalogbabalog常用對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)： 我們通常將以我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)。 為了簡(jiǎn)便為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)的常用對(duì)數(shù)

2、 N10log簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作lgN。 自然對(duì)數(shù)：自然對(duì)數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)。為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)。 為了簡(jiǎn)便，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)的自然對(duì)數(shù) Nelog簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作lnN。 （6）底數(shù)）底數(shù)a的取值范圍：的取值范圍： ), 1 () 1 , 0(真數(shù)真數(shù)N的取值范圍的取值范圍 :), 0( )()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：)()()(3

3、R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa為了證明以上公式，請(qǐng)回顧一下為了證明以上公式，請(qǐng)回顧一下指數(shù)運(yùn)算法則指數(shù)運(yùn)算法則 ：證明：證明：設(shè)設(shè) ,logpMa,logqNa由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即證得即證得 ?底數(shù)?對(duì)數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa證明：證明：設(shè)設(shè) ,logpMa,logqNa由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即證得

4、即證得 ?底數(shù)?對(duì)數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=NNM)(2NlogMlogNMlogaaa證明：證明：設(shè)設(shè) ,logpMa由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得即證得 ?底數(shù)?對(duì)數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMlogana上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對(duì)數(shù)上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式。然后再根據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式

5、。)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá)：簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)積的對(duì)數(shù) = 對(duì)數(shù)的和對(duì)數(shù)的和”有時(shí)逆向運(yùn)用公式有時(shí)逆向運(yùn)用公式 真數(shù)的取值范圍必須是真數(shù)的取值范圍必須是 ), 0( 對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log例例1 計(jì)算計(jì)算（1） )42(log752（2） （3） 7log 23log27+lg25+lg4+7662log 3+log 4（1） 18lg7lg37lg214lg例例2 2

6、計(jì)算：計(jì)算： 解法一：解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二：解法二： 其他重要公式其他重要公式1:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca這個(gè)公式叫做這個(gè)公式叫做換底公式換底公式證明：證明：設(shè)設(shè) 由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paN 即證得即證得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNcc

7、alogloglog其他重要公式其他重要公式2:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba其他重要公式其他重要公式3:NmnNanamloglog例例1 計(jì)算計(jì)算（1） （2） 27log9（3） 272log2log98log7log3log732（4） （5） 483log 3+log 3 log 24839log 3+log 3log 2+log 2例例2 2 已知已知 ， ，求，求 的值的值. .18log 9a36log45185ba+b2-a積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1Nlog