2018年高考二項(xiàng)式定理十大典型問題及例題

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義1 .二項(xiàng)式定理:(a+b)n =C0an +cnan/bTH+cnaUbr +|+C：bn(nE N)2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C nr (r =0,1,2, n).項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r +1項(xiàng)C：anb叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用 工書=C：anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 (n+1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a+b)n與(b + a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減

2、到n,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 C0 c1 c2Cr ,C；項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)n , n, n , , n, n一(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：令 a =1,b = x, (1 十x)n =C：+C：x+C：x2 +|+ C；xr +|11+Cnnxn(n w N*)令 a =1,b = _x, (1-x)n =C0 C：x+C；x2 IH+C；xr +HI+ (-1)nCnxn(n= N*)5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 =C； , C： =Cnk，二項(xiàng)式系數(shù)和：令

3、a =b =1，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 C： +cn +C；卅H + C： +111 +Cn =2n ,變形式 cn +C：+IH+C： +III + C： =2n 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a=1,b = _1,則 C0C：+C；C；+IH+(1)nCnn = (1 1)n = 0,從而得到,C0 C2 C4 C2r = C1 C3 C2r 1=1 2n = 2n/y k 111 j itt 人v-/ nn nn n、*nn nn nI”n nj j2奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：n 0n01n。2 n _2 2n0n12n(ax)=Cna xCna

4、xCna xmCna x= a。axa?x|anxnOOn1nle22n 2n n 0n21(xa)=Cna xCnax -Cnax -mCna x= anx |a2xa1x a0令x =1,貝1Ja0 +a1 +a2 +a3| +an =(a +1)n令x = _1，則 a0 -a1 +a2 -a3 +用 +an = (a -1)n 十得，a0 + a2+a4 1H +an =（奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 ）2一得，a1 +a3 +a5| +an =" 2 一”（偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 ）n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2取得最大值。nn51如果二項(xiàng)式的哥指

5、數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C活，C；2同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求（a+bx）n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別、，一 .Ar 1 - Ar為A, 4,An書，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有 十 ，從而解出r來。Ar 1 - Ar 2題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C1+C； 6+C3 62 +l|+Cn16r'=.解：(1+6)n =C； +C： 6+C： 62 +C3 63 +| + Cn16n與已知的有一些差距，1232n nd 1122nn、 CnCn6 Cn 6HI Cn6 (Cn6 Cn6|l| Cn 6 )6C； 6 C； 62 IH

6、 Cn 6n -1) = ：(1 6)n-1= 1(7n-1)666練：C： , 3C2 , 9C3 IH , 3nCn =.解：設(shè) Sn =Q1 +3C； +9C； +III+3n_1C：,則3Sn =%+第32 +C333 +IH +C：3n =C； +C：3 + C；32 +C；33 + 川+C：3n -1 = (1 + 3)n -1_(1 3)n -1 _4n -1Sn _一33題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式(J1 + 3/x2)n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知C：2=45,即C： =45,n2 n90 = 0,解得n = 9(舍

7、去)或n = 10 ,由勺g=3，解得一,1210- 2Tr+=C1r0(x)10-r(x3)r =C1r0x 3",由題意則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)丁6書=C1f0x3 =210x3,系數(shù)為210 。21 . 9.9練：求(x)展開式中x的系數(shù)？2x解：斗=C；(x2)"(1)=C9x18-r(-1)rx- =C；(2)rx18,r ,令 183r =9,則 r = 3 2x22931 321故x9的系數(shù)為C3(1)3 = 21。 22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);2110例:求一項(xiàng)式(x +)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2 x解:r 2 10 _r1 r r 1 r 20 rTrC

8、10(x)二2"一 58 .1.820 r=0,得 r = 8,所以 T9 = C/)224525671 6練：求一項(xiàng)式(2x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2x解:_r6 _rr . 1 . rr r6_r，1、r6_2rTrLCfQx)JD (甚)=(-1) C62(萬)x ,令 6 2r = 0,得 r =3,所以 T4 =(1)3C； = 20練：若(x2+1)n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=. xT =：C4 (x2 )n-4( 1 )4 =：C4x2nJ2 入 0n 19 - n 徨 n=6 用牛 15 Cn(x ) ( ) Cn x )b 2n I2 0 ,彳寸 n 。.x

