概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章教案

1、第一節(jié)隨機(jī)事件在自然界和人類(lèi)社會(huì)生活中普遍存在著兩類(lèi)現(xiàn)象:一類(lèi)是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱(chēng)為確定性現(xiàn)象。例如：一物體從高度為h(米)處垂直下落，則經(jīng)過(guò)t(秒)后必然落到地面，且當(dāng)高度h一定時(shí)，可由公式h=gt2得到，t=/g(秒)。2異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥。另一類(lèi)則是在一定條件下我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。例如：(1)在相同條件下拋擲同一枚硬幣，我們無(wú)法事先預(yù)知將出現(xiàn)正面還是反面。將來(lái)某日某種股票的價(jià)格是多少。概率論就是以數(shù)量化方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。二隨機(jī)試驗(yàn)為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對(duì)隨機(jī)

2、現(xiàn)象的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，并簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，記為E。例如，觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救電話(huà)晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：可重復(fù)性；試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;可觀察性；試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;不確定性:每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。三、樣本空間盡管一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的，我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為e(或o)；它們的全體稱(chēng)為樣本空間，記為S(或Q).例如：1)在拋擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的試驗(yàn)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)：正面、反面.樣本

3、空間為S=正面，反面或S=e,e(e=正面，e=反面)。1212在將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中，有8個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間：S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT。在拋擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中，有6個(gè)樣本點(diǎn)：1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)，樣本空間可簡(jiǎn)記為S=1,2,3,4,5,6。觀察某電話(huà)交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，其樣本點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)：i次，i=0,123樣本空間可簡(jiǎn)記為S=0,1,2,3，.。在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試其壽命，其樣本點(diǎn)也有無(wú)窮多個(gè)(且不可數(shù)):t小時(shí)，樣本空間可簡(jiǎn)記為S=110tv田=0,+。注:同一

4、個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與樣本空間是要根據(jù)要觀察的內(nèi)容來(lái)確定的。在概率論中，把具有某一可觀察特征的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱(chēng)為事件，事件可分為以下三類(lèi)：隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情。必然事件:在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件。不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。顯然，必然事件和不可能事件都是確定性事件，為討論方便，今后將它們看作是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件，并將隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱(chēng)為事件。五、事件的集合表示任何一個(gè)事件都可以用S的某一子集來(lái)表示，常用字母A,B,等表示。稱(chēng)僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為基本事件;含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件。顯然，樣本空間S作為事件是必然事件，空集作為一個(gè)事件

5、是不可能事件。六、事件的關(guān)系與運(yùn)算事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)處理為了方便，給出下列對(duì)照表：表注：兩個(gè)互為對(duì)立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是對(duì)立事件，而且，互斥的概念適用于多個(gè)事件，但是對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件。七、事件的運(yùn)算規(guī)律由集合的運(yùn)算律，易給出事件間的運(yùn)算律：交換律；結(jié)合律；分配律；自反律；對(duì)偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，記A-“甲中靶”B-“乙中靶”c-“丙中靶”則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來(lái)分別表示下列各事件：“甲未中靶”：a;甲中靶而乙未中靶：AB;(3)三人中只有丙未中靶：ABC;(4)“三人中恰好有一人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中

6、至少有一人中靶”:AUBUC；(6)“三人中至少有一人未中靶”:AUBUC;或ABC;“三人中恰有兩人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中至少兩人中靶”：ABUACUBC；“三人均未中靶”：ABC；“三人中至多一人中靶”:ABCUABCUABCUABC；“三人中至多兩人中靶”:ABC;或AUBUC;注：用其它事件的運(yùn)算來(lái)表示一個(gè)事件方法往往不惟一，如上例中的和(11)實(shí)際上是同一事件,應(yīng)學(xué)會(huì)用不同方法表達(dá)同一事件，特別在解決具體問(wèn)題時(shí),往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?。課堂練習(xí)設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)C也發(fā)生，則().(A)AUB是C的子事件；(B)ABC；或AUBUC;(C)AB是C

