定積分的應(yīng)用47164課件

1、高 等 數(shù) 學(xué)第六章 定積分的應(yīng)用回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題一、定積分元素法abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3） 求和，得A的近似值（1）把區(qū)間分成n個(gè)長(zhǎng)度分別為的小區(qū)間，那么相應(yīng)的曲邊梯形被分為個(gè)小窄曲邊梯形，第個(gè)小窄曲邊梯形的面積為abxyo（4） 求極限，得A的精確值提示面積元素若用上的窄曲邊梯形的面積， 則并取于是 表示任一小區(qū)間元素法的一般步驟：1）分割2）近似3）求和4）取極限這個(gè)方法通常叫做元素法應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等 f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素.二、平面圖形的面積 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與y

2、f下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成. 因此平面圖形的面積為 在點(diǎn)x處面積增量的近似值為 1.直角坐標(biāo)情形 討論： 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示： 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy, 例1 計(jì)算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積. 解 (2)確定在x軸上的積分區(qū)間: 0, 1; (1)畫(huà)圖; (4)計(jì)算積分 例2 計(jì)算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積. (2)確定在y軸上的積分區(qū)間: (4)計(jì)算積分 (3)確定左右曲線:-2, 4. 解 (1)畫(huà)圖; 解兩曲線的交點(diǎn)選 為積分變量于是所

3、求面積說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式 例4 因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為 xacost, ybsint, 所以 解 橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.于是 ydx, 橢圓在第一象限部分的面積元素為 曲邊扇形曲邊扇形的面積元素 曲邊扇形是由曲線()及射線, 所圍成的圖形.曲邊扇形的面積 2.極坐標(biāo)情形 例1 計(jì)算阿基米德螺線a (a0)上相應(yīng)于從0變到2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解 曲邊扇形的面積： 例2 計(jì)算心形線a(1cos)(a0)所圍成的圖形的面積. 解 解由對(duì)稱(chēng)性知總面積=4倍第一象限部分面積三、旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

4、 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 1.旋轉(zhuǎn)體的定義 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(tái) 2、體積求法 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體的體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸的厚度為dx的切片, 用圓柱體的體積f(x)2dx作為切片體積的近似值, 旋轉(zhuǎn)體的體積 于是體積元素為 dVf(x)2dx. 例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積. 解 旋轉(zhuǎn)體

5、的體積： 例2 計(jì)算由橢圓 所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積. 旋轉(zhuǎn)體的體積： 解 軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體. 旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 旋轉(zhuǎn)體的體積： 例3 計(jì)算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 例4 計(jì)算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y), 右半邊為x=x2(y). 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為6 3a3 . 解 繞固

6、定軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積解(2)四、平面曲線的弧長(zhǎng). 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x) (axb)給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為 這也就是弧長(zhǎng)元素. 因此, 曲線弧的長(zhǎng)度為直角坐標(biāo)情形 曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)： 例1 長(zhǎng)度. 因此, 所求弧長(zhǎng)為 解 解 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 于是曲線弧的長(zhǎng)為 參數(shù)方程情形 曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)： 解: 曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)： 例2

7、 計(jì)算星形線 , 的全長(zhǎng). 用參數(shù)方程的弧長(zhǎng)公式 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)： 例3 求擺線xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(02 )的長(zhǎng)度. 解 于是所求弧長(zhǎng)為曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)： 弧長(zhǎng)元素為 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出, 其中()在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 因?yàn)?x(q)cosq, y(q)sinq (), 所以弧長(zhǎng)元素為 曲線弧的長(zhǎng)為 極坐標(biāo)情形 曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)：曲線()()的弧長(zhǎng)： 例4 求阿基米德螺線a (a0)相應(yīng)于從0到2 一段的弧長(zhǎng). 解 于是所求弧長(zhǎng)為 弧長(zhǎng)元素為曲線yf(x)(axb)

8、的弧長(zhǎng)： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)：解:解證根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知故原結(jié)論成立.補(bǔ)充 平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積 例 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積. 建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓的方程為x2y2R2. 所求立體的體積為截面面積為A(x)的立體體積： 解 立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面為直角三角形, 其面積為 例2 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓的