《幾何畫板》培養(yǎng)學生探索、創(chuàng)新能力的窗口

1、拋物線焦焦點性質(zhì)質(zhì)的探索索（說課課）高中新教教材（試試驗修訂訂本必修）數(shù)學第第二冊（上）拋拋物線的的習題課課教材分析析1、1 教材材的地位位與作用用“拋物線線焦點的的性質(zhì)”是拋物物線的重重要性質(zhì)質(zhì)之一，它是在在學生學學習拋物物線的一一般性質(zhì)質(zhì)的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，學學習和研研究的拋拋物線有有關(guān)問題題的基本本工具之之一；本本節(jié)教材材對于培培養(yǎng)學生生觀察、猜想、概括能能力和邏邏輯推理理能力具具有重要要的意義義。教學目的的全日制普普通高級級中學數(shù)學教教學大綱綱第222頁“重視現(xiàn)現(xiàn)代教育育技術(shù)的的運用”中明確確提出：在數(shù)學學教學過過程中，應(yīng)有意意識地利利用計算算機網(wǎng)絡(luò)絡(luò)等現(xiàn)代代信息技技術(shù)，認認識計算算機的智智能

2、圖形形、快速速計算、機器證證明、自自動求解解及人機機交互等等功能在在數(shù)學教教學中的的巨大潛潛力，努努力探索索在現(xiàn)代代信息技技術(shù)支持持下的教教學方法法、教學學模式。設(shè)計和和組織能能吸引學學生積極極參與的的數(shù)學活活動，支支持和鼓鼓勵學生生運用信信息技術(shù)術(shù)學習數(shù)數(shù)學、開開展課題題研究，改進學學習方式式，提高高學生的的自主學學習能力力和創(chuàng)新新意識。因此本本人在現(xiàn)現(xiàn)行高中中新教材材（試驗驗修訂本本必修）數(shù)學第第二冊（上）拋拋物線這這一節(jié)內(nèi)內(nèi)容為背背景材料料，以多多媒體網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室為場地地，以幾何畫畫板為為教學工工具與學學習工具具，設(shè)計計了一堂堂拋物物線焦點點性質(zhì)的的探索，具體體目標如如下：知識目標標：了

3、解解焦點的的有關(guān)性性質(zhì)；并并掌握這這些性質(zhì)質(zhì)的證明明方法；體會數(shù)數(shù)形結(jié)合合思想與與分類討討論思想想在解決決解析幾幾何題中中的指導導作用能力目標標：使學學生學會會研究數(shù)數(shù)學問題題的基本本過程，能夠根根據(jù)條件件建立恰恰當?shù)臄?shù)數(shù)學模型型；培養(yǎng)養(yǎng)辯證唯唯物主義義思想和和辯證思思維能力力（主要要包括量量變與質(zhì)質(zhì)變，常常量與變變量，運運動與靜靜止）培培養(yǎng)學生生通過計計算機來來自主學學習的能能力與創(chuàng)創(chuàng)新的能能力。情感目標標：培養(yǎng)養(yǎng)學生不不畏困難難，勇于于鉆研、探索、大膽創(chuàng)創(chuàng)新的精精神，在在挫折中中成長鍛鍛煉，培培養(yǎng)學生生良好的的心理素素質(zhì)和抗抗挫折能能力，通通過拋物物線焦點點性質(zhì)的的探索及及證明，使學生生得

4、到數(shù)數(shù)學美和和創(chuàng)造美美的享受受。教學內(nèi)容容、重點點、難點點及關(guān)鍵鍵本節(jié)安排排兩節(jié)課課，第一一節(jié)課：主要內(nèi)內(nèi)容是利利用幾幾何畫板板探索索拋物線線的有關(guān)關(guān)性質(zhì)；第二節(jié)節(jié)課：證證明第一一節(jié)所得得到的有有關(guān)性質(zhì)質(zhì)。重點：（1）如如何利用用幾何何畫板探索、發(fā)現(xiàn)拋拋物線焦焦點的性質(zhì)；（2）如何證證明這些些性質(zhì)。難點；（1）如如何利用用幾何何畫板探索、發(fā)現(xiàn)拋拋物線焦焦點的性性質(zhì)；（2）如如何證明明這些性性質(zhì)。2 教教學策略略及教法法設(shè)計學生在網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室（每人人一機），其中裝有幾何畫畫板軟件及上上課系統(tǒng)統(tǒng)，每個個學生的的窗口，其他學學生及教教師都可可以通過過教師機機切換，從而和和其他學學生交流流，也可可以通

