概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章教案

1、第一節(jié)隨機事件在自然界和人類社會生活中普遍存在著兩類現(xiàn)象:一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。例如：一物體從高度為h(米)處垂直下落，則經(jīng)過t(秒)后必然落到地面，且當(dāng)高度h一定時，可由公式h=gt2得到，t=/g(秒)。2異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥。另一類則是在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。例如：(1)在相同條件下拋擲同一枚硬幣，我們無法事先預(yù)知將出現(xiàn)正面還是反面。將來某日某種股票的價格是多少。概率論就是以數(shù)量化方法來研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。二隨機試驗為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對隨機現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對隨機

2、現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗，并簡稱為試驗，記為E。例如，觀察某射手對固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救電話晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機試驗。隨機試驗具有下列特點：可重復(fù)性；試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;可觀察性；試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;不確定性:每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。三、樣本空間盡管一個隨機試驗將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的，我們把隨機試驗的每一種可能的結(jié)果稱為一個樣本點，記為e(或o)；它們的全體稱為樣本空間，記為S(或Q).例如：1)在拋擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的試驗中有兩個樣本點：正面、反面.樣本

3、空間為S=正面，反面或S=e,e(e=正面，e=反面)。1212在將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)情況的試驗中，有8個樣本點，樣本空間：S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT。在拋擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)的試驗中，有6個樣本點：1點，2點，3點，4點，5點，6點，樣本空間可簡記為S=1,2,3,4,5,6。觀察某電話交換臺在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，其樣本點有無窮多個：i次，i=0,123樣本空間可簡記為S=0,1,2,3，.。在一批燈泡中任意抽取一個，測試其壽命，其樣本點也有無窮多個(且不可數(shù)):t小時，樣本空間可簡記為S=110tv田=0,+。注:同一

4、個隨機試驗，試驗的樣本點與樣本空間是要根據(jù)要觀察的內(nèi)容來確定的。在概率論中，把具有某一可觀察特征的隨機試驗的結(jié)果稱為事件，事件可分為以下三類：隨機事件：在試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情。必然事件:在每次試驗中都必然發(fā)生的事件。不可能事件：在任何一次試驗中都不可能發(fā)生的事件。顯然，必然事件和不可能事件都是確定性事件，為討論方便，今后將它們看作是兩個特殊的隨機事件，并將隨機事件簡稱為事件。五、事件的集合表示任何一個事件都可以用S的某一子集來表示，常用字母A,B,等表示。稱僅含一個樣本點的事件為基本事件;含有兩個或兩個以上樣本點的事件為復(fù)合事件。顯然，樣本空間S作為事件是必然事件，空集作為一個事件

5、是不可能事件。六、事件的關(guān)系與運算事件之間的關(guān)系與運算可按集合之間的關(guān)系和運算來處理為了方便，給出下列對照表：表注：兩個互為對立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是對立事件，而且，互斥的概念適用于多個事件，但是對立概念只適用于兩個事件。七、事件的運算規(guī)律由集合的運算律，易給出事件間的運算律：交換律；結(jié)合律；分配律；自反律；對偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，記A-“甲中靶”B-“乙中靶”c-“丙中靶”則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件：“甲未中靶”：a;甲中靶而乙未中靶：AB;(3)三人中只有丙未中靶：ABC;(4)“三人中恰好有一人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中

6、至少有一人中靶”:AUBUC；(6)“三人中至少有一人未中靶”:AUBUC;或ABC;“三人中恰有兩人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中至少兩人中靶”：ABUACUBC；“三人均未中靶”：ABC；“三人中至多一人中靶”:ABCUABCUABCUABC；“三人中至多兩人中靶”:ABC;或AUBUC;注：用其它事件的運算來表示一個事件方法往往不惟一，如上例中的和(11)實際上是同一事件,應(yīng)學(xué)會用不同方法表達(dá)同一事件，特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?。課堂練習(xí)設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時C也發(fā)生，則().(A)AUB是C的子事件；(B)ABC；或AUBUC;(C)AB是C

