2021屆二輪復習-專題七系列-不等式選講-學案(全國通用)

1、PAGE 第2講選修45 不等式選講 考情考向北京朝陽期末導航北京朝陽期末主要考查絕對值不等式的解法，求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應用成為命題的熱點真題體驗1(2020東營模擬卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)時，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)|x1|x|x2|(x1)當x1時，f(x)2(x1)20；當x1時，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集為(，1)(2)因為f(a)0

2、，所以a1.當a1，x(，1)時，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范圍是1，)2(2017東營模擬卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解：(1)當a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當x1時，式化為x23x40，無解；當1x1時，式化為x2x20，從而1x1；當x1時，式化為x2x40，從而1xeq f(1r(17),2).所以f(x)g(x)的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1

3、r(17),2).(2)當x1,1時，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價于當x1，1時，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍是1,1主干整合1絕對值不等式的性質(zhì)定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0，等號成立2|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc.(2)|axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的

4、解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點分段法求解(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1：設a，bR，則a2b22ab.當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則eq f(ab,2)eq r(ab)，當且僅當ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則eq f(abc,3)eq r(3,abc)，當且僅當abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術幾何平均數(shù)不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)(nN*，n1)，則eq f(a1a2an,n)eq r(n,a1a2an)，當且僅當a1a2an時，等號成立熱點一絕對值不等式的解法例1已知f(x)|x4|

5、x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集(2)若直線ykx2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點，求k的取值范圍審題指導(1)看到f(x)|x4|x1|3，聯(lián)想到分x1、1x4、x4三種情況去絕對值號(2)看到y(tǒng)kx2聯(lián)想到此直線恒過定點(0，2)解析(1)由f(x)2，得eq blcrc (avs4alco1(x1，,22x2，)或eq blcrc (avs4alco1(1x4，,02，)或eq blcrc (avs4alco1(x4，,2x82，)解得0 x5，故不等式f(x)2的解集為0,5(2)f(x)|x4|x1|3eq blcrc (avs4alco1(22x，x1，,0，1x4，,2x8

6、，x4，)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，直線ykx2過定點C(0，2)，當此直線經(jīng)過點B(4,0)時，keq f(1,2)；當此直線與直線AD平行時，k2，故由圖可知，k(，2)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，).(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合法可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法(2020聊城三模)已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x

7、28x15的解集解析：(1)證明：f(x)|x2|x5|eq blcrc (avs4alco1(3，x2，,2x7，2x5，,3，x5.)當2x5時，32x73.所以3f(3)3.(2)由(1)可知，當x2時，f(x)x28x15的解集為空集；當2x5時，f(x)x28x15的解集為x|5eq r(3)x5；當x5時，f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5eq r(3)x6熱點二不等式的證明邏輯推理素養(yǎng)邏輯推理不等式證明中心的核心素養(yǎng)通過不等式的證明掌握邏輯推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系，對式子進行等價變形，進而通過證明不

8、等式，體驗邏輯推理的核心素養(yǎng).例2(2020東營模擬卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.審題指導(1)利用重要不等式a2b22ab構(gòu)造三個不等式相加，再結(jié)合abc1進行證明(2)利用平均值不等式進行證明解析(1)證明：因為a2b22ab，b2c22ab，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbccaeq f(abbcca,abc)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).當且僅當abc1時，等號成立所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq

9、f(1,c)a2b2c2.(2)證明：因為a，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)33eq r(3,ab3bc3ac3)3(ab)(bc)(ac)3(2eq r(ab)(2eq r(bc)(2eq r(ac)24.當且僅當abc1時，等號成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.(2020蘇州二模)已知f(x)|2x1|xeq f(1,2)的最小值為m.(1)求m的值；(2)已知a，b，c是正實數(shù)，且abcm，求證：2(a3b3c3)abbcca3abc.解析：(1)當xeq f(1,2)時，f(x)3xeq f(1,2)在eq blcrc)(avs4alco1(f(1,

10、2)上單調(diào)遞增，且f(x)eq f(3,2)eq f(1,2)1；當xeq f(1,2)時，f(x)eq f(3,2)x在eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞減，且f(x)eq f(3,2)eq f(1,2)1.綜上可得xeq f(1,2)時，f(x)取得最小值1，即m1.(2)證明：a，b，c是正實數(shù)，且abc1，由a3b3a2bb2aa2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)(ab)20，則有a3b3a2bb2a0，即a3b3a2bb2aab(ab)ab(1c)ababc，所以a3b3ababc，同理可得b3c3bcabc；c3a3caabc，上面三式相

11、加得，2(a3b3c3)abbcca3abc，當且僅當abceq f(1,3)時取得等號不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明熱點三絕對值不等式恒成立(存在)問題例3(2020日照三模)已知函數(shù)f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4eq f(4,x12).(1)若f(2a21)4|a1|，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在實數(shù)x，y，使f

