中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編專題：開放性問題(含答案)

1、開放性問題一.解答題1.（2016河北石家莊一模）如圖，拋物線y=x2+x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點(diǎn)P作PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N設(shè)點(diǎn)P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專

2、題】壓軸題【分析】（1）由題意易求得A與B的坐標(biāo)，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）由s=MN=NPMP，即可得s=t2+t+1（t+1），化簡即可求得答案；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，即可得方程： t2+t=，解方程即可求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可【解答】解：（1）當(dāng)x=0時，y=1，A（0，1），當(dāng)x=3時，y=32+3+1=2.5，B（3，2.5），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：，解得：，直線AB的解析式為y=x+1；（2）根據(jù)題意得：s=MN=NPMP=t2+t+1（t+1）=t2+t（0t3）；（3）若四

3、邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時，有t2+t=，解得t1=1，t2=2，當(dāng)t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形當(dāng)t=1時，MP=，NP=4，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MN=MC，此時四邊形BCMN為菱形，當(dāng)t=2時，MP=2，NP=，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MNMC，此時四邊形BCMN不是菱形【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2.（2016河北石家莊一模）如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=

4、DE，ABC=DEF=90EDF=30，【操作1】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明【操作2】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫出結(jié)論，不必證明）m第2題【考點(diǎn)】相似形綜合題【分析】（操作1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，PBE=C

5、根據(jù)等角的余角相等可以證明BEP=CEQ即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；（操作2）作EMAB，ENBC于M、N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明MEPNWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；（總結(jié)操作）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析【解答】（操作1）EP=EQ，證明：連接BE，根據(jù)E是AC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，PBE=C=45，BEC=FED=90BEP=CEQ，在BEP和CEQ中，BEPCEQ（ASA），EP=EQ；如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理

6、由是：作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如圖3，過E點(diǎn)作EMAB于點(diǎn)M，作ENBC于點(diǎn)N，在四邊形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+MPE=180，MPE=EQN，RtMEPRtNEQ，=，RtAMERtENC，=m=，=1：m=，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式1：m，即EQ=mEP，0m2+，（因?yàn)楫?dāng)m2+時，EF和BC變成不相交）【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，證明過程類似

7、3.（2016河大附中一模）(本題滿分9分) 如圖(1)，線段AB=4，以線段AB為直徑畫O，C為O上的動點(diǎn)，連接OC，過點(diǎn)A作O的切線與BC的延長線交于點(diǎn)D，E為AD的中點(diǎn)，連接CE(1)求證：CE是O的切線；第2題(2)當(dāng)CE= 時，四邊形AOCE為正方形？ 當(dāng)CE= 時，CDE為等邊三角形時？答案：4.（2016河大附中一模）（本題滿分10分）在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到AE，連接EC. 問題發(fā)現(xiàn)： (1)如果AB=AC，BAC=90，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（不與點(diǎn)B重合），如圖1，請你判斷線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量

8、關(guān)系（直接寫出結(jié)論）； 拓展探究： (2)如果AB=AC，BAC= 90，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，請判斷中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你的結(jié)論。 問題解決： (3)如圖3，ABAC，BAC90。，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，試探究：當(dāng)銳角ACB等于度時，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍然成立（點(diǎn)C、E重合除外）。此時作DFAD交線段CE于點(diǎn)F，AC=3，線段CF長的最大值是 答案：第4題答案：5. （2016黑龍江大慶一模）（本題9分）在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)A（-1，0），B（0， QUOTE 錯誤！未找到引用源。），C（3，0）（1）求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；（2）

9、如圖1，在線段AC上有一動點(diǎn)P，過P點(diǎn)作直線PDAB交BC于點(diǎn)D，求出PBD面積的最大值；（3）如圖2，在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使QBD的面積與PBD面積相等，如存在，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如不存在，請說明理由 第5題圖1 圖2答案：解:（1）所求的函數(shù)解析式過A（-1，0），B（0，），C（3，0），設(shè)所求的函數(shù)解析式為：，當(dāng)，時，解得：，所求的函數(shù)解析式為: 或2分（2）A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OBAC，在RtAOB和RtBOC中，tanBAO= ，tanBCO=，BAO=60，BCO=30則ABC=90，ABBC，BC=2OB

10、=；又ABBC，PD/AB，PDAC，P在線段AC上，設(shè)P（m，0），PC=3-mBCO=30，PDAC，PD=PC=；DC=，BD=BC-DC=，=，PBD面積的最大值是；（3）（，），（，），（1，），（2，） 圖1 圖26. （2016黑龍江齊齊哈爾一模）（本題8分）如圖，過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）的拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.求拋物線解析式；求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；若拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P使，求此時DP的長.DE答案 ：解：（1）y=-x2+2x+3； （2）D（1，4）； （3）1或7. 7.（2016黑龍江齊齊哈爾一模）（本題12分）如

11、圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在軸的正半軸上，點(diǎn)B、點(diǎn)C在第一象限，sinOAD=，線段AD、AB的長分別是方程的兩根（ADAB）（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線AB的解析式； （3）在直線AB上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)M為頂點(diǎn)的三角形與OAD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 答案：（1）過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E. 解方程得.ADABAD=8，AB=3. OAD=,OAD=60.BAE=30OA=ADcos60=4AE=ABcos30=3=，BE=ABsin30= B點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k0). 則，解得直線AB的

12、解析式為y=x-. QUOTE 錯誤！未找到引用源。（3）存在，、 8. （2016湖北襄陽一模） (本題11分）如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點(diǎn)，E是BC延長 線上一點(diǎn)，連接AP，作PFAP，使PFPA，連接CF，AF，AF交CD邊于點(diǎn)G，連接PG（1）求證：GCFFCE；（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若BP2，在直線AB上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長度，若不存在，說明理由 第8題答案：（1）證明：過點(diǎn)F作FHBE于點(diǎn)H，HKM 四邊形ABCD是正方形， ABCPHFDCB90,ABBC， B

13、APAPB90 APPF, APBFPH90 FPHBAP 又APPF BAPHPF PHAB，BPFH PHBC BPPCPCCH CHBPFH 而FHC90. FCHCFH45 DCF904545 GCFFCE （2）PGPBDG 證明：延長PB至K，使BK=DG, 四邊形ABCD是正方形 AB=AD, ABKADG=90 ABKADG AK=AG, KABGAD, 而APF=90 ,AP=PF PAFPFA45 BAPKABKAP45 PAF KAPGAP KP=PG, KBBP=DGBPPG 即，PGPBDG； （3）存在. 如圖，在直線AB上取一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，

14、則MDPF，且MDFP， 又PF=AP， MD=AP 四邊形ABCD是正方形， AB=AD，ABP=DAM ABPDAM AMBP=2， BMABAM=52=3. 當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形 9.（2016湖北襄陽一模）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A（3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE垂直于軸，垂足為E是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；第9題答案：解：（1）由拋物線過點(diǎn)A（3，0），B（1，0），則 解得 二次函數(shù)的關(guān)系解析式 （2）連接PO，作PMx軸于M，PNy軸于N4分設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則 PM =，AO=3（5分） 當(dāng)時，OC=2 8分 0，當(dāng)時，函數(shù)有最大值 此時 存在點(diǎn)，使ACP的面積最大 （3）存在點(diǎn)Q，