9、題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(4"-#x)9展開式中的有理項(xiàng)？1127-27 - r解：工噂=C；(x2)9'(x3)r =(1)rC9rx 6 ，令w Z ,( 0 W r W9)得 r =3 或 r =9,1627 -r所以當(dāng) r =3時(shí)，=4, T4 =(1)3C93x4 = 84x4 ,6當(dāng) r=9 時(shí)，27=3 , T10 =(1)3C；x3 =x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若(，了房)n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為-256,求n.、x解：設(shè)（jx2 _ _L）n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0,a1, .an,

10、3,x2n令 x = -1,則有a0+a1 +an=0,，令 x = 1,則有a0 2 + a2a3 +，.，+ (-1)nan = 2n，將-得：2(a1+a3+ a5+)=-2n，: a1+ a3+a5+, =-2n-1,有題意得，2n=256 =28,n =9。練：若（,1 +，'）”的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024 ,求它的中間項(xiàng)。而漢.* 0 c 0 c2 c 4c 2 rc1 c 32r 1on<,）n -1斛：+ Cn +Cn +Cn 4Cn +=Cn +Cn + +Cn +=2 , . 2 =1024 ,解得 n =11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n=6,n=7

11、, 丁5書=浦（1）6（胃I）5 =462 x”, T6 = 462，x題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知（g+2x）n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：:C：+C； =2C5; n2 21n+98 = 0，解出門=7或門=14,當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是3 1 4 3354134T4和T5，T4的系數(shù)=C3（1）423 = , T5的系數(shù)=C；（1）3 24 =70，當(dāng)n =14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大 T-kJ'* v*/7''/1 r r的項(xiàng)是 T8,二 丁8的系數(shù)=C74（一）7

12、27 =3432 。 82練：在（a +b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n ,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n =Tn書，也就是第n+1項(xiàng)。12x 1 n_練：在（-三）的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？23x解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 n+1 =5,即n=8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C：（；）2 = 7練：寫出在（a-b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4 = -C3a4b3的系數(shù)最小，T5 =

13、C4a3b4系數(shù)最大。1 n練：若展開式前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 ,求（一 +2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？0121121 1212解：由 Cn +Cn +Cn =79，解出 n =12，假設(shè) Tt項(xiàng)最大，；(-+2x) =(-) (1 + 4x)化簡得到9.4 <r <10.4 ,r =10 ,展開式中系數(shù)最A(yù)r 1 -Ar _C；24r.C；24rAr 1 一Ar2 -&4,.C/Zr "大的項(xiàng)為 T11，有 T11K1)12d/10 =16896x10練：在(1+2x)10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?Ar 1 - ArC；0 2r 一丹2Ar.1 -

14、Ar2 =也一或"解：假設(shè)Tr4項(xiàng)最大，T書=C；02r xr IIT 10解得!2(11 r) *，化簡得到 6.3 <k <7.3,又；0Er <10, r 1 _ 2(10 - r)，r =7 ,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 Tg =C17)27 x7 =153 60x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng) ；例：求當(dāng)(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5,T=C；(x2+2)5(3x)，當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)，Tr書的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)T=T2 =C5(x2+2)43x,所以x得一次項(xiàng)為C；C4243x它的系數(shù)為C

15、；C：243 = 240。屈力 2y/ 2 I 5 / I /、5 / 5 0 0 51 45 5、/ 0 0 51 45 5 5、解法：(x 3x 2)=(x1) (x 2)=(C5xC5x-，C5)(C5xC5x2， ，C52 )故展開式中含x的項(xiàng)為C：xC525 +C4x24 =240x,故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(kl+i1；2)3的常數(shù)項(xiàng)?1x1解：(,鳥2)3 =(嗣前6,設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則T.“C6(1)r|x|6"(力r =(1)七打6得6-2r =0, r =3,. T3 1 =(-1)3C； = -20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2x)

16、3(1 x)4展開式中x2的系數(shù).解：7(1 - 2x)3的展開式的通項(xiàng)是Cm (2x)m =om 2mxm,(1x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4 (x)n=C4 -1n 父,其中 m = 0,1,2,3,n = 0,1,2,3,4,令m + n =2MUm = 0J1n =2,m =1且 n =1,m = 2且門=0,因此(1 + 2x)3(1 x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C3 20 C2 (-1)2 +C； 21 C4 ,(1)1 +C>22 C： <-1)0=-6.1練：求(1+囪6(1+')10展開式中的常數(shù)項(xiàng). 、xmn4mjn解：(1+3/x)6(1+510展

17、開式的通項(xiàng)為C6mx3。拉=c6n Co，xF xm=0,_ m=3,_ m = 6,其中m =0,1,2,6, n =0,1,2,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m = 3門,即 < 或/ 或<n=0, n=4, n=8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C100 - C； Cw C6 C；0 =4246.1 c練：已知(1 +x +x )(x +-3)的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng)，nw N且2MnM8Mn=. x解：(x+A)n展開式的通項(xiàng)為cn，xn又攻=cn，xna,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xcn xMrcn xiTc；，xnH攵；展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，2 <n<8:.n =4r且n =

18、4r +1 且n ¥4r +2,即n =4,8且n =3,7且n #2,6,，n = 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x-物2006的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次幕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x = J2時(shí),S =.解：設(shè)(x 歷 2006=% +ax1 +a2x2 +a3x3 + |II+82006x2006 (x _揚(yáng)2006 =一x1 +a2x2 -a3x3 十| 十 a2006x2006 得Zgj+ay+a/5 +W + a2005x2005) = (x-歷 2006 -(x+V2)2006，(x -歷2006展開式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x) =1(x-V2)2006 -(

19、x + C)200623 2006當(dāng) x = MIS(巧=1(石-g) 2006 -(72+72) 2006 =2 -2300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(33/x+1)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp +s=272 ,則n等于多少？解：若(337x +1)n =a0 +ax +a2x2 + + anxn ,有 P =a0 +a1 + an , S =C； +,+Cnn = 2n , x令 x =1 得 P = 4n,又 p +s = 272，即 4n +2n =272= (2n +17)(2n 16) = 0解得 2n =16或2n = 17(舍去)，練:

20、若13& -的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為x64 ,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?14解:令x =1 ,則bjx -晨)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 2n =64 ,所以n = 6 ,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為 x063(3 ：x)3 (一 1)3 - -540 .20091232009a1a2a2009上練:右(12x)=a0+a1x+a?x+a3x+川+a2°09x(x 匚 R),貝 1萬+22+ +於9的值為解:令x =1,可得a0 +a十a(chǎn)!十十222a200922009aa2a2009-=。,22009-1%222在令x =0可得a0 =1,因而:云十十篝=-1.練： 若(x -2)5 =

21、a5x5 +a4x4 +a3x3 +a2x2 +a1x1 +a0,貝Ua1 +a2 +a3 +a4 +a5 =解：令x =0得a。= 一32，令x =1 得a。+a +a2 +% +a4+a5 = -1,.31a2 a3 a4 a5 =31.題型十一：整除性;例：證明：32n蟲-8n 9(nw N*)能被64整除證：32n 2 -8n-9=9n1 -8n-9 = (8 1)n 1 -8n -9= C：+8- +C：+8n + C：；82 +C：+81 +C：； -8n-9= C0+8-+C：+8n +Cn*82 +8(n+1)+18n9 =C0 書8n 書 +C：+8n + C；82由于各項(xiàng)均

22、能被64整除二32n%-8n -9(n = N*)能被64整除1、(x 1)11展開式中1、11設(shè) f(x)=(x-1)x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 偶次項(xiàng)系數(shù)之和是f (1) f(-1) =(-2)11/2 =-10242、0122Cn3Cn3 Cn3ncn2、4n3、(V5 +a)20的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng)*4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)句(2X+1) 5展開式系數(shù)之和，故令 x=1,則所求和為355、求(1+x+x 2)(1-x) 10展開式中x4的系數(shù).5、(1+x+x2)(1 x)10 =(1 x3)(1x)9,

23、要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)c4(-x)4作積，第一個(gè)因式中的一x3與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C；(_x)作積，故x4的系數(shù)是C；+C9=135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展開式中x3的系數(shù).6、(1 +x) +(1 +x)2 +(1 +x)10 = (1 +x)1-(1 +x)10 = (x 力-,原式中 x3實(shí)為這分子中的x4,則所 1 -(1 x)x求系數(shù)為C；1.7、若f (x) = (1+x)m +(1+x)n(m ,nwN)展開式中，x的系數(shù)為21,問m n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最小？2，一、，一 0021 o 3997