12、(x)g(y)0，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)f(2a21)4|a1|，|2a22a|a21|4|a1|，|a1|(2|a|a1|4)0，|2a|a1|4且a1.若a1，則2aa14，aeq f(5,3)；若1a0，則2aa14，a3，此時無解；若a0且a1，則2aa14，a1.綜上所述，a的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(5,3)(1，)(2)g(x)(x1)2eq f(4,x12)52 eq r(x12f(4,x12)51，顯然可取等號，g(x)min1.于是，若存在實數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)

13、(xa2)|(a1)2，(a1)21，1a11，0a2，即a0,21求含絕對值號函數(shù)的最值的兩種方法(1)利用|a|b|ab|a|b|求解(2)將函數(shù)化為分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解2恒成立(存在)問題的等價轉(zhuǎn)化f(x)Mf(x)M任意x恒成立f(x)minMf(x)maxM存在x成立f(x)maxMf(x)minM(2020東營模擬卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)eq blcrc (avs4alco1(2，x1，,2x，1x1，,2，x1.)故

14、不等式f(x)1的解集為x|xeq f(1,2)(2)當x(0,1)時|x1|ax1|x成立等價于當x(0,1)時|ax1|1成立若a0，則當x(0,1)時|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集為0 xeq f(2,a)，所以eq f(2,a)1，故0a2.綜上，a的取值范圍為(0,2限時45分鐘滿分50分解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分)1(2020東營模擬卷)設函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當x0，)時，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)當xeq f(1,2)時，f(x)2x1x13x，當eq f(1,2)x1時，f(x)2x1x1x

15、2.當x1時，f(x)2x1x13x，由此可畫出函數(shù)f(x)的圖象(2)由圖象可得，b2，a3，所以ab的最小值為5.2(2020湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|x2|xa|，其中aR.(1)當a1時，求不等式f(x)6的解集；(2)若存在x0R，使得f(x0)2 020a，求實數(shù)a的取值范圍解析：(1)當a1時，f(x)|x2|x1|eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,3，1x2，,2x1，x2.)所以f(x)6eq blcrc (avs4alco1(x1，,2x16)或eq blcrc (avs4alco1(1x2，,36)或eq blcrc (avs4alco1

16、(x2，,2x16，)解得xeq f(5,2)或xeq f(7,2)，因此不等式f(x)6的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|xf(5,2)或xf(7,2).(2)f(x)|x2|xa|(x2)(xa)|a2|，故f(x)min|a2|.由題意知，eq blcrc (avs4alco1(|a2|2 020a，,a0，)解得aeq f(2,2 019)，所以實數(shù)a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2 019)，).3(2020唐山摸底考試)已知f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)0的解集；(2)若xR時，不等式f(x)ax恒成立，求a的取值范

17、圍解析：(1)由題意得|x1|2x1|，所以|x1|2|2x1|2，整理可得x22x0，解得0 x2，故原不等式的解集為x|0 x2(2)由已知可得，af(x)x恒成立，設g(x)f(x)x，則g(x)eq blcrc (avs4alco1(2，x1，,2x，1xf(1,2)，,2x2，xf(1,2).)由g(x)的單調(diào)性可知，xeq f(1,2)時，g(x)取得最大值1，所以a的取值范圍是1，)4(2020東營模擬卷)設x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2eq f(1,3)成立，證明：a3或a1.解析：兩個問都是考查

18、柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型(1)(x1)2(y1)2(z1)2(121212)(x1)(y1)(z1)2(xyz1)24故(x1)2(y1)2(z1)2eq f(4,3)等號成立當且僅當x1y1z1而又因xyz1，解得eq blcrc (avs4alco1(xf(5,3),yf(1,3),zf(1,3)時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為eq f(4,3).(2)因為(x2)2(y1)2(za)2eq f(1,3)，所以(x2)2(y1)2(za)2(121212)1.根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當x2y1za，即eq blcrc (avs4alco1(x2f(a2,3),y1f(a2,3),zaf(a2,3)時有(x2)2(y1)2(za)2(121212)(x2y1za)2(a2)2成立所以(a2)21成立，所以有a3或a1.5(2020遼寧重點協(xié)作校模擬)已知函數(shù)f(x)|xb2|x1|，g(x)|xa2c2|x2b2|，其中a，b，c均為正實數(shù)，且abbcac1.(1)當b1時，求不等式f(x)1的解集；(2)當xR時，求證f(x)g(x)解析：(1)由題意，當b1時，f(x)|xb2|x1|eq blcrc (avs4alco1(2，x1，,2x，1x1，,2，x1，)當x1時，f(x)21，不等式f(x)1無解，不等式f(