2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)第三十九中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1用反證法證明“如果ab，那么”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是（）ABC且D或2已知函數(shù)，若且對任意的恒成立，則的最大值是（ ）A2B3C4D53在中,為銳角, ,則的形狀為( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D以上都不對4已知數(shù)列為等比數(shù)列，首

2、項(xiàng)，數(shù)列滿足，且，則（ ）A8B16C32D645歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（ ）A1BCD6定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（ ）A14個(gè)B13個(gè)C15個(gè)D12個(gè)7設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）ABCD8已知向量，且，則等于（ ）ABCD9設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）ABCD10定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（ ）ABCD11已知p：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，q：，若為真，為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

3、為ABCD12已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)，對任意，恒有，則的最小值為_.14雙曲線的焦點(diǎn)是，若雙曲線上存在點(diǎn)，使是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是_；15已知復(fù)數(shù)z滿足，則_16已知隨機(jī)變量，若，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，設(shè)“”.（1）若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)集合與集合的交集為，若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 18（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為1

4、00分），把其中不低于50分的分成五段，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從物理成績不及格的學(xué)生中選x人，其中恰有一位成績不低于50分的概率為，求此時(shí)x的值；19（12分）已知曲線 y = x3 + x2 在點(diǎn) P0 處的切線平行于直線4xy1=0，且點(diǎn) P0 在第三象限,求P0的坐標(biāo);若直線, 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.20（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，分別為線段，上的點(diǎn)，且，.(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳

5、二面角21（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.22（10分）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸（1）求的方程（2）過的直線交于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)證明：直線的斜率成等差數(shù)列參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】解：因?yàn)橛梅醋C法證明“如果ab，那么”假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是或，選D2、B【解析】分析：問題轉(zhuǎn)化為對任意 恒成立，求正整數(shù)的值設(shè)函數(shù) ，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)位于內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知 ，從而得到 0，則正整數(shù)的最大值可求詳解：因?yàn)?，所以對任?/p>

6、恒成立，即問題轉(zhuǎn)化為對任意 恒成立令，則 令 ，則 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增因?yàn)?所以方程 在 上存在唯一實(shí)根，且滿足 當(dāng) 時(shí)， ，即 ，當(dāng) 時(shí)，即，所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以 所以 因?yàn)椋?，故整?shù)的最大值是3，故選：B點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，如何求解函數(shù)的最小值，屬難題3、A【解析】分析：由正弦定理化簡并結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.詳解：，則由正弦定理可得：，即，則當(dāng)時(shí)，符合題意，故選：A.點(diǎn)睛：(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等判斷三角形的形狀，

7、應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理4、C【解析】先確定為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式和的通項(xiàng)公式，則可求【詳解】由題意知為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以公差，則，即，故，于是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差與等比的通項(xiàng)公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題5、B【解析】由題意將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡即可得答案【詳解】由 得 故選B【點(diǎn)睛】本題考查歐拉公式

8、的應(yīng)用，考查三角函數(shù)值的求法與復(fù)數(shù)的化簡求值，是基礎(chǔ)題6、A【解析】分析：由新定義可得，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，當(dāng)m=4時(shí)，數(shù)列中有四個(gè)0和四個(gè)1，然后一一列舉得答案詳解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，若m=4，說明數(shù)列有8項(xiàng)，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，

9、1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14個(gè)故答案為：A.點(diǎn)睛：本題是新定義題，考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，枚舉時(shí)做到不重不漏.7、B【解析】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)是定義上的偶函數(shù)，得到函數(shù)在單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得，即，即在上恒成立，則，解得，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性

10、質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利用函數(shù)的基本性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.8、B【解析】由向量垂直可得，求得x，及向量的坐標(biāo)表示，再利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算可求得模.【詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得x-4=0，解得x=4,所以 ，得=5，選B.【點(diǎn)睛】求向量的模的方法：一是利用坐標(biāo)，二是利用性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積求解.9、D【解析】先由題意得到，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記除法運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】由已知新運(yùn)算的意義

11、就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.11、B【解析】由pq為真，pq為假，知p，q有一個(gè)真命題一個(gè)假命題，由p得=m1-40，解得m1或m-1由q，得=16（m-1）1-160，解得1m3，分兩種情況求出實(shí)數(shù)m的取值范圍解答：解：pq為真，pq為假p，q中一個(gè)真命題一個(gè)假命題，由p：函數(shù)f（x）=x1+mx+1有兩個(gè)零點(diǎn)，得=m1-40，解得m1或m-1由q：xR，4x1+4（m-1）x+10得=16（m-1）1-160，解得1m3，當(dāng)p真q假時(shí)，有即m3或m-1當(dāng)p假q真，有即1m1實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-，-1）（1，13，+）故選B12、B【解析】由題意得，所以

12、復(fù)數(shù)的虛部為選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有最大值，且。又，。由題意得等價(jià)于。的最小值為。答案：14、【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個(gè)腰應(yīng)為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點(diǎn)在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，由雙曲線的定義可得，即，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出

13、等腰三角形的腰所在的位置.15、【解析】求出復(fù)數(shù)，代入模的計(jì)算公式得.【詳解】由，所以.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16、0.8【解析】直接根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到答案.【詳解】隨機(jī)變量，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對于正態(tài)分布對稱性的靈活運(yùn)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由已知可得，函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù)，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因?yàn)椤盀榧?，為真”等價(jià)于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實(shí)數(shù)的取值范圍

14、是.試題解析：函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)，若為真，則，解得（2），若為真，則，為假，為真，、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；2.命題的真假判斷及其邏輯運(yùn)算.18、（1）6；（2）75%；（3）4；【解析】（1）利用頻率分布直方圖可求得物理成績低于分的頻率，利用頻率乘以總數(shù)可得所求頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到物理成績不低于分的頻率，從而得到及格率；（3）計(jì)算出成績不低于分的人數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式可列出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】（1）物理成績低于分的頻率為：物理成績低于分的學(xué)生人數(shù)為：人（2）物理成績不低于分的

15、頻率為：這次考試物理學(xué)科及格率為：（3）物理成績不及格的學(xué)生共有：人其中成績不低于分的有：人由題意可知：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻數(shù)、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體數(shù)據(jù)特征、古典概型概率的應(yīng)用問題；關(guān)鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關(guān)知識點(diǎn)，考查概率和統(tǒng)計(jì)知識的綜合應(yīng)用.19、（1）（2）【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線的位置關(guān)系，平行和垂直的運(yùn)用以及直線方程的求解的綜合運(yùn)用首先根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，得到點(diǎn)P3的坐標(biāo)，然后利用，設(shè)出方程為x+2y+c=3,根據(jù)直線過點(diǎn)P3得到結(jié)論解：（1）由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=2，解之得

16、x=1當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2又點(diǎn)P3在第三象限，切點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-1，-2）；（2）直線 ll1，l1的斜率為2，直線l的斜率為-1/ 2 ，l過切點(diǎn)P3，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-1，-2）直線l的方程為y+2=（x+1）即x+2y+17=320、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意知，所以，所以，所以，又易知，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面?2

17、)由(1)知，兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，即，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，?1)知，所以，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，所以為平面的一個(gè)法向量所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故平面與平面所成的銳二面角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面垂直，以及求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理，以及二面角的空間向量的求法即可，屬于?？碱}型.21、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析【解析】（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極

18、值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！驹斀狻浚?）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，有極小值，無極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)為增函數(shù)，又，在上存在唯一零點(diǎn)，則，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上有最小值.ly，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，構(gòu)造新函數(shù)是難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于難題.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）由