5、過過網(wǎng)上論論壇交流流研究結(jié)結(jié)果。3 網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教學學環(huán)境設(shè)設(shè)計學生在網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室（每人人一機）中有幾幾何畫板板軟件，學生通通過教師師提供的的網(wǎng)絡(luò)課課件，自自已閱讀讀，下載載有關(guān)課課件，利利用幾幾何畫板板的操作、試驗、猜想，通過自自已的研研究獲得得結(jié)論，并互相相討論觀觀察到的的現(xiàn)象、交流研研究結(jié)果果。4 教學過過程設(shè)計計41 使學學生學會會研究數(shù)數(shù)學問題題的基本本過程，能夠根根據(jù)條件件建立恰恰當?shù)臄?shù)數(shù)學模型型 問題11 回顧顧一下拋拋物線的的定義，并根據(jù)據(jù)拋物線線的定義義思考用用幾何何畫板如何作作出焦點點在x軸軸上的拋拋物線圖圖象。由于創(chuàng)設(shè)設(shè)了一個個創(chuàng)作的的幾何何畫板的窗口口及網(wǎng)絡(luò)絡(luò)窗口，學生通通過

6、網(wǎng)絡(luò)絡(luò)學習，得到以以上問題的多種作作法，以以下就其其中的一一種作法法作為探探索、研研究拋物物線焦點點性質(zhì)的的基本圖圖形。具具體作法法如下：（1）在在x軸上上任取一一點，標標記為FF（作為為焦點）（2）作作出點FF關(guān)于yy軸的對對稱點，并過作作x軸的的垂線，標記為（作為準準線）（3）在在上任取取一點EE，過點點E作的的垂線；（4）連連結(jié)EFF，并作作線段EEF的中中垂線與與相交于于點A；（5）生生成點AA的軌跡跡（即拋拋物線的的圖象如如右圖）（說明：將以上上創(chuàng)作的的作品，以下記記作學件件1-學生制制作的課課件）-設(shè)置意圖圖：以上上過程通通過創(chuàng)設(shè)設(shè)了學生生學習與與創(chuàng)作的的幾何何畫板窗口與與網(wǎng)絡(luò)窗窗

7、口，在在幾何何畫板這個窗窗口中學學生輕易易地建立立了一個個研究數(shù)數(shù)學問題題的幾何何模型，培養(yǎng)了了學生的的動手能能力，激激法了學學生學習習的興趣趣，吸引引學生積積極參與與數(shù)學活活動。42 利用用幾何何畫板作圖的的特點，培養(yǎng)學學生試驗驗、猜想想的合理理思維能能力 在在完成學學件1的的基礎(chǔ)上上，根據(jù)據(jù)幾何何畫板不能直直接作出出直線與與軌跡的的交點的的前提下下，提出以以下問題題。（請請下載課課件2-教師自自制課件件，研究究問題22） 問題22 設(shè)設(shè)點A是是拋物線線上任一一點，請請作出過過焦點FF的弦AAB與拋拋物線的的另一個個交點BB。 師：當當AB垂垂直于xx軸時。點B可可能有哪哪些特征征？能否否應(yīng)

8、用它它來解決決這個問問題？生1：當當AB為為通徑時時，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)點A與與點B和和它們在在準線上上的射影影、組成一一個矩形形且原點點O是對對稱中心心，所以以先作出出點A在在準線上上的射影影，然后后作出點點關(guān)于xx軸的對對稱點，再過點點作準線線的垂線線與拋物物線的交交點B。 （具具體操作作由學生生通過幾何畫畫板的的作圖功功能來實實現(xiàn)）師：請拖拖動點AA在拋物物線上運運動來驗驗證一下下，是否否成立，發(fā)現(xiàn)不不成功。生2：當當AB為為通徑時時，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)點A在在準線上上的射影影、O、B三點點在一直直線上，因此只只要作出出直線與與直線AAB的交交點，師：拖動動點A在在拋物線線上運動動來驗證證一下，結(jié)結(jié)果成功功了。