24、、由條件得m+n=21,x的項(xiàng)為Cmx+ Cnx，則Cm+Cn = (n) +.因n C N,故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有24最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11時(shí)，x2的系數(shù)最小.8、自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證：1 +2C；+c2 +2Cn +Cn +一 +2C；+C； =3，2n012nd n135n 1 n ndnJ8、原式=(Cn +Cn+Cn+ +Cn+ Cn)+ (Cn + Cn+ Cn+ +Cn) = 2 +2=3.29、求8011被9除的余數(shù)*9、8011 =(811)11 =C1018111 -C1118110 +C111081-1 =81k1(k w Z),.

25、 k C Z, 9k-1 £ Z,8111 被 9 除余 &10、在(x2+3x+2) 5的展開式中，求 x的系數(shù).10、(x2 3x 2)5 =(x 1)5(x 2)5在(x+1) 5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1,含x的項(xiàng)為C5=5x,在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32,含x的項(xiàng)為C524x = 80x，展開式中含x的項(xiàng)為1(80x)+5x(32) =240x ,此展開式中x的系數(shù)為24011、求(2x+1) 12展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)11、設(shè)Tr+1的系數(shù)最大，則 Tr+1的系數(shù)不小于Tr與Tr+2的系數(shù)，即有fc；2 21f C/21* 一 ；C；2 至 2C18；221

26、""；2*121"2C1r2 >C；21-1.1.=3 r-4,r=4 33，展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，T5=16c42x4 =7920x4二項(xiàng)式定理1 .二項(xiàng)式定理:(a+b)n =C0an +cnan/bTH+cnaUbr +|+C：bn(nE N)2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C nr (r =0,1,2, n).項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r +1項(xiàng)C：anb叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用 工書=C：anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開

27、式中總共有 (n+1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a+b)n與(b + a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 C0 c1 c2Cr ,C；項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)n , n, n , , n, n一(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：令 a =1,b = x, (1 十x)n =C：+C：x+C：x2 +|+ C；xr +|11+Cnnxn(n w N*)令 a =1,b = _x, (1-x)n =C0 C：x+C；x2 IH+C；xr

28、 +HI+ (-1)nCnxn(n= N*)5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 =C； , C： =Cnk，二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a =b =1，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 C： +cn +C；卅H + C： +111 +Cn =2n ,變形式 cn +C：+IH+C： +III + C： =2n 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a=1,b = _1,則 C0C：+C；C；+IH+(1)nCnn = (1 1)n = 0,從而得到,C0 C2 C4 C2r = C1 C3 C2r 1=1 2n = 2n/y k 111 j

29、itt 人v-/ nn nn n、*nn nn nI”n nj j2奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：n 0n01n。2 n _2 2n0n12n(ax)=CnaxCnaxCna xmCnax= a。axa?x| anxnOOn1nle22n 2n n 0n21(xa)=CnaxCnax-Cna x -mCnax= anx |a2xa1x a0令x =1,貝1Ja0 +a1 +a2 +a3| +an =(a +1)n令x = _1，則 a0 -a1 +a2 -a3 +用 +an = (a -1)n 十得，a0 + a2+a4 1H +an =(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 )2一得，a1 +a3 +a5| +

30、an =" 2 一”(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 )n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2取得最大值。nn51如果二項(xiàng)式的哥指數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C活，C；2同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求（a+bx）n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別、，一 .Ar 1 - Ar為A, 4,An書，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有 十 ，從而解出r來。Ar 1 - Ar 2題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C： Cn 6 C3 62 HI Cn 6n,二練：Cn 3C2 903 - III -3nJCn -題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的

31、系數(shù);例：在二項(xiàng)式（4E十 元了的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)?2199練：求（x ）展開式中x的系數(shù)?2x題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式（x2+）10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2 x1 6練：求一項(xiàng)式（2x-一）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x練：若（x2+1）n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n= x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式（Jx 7x）9展開式中的有理項(xiàng)？題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若（疝-L）n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 -256,求n.32，, x練：若qx +，x2）n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)； 1 n例：已知（2+2x）,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng) 的系數(shù)是多少？練：在（a +b