7、的子事件；(D)C是AB的子事件.設(shè)事件A=甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷,則A的對立事件為().甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；甲種產(chǎn)品滯銷；甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.課后作業(yè)P6,1,2,4第二節(jié)隨機事件的概率一、頻率及其性質(zhì)定義1若在相同條件下進(jìn)行n次試驗，其中事件A發(fā)生的次數(shù)為r(A),貝U稱nf(A)=心為事件A發(fā)生的頻率。nn頻率的基本性質(zhì)：0f(A)1；nf(s)=1；n(3)設(shè)A,A，,A是兩兩互不相容的事件，則TOC o 1-5 h z12nf(A,UA2U-UA)=f(4)+f(A2)+f(A)-12nn1n2定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，若事件a發(fā)

8、生的頻率f(A)=q隨著nn試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)p(op0;完備性：p(s)=1；可列可加性：設(shè)a,a，是兩兩互不相容的事件，則有12則稱P(A)為事件A的概率.三、概率的性質(zhì)性質(zhì)1P(0)=0性質(zhì)2(有限可加性)若事件A,A，,A兩兩互不相容，則有12性質(zhì)3對任一事件A，有P(A)=1-P(A)性質(zhì)4P(A-B)=P(A)-P(AB);特別地，若AuB，則有(1)P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(B)P(A)性質(zhì)5對任一事件A，P(A)0,則稱P(BIA)=P(AB)(1)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率。相應(yīng)地，把P(B)稱為無條件概率。般地，P(B1

9、A)豐P(B)。2、條件概率的性質(zhì)0P(A)2)相互獨立，則其中任意k(1k2)相互獨立，則將A,A，,A中任意12n12nm(1m2)個隨機事件，則12nA,A,A相互獨立宀A,A，,A兩兩獨立.12n1/2問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨立.三、伯努利概型設(shè)隨機試驗只有兩種可能的結(jié)果：事件A發(fā)生（記為A）或事件A不發(fā)生（記為A）,則稱這樣的試驗為伯努利（Bermourlli）試驗.設(shè)將伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次，稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗,或簡稱為伯努利概型.注n重伯努利試驗的特點是：事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p，且不受其他各次試

10、驗中A是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p（0p1）,則在n重貝努里試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為推論設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p（0p1）,則在n重貝努里試驗中,事件A在第k次試驗中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件A第k次試驗才首次發(fā)生”等價于在前k次試驗組成的k重伯努利試驗中“事件A在前k-1次試驗中均不發(fā)生而第k次試驗中事件A發(fā)生”，再由伯努利定理即推得.例5某型號高炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率為,現(xiàn)若干門炮同時各射發(fā),（1）問欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機至少需配置幾門炮（2）現(xiàn)有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機，問

11、:每門炮的命中率應(yīng)提高到多少課堂練習(xí)某工人一天出廢品的概率為，求在4天中：都不出廢品的概率；至少有一天出廢品的概率；僅有一天出廢品的概率；最多有一天出廢品的概率；第一天出廢品，其余各天不出廢品的概率.課后作業(yè)P253,6,8第一章習(xí)題課一、基本知識點1、概率的定義2、概率的性質(zhì)3、基本公式：古典概型、條件概率公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式、獨立性、伯努利定理二典型例題例1、已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AjB)=0.6,求P(AB)，P(AIB)，P(AoB)例2、P(A)=0.4,P(B)=0.2,(1)若A,B互不相容，則P(AjB)=(2)若A,B相互獨立，則P(AjB)=例3、設(shè)某批產(chǎn)品中，甲，乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從中任取一件，求取到的是次品的概率；經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率。例4發(fā)報臺分別以概率和發(fā)出信號“”及“-”，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“”時，收報臺分別以概率及收到“”及“-”；又當(dāng)發(fā)出信號“-