導數的幾何意義 全省一等獎-精講版課件

1、陶中高二數學備課組1.1.3導數的幾何意義先來復習導數的概念1.定義：設函數y=f(x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量x時函數有相應的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當x0 時,y/x的極限存在,這個極限就叫做函數f(x)在點x0處的導數(或變化率)記作 即: 2. 瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數. 是函數f(x)在以x0與x0+x 為端點的區(qū)間x0,x0+x(或x0-x,x0)上的平均變化率,而導數則是函數f(x)在點x0 處的變化率,它反映了函數隨自變量變化而變化的快慢程度 3.由導數的意義可知,求函數y=f (x)在點x0處的導數的基本方

2、法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負. 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式.下面來看導數的幾何意義: y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖,曲線C是函數y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+x,y0+y)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM/x軸,QM/y軸,為PQ的傾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況. 我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱

3、為曲線在點P處的切線. 設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即: 這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質函數在x=x0處的導數.導數的幾何意義:函數在x0處的導數f/(x)的幾何意義, 是曲線y=f(x)在(x0,f(x0) )點處的斜率。即:例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.練習:如圖已知曲線 ,求:(1)點

4、P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程. yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4. (2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線 y=x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程。練習 在曲線y=x2上過哪一點的切線 1.平行于直線y=4x-5 2.垂直于直線2x-6y+5=0發(fā)展性訓練11.求拋物線y=x2過點 的切線方程.設切點為(x0, x02),則x0=2, x0=3,切線方程為:y=4x-4, y=6x-9k0=4, k0=6（1）求出函數在點x0處的變化率 ，得到曲線

5、 在點(x0,f(x0)的切線的斜率。（2）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即小結:1.求切線方程的步驟： 無限逼近的極限思想是建立導數概念、用導數定義求 函數的導數的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導 數概念。謝謝！ 再見！在不致發(fā)生混淆時，導函數也簡稱導數什么是導函數?由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時,f(x0) 是一個確定的數.那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.即:如何求函數y=f(x)的導數?看一個例子:下面把前面知識小結:a.導數是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數 學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了解認識這

6、一概念的實質，學會用事物在全 過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。 b.要切實掌握求導數的三個步驟：（1）求函數的增 量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數。（3）函數f(x)在點x0處的導數 就是導函數 在x=x0處的函數值，即 。這也是 求函數在點x0處的導數的方法之一。 小結:（2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的, 就是函數f(x)的導函數 。（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數，不是變數。c.弄清“函數f(x)在點x0處的導數”、“導函數”、“導數” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數在點x0處的變化率 ，得到曲線 在點(x0,f(x0)的切線的斜率。