矢勢(shì)及其微分方程市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、本章內(nèi)容：電磁場(chǎng)基本理論應(yīng)用到靜磁場(chǎng)情況，即研究恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)。在恒定電流情況下，電場(chǎng)也同時(shí)存在，電源及導(dǎo)線表面上都帶有一定電荷，但由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，因而電場(chǎng)和磁場(chǎng)能夠分開(kāi)研究。依據(jù)麥克斯韋方程組，恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)滿足：與靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)相相應(yīng)，靜磁場(chǎng)矢勢(shì)是一個(gè)主要概念。第三章 靜磁場(chǎng)第1頁(yè)第1頁(yè)一、矢勢(shì)1. 矢勢(shì)概念恒定電流磁場(chǎng)基本方程是上兩式結(jié)合物質(zhì)電磁性質(zhì)方程是解磁場(chǎng)問(wèn)題基礎(chǔ)。磁場(chǎng)特點(diǎn)和電場(chǎng)不同：靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，靜電場(chǎng)線永不閉合，能夠引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。靜磁場(chǎng)是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線。普通情況下不能用標(biāo)勢(shì)描述。3.1 矢勢(shì)及其微分方程第2頁(yè)第

2、2頁(yè)但由于,因此B能夠表為另一矢量場(chǎng)旋度，即A稱為磁場(chǎng)矢勢(shì)。2. 矢勢(shì)A物理意義為了看出矢勢(shì)A意義，我們考察上式積分形式。把B對(duì)任一個(gè)以回路L為邊界曲面S積分，得這就是通過(guò)曲面S磁通量。設(shè)S1和S2是兩個(gè)有共同邊界L曲面，則這正是B無(wú)源性表現(xiàn)。第3頁(yè)第3頁(yè)由于是無(wú)源，在S1和S2所包圍區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，B線連續(xù)地通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)曲面S1磁通量必須等于通過(guò)曲面S2磁通量。這磁通量由矢勢(shì)A對(duì)S1或S2邊界環(huán)量表示。因此，矢勢(shì)A物理意義是它沿任一閉合回路環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界任一曲面磁通量。只有A環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上值沒(méi)有直接物理意義。由矢勢(shì)A能夠擬定磁場(chǎng)B，但

3、是由磁場(chǎng)B并不能唯一地?cái)M定矢勢(shì)A。比如：有沿Z 軸方向均勻磁場(chǎng):其中B0為常量。第4頁(yè)第4頁(yè)由定義式:我們不難看出有解：同時(shí)還能夠看出有另一解：第5頁(yè)第5頁(yè)3. 擬定A輔助條件A這種任意性是由于只有A環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上A本身沒(méi)有直接物理意義。由于任意函數(shù) ，其梯度旋度恒為零，故有即與A相應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)B。由于A這種任意性，要擬定A ，必須加一個(gè)輔助條件。最慣用辦法就是令第6頁(yè)第6頁(yè)證實(shí)：在所有能夠描述磁場(chǎng)矢勢(shì)中，必存在一個(gè)矢勢(shì)A，滿足證：設(shè)有一個(gè)A，滿足我們另取一個(gè)矢勢(shì)顯然 A能夠描述磁場(chǎng)，即，但現(xiàn)在一個(gè)解，問(wèn)題得證。取 為泊松方程當(dāng)加上輔助條件 以后，A就能夠擬定下來(lái)。對(duì)A所加輔助條

4、件稱為規(guī)范條件。第7頁(yè)第7頁(yè)二、矢勢(shì)微分方程1. A微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。B=A=H，代入方程得矢勢(shì)A微分方程H = J 由矢量分析公式得若取A滿足規(guī)范條件A = 0 ，得矢勢(shì)微分方程A每個(gè)直角分量Ai滿足泊松方程第8頁(yè)第8頁(yè)2. 若J已知，求A對(duì)比解方程解應(yīng)為：因此方程解為：能夠證實(shí)上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程解。式中x是源點(diǎn), x為場(chǎng)點(diǎn)，r為由x到x距離。若討論真空情形，令=0即可。第9頁(yè)第9頁(yè)3. 依據(jù)A求B對(duì)于線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上電流強(qiáng)度，作代換JdVIdl，得這就是畢奧薩伐爾定律給出結(jié)果。第10頁(yè)第10頁(yè)三、矢勢(shì)邊值關(guān)系由前面知，當(dāng)全空間電流分布J給定期，能夠計(jì)

5、算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微分方程邊值問(wèn)題必定要用到矢勢(shì)邊值關(guān)系。在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)邊值關(guān)系為將場(chǎng)量用矢勢(shì)A表示出來(lái)，即可得到矢勢(shì)邊值關(guān)系。矢勢(shì)邊值關(guān)系為第11頁(yè)第11頁(yè)四、靜磁場(chǎng)能量1. 磁場(chǎng)總能量靜磁場(chǎng)總能量為由于因此若取規(guī)范A = 0 ，能夠證實(shí)能夠用較簡(jiǎn)樸形式A1=A2代替。第12頁(yè)第12頁(yè)僅對(duì)總能量故意義，不能把(AJ)/2看作能量密度，由于我們知道能量分布于磁場(chǎng)內(nèi)，而不但僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。和靜電情形同樣，公式：在上式中，矢勢(shì)A是電流分布J本身激發(fā)。某電流分布J 在給定外磁場(chǎng)中互相作用能量又如何呢？2. 電流與外磁場(chǎng)互相作用能假如我們要計(jì)算某電流分布J在

6、給定外磁場(chǎng)中互相作用能量，以Ae表示外磁場(chǎng)矢勢(shì)，Je表示產(chǎn)生該外磁場(chǎng)電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場(chǎng)矢勢(shì)為A+Ae，第13頁(yè)第13頁(yè)因此，電流J在外場(chǎng)中互相作用能為：磁場(chǎng)總能量為由于積分表示式中兩項(xiàng)相等，因此電流J在外場(chǎng)Ae中互相作用能量為第14頁(yè)第14頁(yè)ozdzRPI例1 無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I ，求磁場(chǎng)矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線垂直距離為R,電流元利用得積分是發(fā)散。計(jì)算兩矢勢(shì)差值能夠免去發(fā)散。Idz到P點(diǎn)距離為第15頁(yè)第15頁(yè)若取R0點(diǎn)矢勢(shì)為零，計(jì)算可得取A旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度第16頁(yè)第16頁(yè)解：線圈電流產(chǎn)生矢勢(shì)為例2 半徑為a導(dǎo)線園環(huán)載電流I ，求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。用球坐標(biāo) (R, ) ，由對(duì)稱性可知A只有 分量，A 只依賴于R,而與 無(wú)關(guān)。因此我們能夠選定在xz面上一點(diǎn)P來(lái)計(jì)算，在該點(diǎn)上 A = Ay 。取y分量。由于第17頁(yè)第17頁(yè)則上式積分可用橢園積分表示。當(dāng) 時(shí)，能夠較簡(jiǎn)樸計(jì)算出近似結(jié)果。把根式對(duì)展開(kāi)。在積分表示式中展開(kāi)式偶次項(xiàng)對(duì)積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。若我們要計(jì)算B(R, )到二級(jí)近似。則A 需要算到三級(jí)項(xiàng)。 第18頁(yè)第18頁(yè),包括遠(yuǎn)場(chǎng)此式合用范圍是和近軸場(chǎng)我們計(jì)算近軸