7、的子事件；(D)C是AB的子事件.設(shè)事件A=甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo),則A的對(duì)立事件為().甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)；甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)；甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷(xiāo)；甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)或者乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo).課后作業(yè)P6,1,2,4第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、頻率及其性質(zhì)定義1若在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生的次數(shù)為r(A),貝U稱(chēng)nf(A)=心為事件A發(fā)生的頻率。nn頻率的基本性質(zhì)：0f(A)1；nf(s)=1；n(3)設(shè)A,A，,A是兩兩互不相容的事件，則TOC o 1-5 h z12nf(A,UA2U-UA)=f(4)+f(A2)+f(A)-12nn1n2定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件a發(fā)

8、生的頻率f(A)=q隨著nn試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)p(op0;完備性：p(s)=1；可列可加性：設(shè)a,a，是兩兩互不相容的事件，則有12則稱(chēng)P(A)為事件A的概率.三、概率的性質(zhì)性質(zhì)1P(0)=0性質(zhì)2(有限可加性)若事件A,A，,A兩兩互不相容，則有12性質(zhì)3對(duì)任一事件A，有P(A)=1-P(A)性質(zhì)4P(A-B)=P(A)-P(AB);特別地，若AuB，則有(1)P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(B)P(A)性質(zhì)5對(duì)任一事件A，P(A)0,則稱(chēng)P(BIA)=P(AB)(1)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率。相應(yīng)地，把P(B)稱(chēng)為無(wú)條件概率。般地，P(B1

9、A)豐P(B)。2、條件概率的性質(zhì)0P(A)2)相互獨(dú)立，則其中任意k(1k2)相互獨(dú)立，則將A,A，,A中任意12n12nm(1m2)個(gè)隨機(jī)事件，則12nA,A,A相互獨(dú)立宀A,A，,A兩兩獨(dú)立.12n1/2問(wèn)對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.三、伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：事件A發(fā)生（記為A）或事件A不發(fā)生（記為A）,則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為伯努利（Bermourlli）試驗(yàn).設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn),或簡(jiǎn)稱(chēng)為伯努利概型.注n重伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)是：事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為p，且不受其他各次試

10、驗(yàn)中A是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p（0p1）,則在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為推論設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p（0p1）,則在n重貝努里試驗(yàn)中,事件A在第k次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件A第k次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前k次試驗(yàn)組成的k重伯努利試驗(yàn)中“事件A在前k-1次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第k次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”，再由伯努利定理即推得.例5某型號(hào)高炮,每門(mén)炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為,現(xiàn)若干門(mén)炮同時(shí)各射發(fā),（1）問(wèn)欲以99%的把握擊中一架來(lái)犯的敵機(jī)至少需配置幾門(mén)炮（2）現(xiàn)有3門(mén)炮,欲以99%的把握擊中一架來(lái)犯的敵機(jī)，問(wèn)

11、:每門(mén)炮的命中率應(yīng)提高到多少課堂練習(xí)某工人一天出廢品的概率為，求在4天中：都不出廢品的概率；至少有一天出廢品的概率；僅有一天出廢品的概率；最多有一天出廢品的概率；第一天出廢品，其余各天不出廢品的概率.課后作業(yè)P253,6,8第一章習(xí)題課一、基本知識(shí)點(diǎn)1、概率的定義2、概率的性質(zhì)3、基本公式：古典概型、條件概率公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式、獨(dú)立性、伯努利定理二典型例題例1、已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AjB)=0.6,求P(AB)，P(AIB)，P(AoB)例2、P(A)=0.4,P(B)=0.2,(1)若A,B互不相容，則P(AjB)=(2)若A,B相互獨(dú)立，則P(AjB)=例3、設(shè)某批產(chǎn)品中，甲，乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從中任取一件，求取到的是次品的概率；經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率。例4發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率和發(fā)出信號(hào)“”及“-”，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率及收到“”及“-”；又當(dāng)發(fā)出信號(hào)“-