9、設(shè)置意圖圖： 從從以上的的探索過過程讓學生體體會到數(shù)數(shù)學知識識發(fā)現(xiàn)的的一般過過程：“數(shù)學事事實首先先是被猜猜想，然然后是被被證實”，即數(shù)數(shù)學知識識的發(fā)現(xiàn)現(xiàn)是在不不斷的合合情猜想想下，借借助數(shù)學學軟件自自已獨立立驗證或或否定猜猜想，最最后再給給出嚴格格的證明明。猜想想正是數(shù)數(shù)學發(fā)現(xiàn)現(xiàn)與創(chuàng)造造的第一一步，這這一教學學流程中中數(shù)學軟軟件不僅僅成為教教師的教教學習工工具，又又成為學學生學習習的工具具，并且且讓學生生感到探探索的無無限樂趣趣，由此此可見幾何畫畫板為為學生探探索、研研究數(shù)學學知識提提供了一一片廣闊闊的天空空，為培培養(yǎng)學生生合理思思維能力力創(chuàng)造一一個理想想的窗口口。利用幾幾何畫板板探索索創(chuàng)造

10、性性的解題題方法，培養(yǎng)學學生的創(chuàng)創(chuàng)新能力力問題3 ：（11）拋物物線上離離焦點最近的的點是。 （2）拋物線線上離點點H（aa，0）最近的的點恰好好是頂點點O的aa的范圍圍？（請下載載課件33-教師師自制課課件，研研究問題題3） 教師師啟發(fā)：當點HH（a，0）在在x軸的的負半軸軸上時，滿足條條件；當當點H（a，00）在xx的正半半軸上離離焦點較較遠時，明顯發(fā)發(fā)現(xiàn)不是是頂點OO離點HH（a，0）最最近。在在存在與與不存在在之間必必存在一一個臨界界點，請請同學探探索出這這個臨界界點的位位置？學生1：設(shè)拋物物線上任任一點，作出線線段AHH，并用用幾何何畫板中度量量功能度度量出線線段AHH的長，同同時度

11、量量出線段段OH的的長，將將線段AAH的長長與線段段OH的的長作差差的，并并拖動點點A在拋拋物線上上滑動，觀察差差的值均均大于等等于0的的點H是是滿足條條件的點點，然后后不斷地地調(diào)整點點H在xx軸上的的位置，最后發(fā)發(fā)現(xiàn)當點點H在xx正半軸軸上離原原點的距距離正好好是1的的點是臨臨界點。教師：從從以上的的探索過過程，你你能歸納納出其中中所隱含含的數(shù)學方方法嗎？學生2：從以上上的操作作過程得得數(shù)量關(guān)關(guān)系：（當且僅僅當點AA與點OO重合取取到“=”），即（當且且僅當xx=0取取到最小小值a）。進進一步得得以下解解法：解：， 即即 又因為為 ， 所以以，若，即，當當時，即即 若，即即，當時，若，即，當

12、時， 故aa的范圍圍為教師：是是否還有有其它的的解決方方法？（幾分鐘鐘后）學生3：（如右右圖學件件2-學學生制作作的課件件）以點HH為圓心心，|OOH|長長為半徑徑作圓HH，拖動動點H在在x軸上上滑動，使得拋拋物線全全在圓HH以外的的點H的的范圍即即為所求求。教師：誰誰能從中中歸納出出解題方方法？數(shù)數(shù)分種后后，沒有有人能解解決。 教師：從從以上的的操作過過程得位位置關(guān)系系：拋物物線上的的點均在在圓H以以外，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量關(guān)系系：對于于拋物線線上任一一點A都都成立，即對于于拋物線線上任一一點A都都成立。又因為為，所以以在上恒成成立。即即在上恒成成立，所所以在上恒成成立，故故在上恒成成立，所所以。

13、設(shè)置意圖圖：以上上教學中中，教師師的角色色由教學學內(nèi)容的的灌輸者者轉(zhuǎn)變?yōu)闉榻o學生生提供學學習工具具和學習習材料的的服務(wù)者者，這為為學生通通過自已已的獨立立自主的的探索而而獲得知知識創(chuàng)造造一個自自由、廣廣闊的天天空；學學生由原原來的“學習數(shù)數(shù)學”轉(zhuǎn)變?yōu)闉椤把芯繑?shù)數(shù)學”，從學學習者到到研究者者的變化化，完全全改進學學習方式式，提高高學生的的自主學學習能力力和創(chuàng)新新意識。34 利用用幾何何畫板培養(yǎng)辯辯證唯物物主義思思想和辯辯證思維維能力辯證唯物物主義告告訴我們們，現(xiàn)實實世界靜靜止是相相對的，運動是是絕對的的。二十十一世紀紀的幾何何是動態(tài)態(tài)的幾何何，主要要研究圖圖形在變變化運動動過程中中點、線線等基本

