小學(xué)奧數(shù)25完全平方數(shù)

1、2.7完全平方數(shù)2.7.1 相關(guān)概念完全平方即用一個整數(shù)乘以自己例如1*1, 2*2,3*3等等，依此類推。若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)。完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)。2.7.2 性質(zhì)推論例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529 觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：性質(zhì)1 :末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。此為完全平方數(shù)的必要不充分條件，且定義為“一個數(shù)如果是另一

2、個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)”，0為整數(shù)，故0是完全平方數(shù)性質(zhì)2:奇數(shù)的平方的個位數(shù)字一定是奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)；偶數(shù)的平方的個位數(shù)字一定是偶數(shù)。證明奇數(shù)必為下列五種形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分別平方后，得(10a+1) 2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3) 2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5) 2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7) 2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9) 2=100a2+180a+81=

3、20 (5a+9a+4)+1綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9;十位數(shù)字為偶數(shù)。性質(zhì)3:如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6;反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明 已知m2=10k+6 ,證明k為奇數(shù)。因為k的個位數(shù)為6,所以m的個位數(shù)為4或6, 于是可設(shè) m=10n+4或10n+6。則 10k+6=(10n+4) 2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6) 2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3k為奇數(shù)。推論1:如果一個

4、數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6,那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2:如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6,則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性質(zhì)4: (1)凡個位數(shù)字是 5,但末兩位數(shù)字不是 25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；(2)末尾只有奇數(shù)個“ 0”的自然數(shù)(不包括 0本身)不是完全平方數(shù)；100, 10000, 1000000是完全平方數(shù)，10, 1000, 100000等則不是完全平方數(shù)。(3)個位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。需要說明的是：個位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)一定不是完全平方數(shù)，如：11, 31, 51, 74, 99, 211, 454

5、, 879等一定不是完全平方數(shù)一定不是完全平方數(shù)。但個位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為偶數(shù)的自然數(shù)不都是完全平方數(shù)。如：21, 44, 89不是完全平方數(shù)，但 49, 64, 81是完全平方數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是 4的倍數(shù)加1。這是因為(2k+1) 2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1(2k) 2=4k2性質(zhì)6:奇數(shù)的平方是 8n+1型；偶數(shù)的平方為 8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。性質(zhì)7:完全平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。因為自然數(shù)

6、被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1,3m+2。平方后，分另U得(3m)2=9m2=3k(3m+1)2=9+6m+1=3k+1(3m+2)2=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性質(zhì)8:不能被5整除的數(shù)的平方為 5k ±1型，能被5整除的數(shù)為5k型。性質(zhì)9:平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9 。除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為 2+5+6=13 , 13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位 數(shù)字相加：1+3=4, 4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們

7、提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題：一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。下面以四位數(shù)為例來說明這個命題。設(shè)四位數(shù)為，則1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。對于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：性質(zhì)10：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明 因為一個整數(shù)被 9除只能是9k,9k ± 1,9卜±

8、2,9卜±3,9卜±4這幾種形式，而(9k)2=9(9k2)+0(9k ± 1)2=9(9k2±2k)+1(9k±2)2=9(9k2±4k)+4(9k±3)2=9(9k2±6k)+9(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7性質(zhì)11： a2b為完全平方數(shù)的充分必要條件是b為完全平方數(shù)。性質(zhì)12：如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但p的平方不能整除 a,則a不是完全平方數(shù)。證明 由題設(shè)可知，a有質(zhì)因數(shù)p,但無因數(shù)，可知 a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，p的次方為1, 而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù)，可見a

9、不是完全平方數(shù)。性質(zhì)13:在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)。即若n2 < k2 < (n+1)2 ,則k 一定不是整數(shù)。性質(zhì)14： 一個正整數(shù) n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個因數(shù)(包括 1和n本身)。2.7.3 重要結(jié)論1、個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2、個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3、個位數(shù)是6,十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4、形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5、形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6、形如5n ±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7、形如8n+2,8n+

