2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 第5節(jié) 復(fù)數(shù)學(xué)案 理 新人教B版

1、第5節(jié)復(fù)數(shù)最新考綱1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容知識梳理意義備注形如abi(aR，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，若b0，則abi為實(shí)數(shù)；若a0復(fù)數(shù)的概念其中實(shí)部為a，虛部為b且b0，則abi為純虛數(shù)bcabicdiac且bd(a，設(shè)OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zabi，則向量復(fù)數(shù)相等dR)abi與cdi共軛ac且b共軛復(fù)數(shù)d(a，b，c，dR)建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平復(fù)平面面叫做復(fù)平面，x軸叫實(shí)軸，y軸叫虛軸復(fù)數(shù)的模實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛

2、軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù)|z|abi|a2b2OZ的長度叫做復(fù)數(shù)zabi的模2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR).平面向量OZ.(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；1z2cdi（cdi）（cdi）c2d21i1i(2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cd

3、i)(acbd)(adbc)i；zabi（abi）（cdi）(4)除法：1acbd（bcad）i(cdi0).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN+.1i1i2.(1i)22i；i；i.診斷自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.()(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()解析(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小.答案(1)(2)(3)(4

4、)2.(2016全國卷)設(shè)(12i)(ai)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a()A.3B.2C.2D.3解析因?yàn)?12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3.答案A3.(2017全國卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zi(2i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析由題意，得z12i，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.答案C4.(2017江蘇卷)已知復(fù)數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_.解析z(1i)(12i)13i，所以|z|（1）23210.答案105.(教材習(xí)題改編)已知(12i)z43i，則z_.2解析z2i，z2i.43i（43i

5、）（12i）12i（12i）（12i）105i5答案2i考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】(1)(2017全國卷)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1i)2B.i2(1i)C.(1i)2D.i(1i)2B.22C.2D.2(2)(2017全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則|z|()1A.(3)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，2B.3，2C.3，3D.1，4(2)z2ii1，則|z|12122.【訓(xùn)練1】(1)(2018廣東名校聯(lián)考)已知z(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛解析(1)由(1i)22i為純虛數(shù)知選C.2i（1i）2i21

6、i（1i）（1i）2(3)(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.答案(1)C(2)C(3)A規(guī)律方法1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.2.解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.13i3i部為()A.iB.iC.1D.1(2)(2017全國卷)設(shè)有下面四個(gè)命題1p1：若復(fù)數(shù)z滿足zR，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z1z2；p4：若復(fù)數(shù)zR，則zR.3解析(1)zi，則zi，則z的虛部為1.其中的

7、真命題為()A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p413i（13i）（3i）3i（3i）（3i）11abib2(2)p1：設(shè)zabi(a，bR)，則zabia2R，得到b0，所以zR，故p1正確；p2：若z21，滿足z2R，而zi，不滿足zR，故p2不正確；p3：若z11，z22，則z1z22，滿足z1z2R，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故p3不正確；p4：因復(fù)數(shù)zR，所以z的虛部為0，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故p4正確.答案(1)D(2)B考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)復(fù)數(shù)zi(1i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1，1)C.(1，1)B.(1，1

8、)D.(1，1)(2)(2017北京卷)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，1)C.(1，)B.(，1)D.(1，)a10，規(guī)律方法1.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)一一對應(yīng)Z(a，b)一一對應(yīng)OZ(a，b).【訓(xùn)練2】(1)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()解析(1)因?yàn)閦i(1i)1i，故復(fù)數(shù)zi(1i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1).(2)(1i)(ai)a1(1a)i的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則a1.答案(1)D(2)B2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可

9、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.z1i4A.EB.FC.GD.H(2)(2016北京卷)設(shè)aR，若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a_.解析(1)由題圖知復(fù)數(shù)z3i，1i1i（1i）（1i）2z3i（3i）（1i）42i2i.表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為H.1i(2)(2018日照質(zhì)檢)若a為實(shí)數(shù)，且3i，則a等于()1i（1i）（1i）(2)由3i，得2ai(3i)(1i)24i，因此ai4i(aR)，所以a4.z1i(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)D(2)1考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算3i【例3】(1)(2017全國卷)()A.12iB.1

10、2iC.2iD.2i2ai1iA.4B.3C.3D.4(3)(2017全國卷)(1i)(2i)()A.1iB.13iC.3iD.33i3i（3i）（1i）解析(1)2i.2ai1i(3)由題意(1i)(2i)23ii213i.答案(1)D(2)D(3)B規(guī)律方法復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式.【訓(xùn)練3】(1)(2017山東卷)已知aR，i是虛數(shù)單位.若za3i，zz4，則a()5A.1或1C.3B.7或7D.31i623i1i32i(2)_.（1i）26（23i）（32i）(2)原式（3）2（2）2解析(1)由已

11、知得(a3i)(a3i)4，a234，解得a1.25i662i3i61i.答案(1)A(2)1i基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1.(2016四川卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)2()A.0B.2C.2iD.22i3i解析(1i)212ii22i.答案C1i2.(2018威海質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，則()5B.2i52iA.5C.12i512iD.3i（3i）（3i）5解析1i（1i）（3i）12i.3.(2018山西康杰中學(xué)、臨汾一中等五校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為答案D1z()5554A.4B.iC.656D.i12i21124解析z2i21ii.z415555答案

12、A6（1i）2114.(2018石家莊質(zhì)檢)在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在()（1i）2112i（12i）（12i）555A.第一象限C.第三象限解析因?yàn)锽.第二象限D(zhuǎn).第四象限1112i12i12i，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為1255，在第四象限.答案D5.(2017山東卷)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z2()A.2iB.2iC.2D.2i解析由zi1i，得z1i1i，6.(2017東北三省四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若abi(a，bR)，則lg(ab)的值是A.2B.1C.01解析iabi，b1，z2(1i)22i.答案A2i1i()2（2i）（1i）3i31（1i）（1i）222a3，2lg(

13、ab)lg10.2答案C7.(2017北京東城綜合測試)若復(fù)數(shù)(m2m)mi為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1B.0C.1D.2m2m0，m0，x1，x1，解析因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2m)mi為純虛數(shù)，所以解得m1.答案C8.(2016全國卷)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|()A.1B.2C.3D.2解析由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|x2y2xyy1.710.(2017天津卷)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_.2i（2i）（2i）555i為實(shí)數(shù)，則a2解析ai（2a1）（a2）i2a1a211.若abi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.解析(3

14、b)(3b)ii.1i22223bba0，a2b23，a24，1i20171i20171i1i2.答案B二、填空題9.復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是_.解析(12i)(3i)35i2i255i，所以z的實(shí)部為5.答案5ai2i50，a2.答案23bi1i2a3b，3bi（3bi）（1i）13b3b解2，得ab3.b3.答案312.(2017浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_.解析由已知(abi)234i.即a2b22abi34i.從而有解得則a2b25，ab2.ab2，b21，答案52能力提升題組(建議用時(shí)：10分鐘)13.(2018濮陽一模)計(jì)算()A.2iB.08C.2iD.21i（1i）（1i）21i1i20171i20171i1ia10，2pq0，p10，p1，1i（1i）22i1i解析i，i，(i4)504i(i)4504(i)ii0.答案B14.設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若|z1z2|0，則z1z2B.若z1z2，則z1z21C.若|z1|z2|，則z1z1z2z2D.若|z1|z2|，則z2z2解析A中，|z1z2|0，則z1z2，故z1z2，成立；B中，z1z2，則z1z2成立；C中，|z1|z2|，則|z1|