14、本元素之之間的位位置與數(shù)數(shù)量關(guān)系系。教師導：從上面面問題33的探索索過程，我們發(fā)發(fā)現(xiàn)在特特殊狀態(tài)態(tài)下發(fā)現(xiàn)現(xiàn)的結(jié)論論有些是是正確，有些是是不正確確的。但但是它為為我們探探索正確確的方法法提供了了思路與與方向，然后我我們應(yīng)用用幾何何畫板的作圖圖、動態(tài)態(tài)、度量量等功能能輕而易易舉地驗驗證了我我們的猜猜想。所所以在解解析幾何何中要充充分利用用變與不不變；量量變與質(zhì)質(zhì)變；特特殊與一一般等辯辯證關(guān)系系來指導導我們解解題。請請同學們們解決下下面問題題4（請下載載課件44-教師師自制課課件，研研究問題題4）。問題4 ：ABB是拋物物線過焦焦點F的的弦，MM是ABB的中點點，是拋拋物線的的準線，N為為垂足。在不

15、增增加條件件，但可可以設(shè)交交點及連連線的前前提下，探索在在以下幾幾個方面面的有關(guān)關(guān)性質(zhì)：（1）最值；（2）不變位位置關(guān)系系；（33）相等等的數(shù)量量關(guān)系。 經(jīng)過一段段時間的的探索，得到以以下幾個個結(jié)論：（1）；（22）（33）以為為直徑的的圓與焦焦點弦AAB切于于焦點FF；（44）以AAB為直直徑的圓圓與準線線相切；（5）（為準線線與x軸軸的交點點）；（6）設(shè)設(shè)MN交交拋物線線于Q，則Q平平分MNN。并且且在課上上提出了了證明的的思路。另外還還有以下下幾個猜猜想沒有有證明（如右圖圖學件3-學學生制作作的課件件），但但在幾幾何畫板板中已已得到驗驗證：過點A的的拋物線線的切線線與y軸軸的交點點為點A

16、A在y軸軸上的射射影與原原點O的的中點；過點A的的拋物線線的切線線平行于于焦點FF與點BB在y軸軸上的射射影的連連線。 課后反反思 英國作作家阿爾爾道斯赫胥黎黎曾說：“宇宙中中只有一一個角落落是你一一定能夠夠改善的的，那就就是你自自已?！钡诠すI(yè)化社社會當中中，個體體的學習習總是處處于被動動、受奴奴役地位位，人們們幾乎沒沒有別的的選擇。因此學學生沒有有條件獨獨立自主主地改善善自已。而在即即將到來來的信息息化社會會中，個個體的學學習是成成功的、快樂的的、自由由的學習習。這種種學習，一定是是利用信信息技術(shù)術(shù)的學習習，一定定是基于于互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)的學習習。所以以在這個個信息的的時代，創(chuàng)新的的時代，在知識

17、識爆炸、信息爆爆炸的今今天，灌灌輸?shù)慕探虒W方式式與被動動的學習習方式已已很難順順應(yīng)時代代潮流了了。改革革傳統(tǒng)的的教學方方式與學學習方式式，采用用獨立自自主的學學習、創(chuàng)創(chuàng)新的學學習，已已成為一一種必然然。教學過程程流程圖圖問題1：請你回回顧用幾何畫畫板如如何作出出焦點在在x軸上的的拋物線線圖象?問題2：當拖動動E點在在準線滑滑動時，即點AA在拋物物線（）上移移動，（請下載載課件22），利用用幾何何畫板探索、猜想、驗證與與焦半徑徑AF有有關(guān)的性性質(zhì)？問題3：如圖，拋物線線上離點點H（aa，0）最近的的點恰好好是頂點點O的充充要條件件是（請下載載課件33探索研研究）問題4：AB是是拋物線線過焦點點F的弦弦， ，請下載下下圖中的