10、3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；8、數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。9、四平方和定理：每個正整數(shù)均可表示為4個整數(shù)的平方和10、完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)一定是奇數(shù)。2.7.4 典型例題例1 一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解：設(shè)此自然數(shù)為 x,依題意可得x-45=m2 (1)x+44=n2 (m,n為自然數(shù))-可得:nA2-mA2=89因為 n+m>n-m又因為89為質(zhì)數(shù)，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45o代入得。故所求的自然數(shù)是1981。例2求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等于一個奇數(shù)的平方(1954年基

11、輔數(shù)學(xué)競賽題)。解：設(shè)四個連續(xù)整數(shù)分別為n-1、n、n+1、n+2.這時，(n-1)n(n+1)(n+2)+1= 易知該式可被分解為兩個二次因式的乘積，設(shè)為 得 ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1 ,解得 a=d=e=b=1,c=f=-1故可被分解為，因為n與n+1是連續(xù)兩個整數(shù)，故n(n+1)為偶數(shù)，所以n(n+1)-1為奇數(shù)，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1 為一個奇數(shù)的平方。例3求證：11,111,1111, 11111這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)。(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題。解：易知該串?dāng)?shù)中若存在完全平方數(shù)，則為末尾是1或9的數(shù)的平方。當(dāng)該串?dāng)?shù)

12、中存在末尾為 1的數(shù)的平方時，則 ，其中n、k為正整數(shù)。但，易知n2需滿足十位數(shù)為偶數(shù)，矛盾。解2：完全平方數(shù)除以四余數(shù)為0或1,而根據(jù)除以四余數(shù)性質(zhì)(一個數(shù)除以四的余數(shù)=這個數(shù)末兩位除以四的余數(shù))可得，這串?dāng)?shù)除以四余數(shù)為3,矛盾，所以這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)。例4用300個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？解：設(shè)由300個2和若干個0組成的數(shù)為A,則其數(shù)字和為6003|60031A此數(shù)有3的因數(shù)，故9|Ao但9|600, .矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。例5試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。解：設(shè)該四位數(shù)為

13、 1000a+100a+10b+b,則1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11 (100a+b)故100a+b必須被11整除=>a+b被11整除，又因為(a+b)w18所以 a+b=11,帶入上式得 四位數(shù)=11 x (ax 100+ (11-a) ) =11 x (ax 99+11) =11X11X ( 9a+1)故9a+1必須為完全平方數(shù)。由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73。所以只有a=7 一個解；此時b=4。因此四位數(shù)是 7744=112X 82=88X 88。例6求滿足下列條件的所有自然數(shù)：它是四位

14、數(shù)。被22除余數(shù)為5。它是完全平方數(shù)。解：設(shè)，其中n,N為自然數(shù)，可知 N為奇數(shù)。11|N - 5 或 11|N + 6或n = 1不合n = 21369n = 3 3481 2601n = 4 6561 5329n = 59025所以止匕自然數(shù)為 1369,2601,3481,5329,6561,9025。例7矩形四邊的長度都是小于10的整數(shù)(單位：公分)， 這四個長度數(shù)可構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個完全平方數(shù)，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學(xué)競賽題)。解：設(shè)千位與百位的數(shù)字為A,十位與個位數(shù)字為B則該四位數(shù)為：1000A+100A+10B

15、+B=11*(100A+B) 且為完全平方數(shù)所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因為 A+BW18故 A+B=11易知100A+B除以11后得數(shù)為完全平方數(shù)，且各個數(shù)位之和為10驗證得該數(shù)64所以A=7,B=4 ,則四位數(shù)是7744例8求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。(1986年第27屆IMO試題)設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13,求證在集合2,5,13,d中可以找到兩個不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方數(shù)。解：顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64 都為完全平方數(shù)假設(shè)2d-1為完全平方數(shù)，注意到d為正整數(shù),2d-1為奇數(shù)不妨設(shè)2d-1=(2n-142得d=2nA2-2n+1此時5d-1=10nA2-10n+4不是完全平方數(shù)同理假設(shè)5d-1 13d-1為完全平方數(shù)可以分d為奇偶去證明.例9求k的最大值，使2010可以表示為k個連續(xù)正整數(shù)之和。解：假設(shè)這k個數(shù)為a,a+1,a+2,a+(k-1)它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010k