“泛函分析”課程學(xué)習(xí)指南

1、PAGE PAGE 3“泛函分析”課程學(xué)習(xí)指南本課程主要分為四部分內(nèi)容：緒論，空間理論，算子理論和算子譜理論。緒論從分析和代數(shù)中的若干問題出發(fā)，運用類比、聯(lián)想、化歸等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，詮釋數(shù)學(xué)研究的基本思想?？臻g理論中主要介紹距離空間，賦范空間和內(nèi)積空間三類空間結(jié)構(gòu)，重點講授Hilbert空間的幾何特征。算子理論中主要介紹了Banach空間中有界線性算子的基本定理和它們的應(yīng)用，即：一致有界原則，開映射定理，閉圖像定理和Hahn-Banach定理，這是本門課程的核心內(nèi)容。算子譜理論中主要介紹有界線性算子的基本性質(zhì)，重點講述了有界自共軛算子和緊算子譜的性質(zhì)。為了讓學(xué)生更

2、好地理解和掌握這些內(nèi)容，下面按章列出知識要點，重點難點和學(xué)習(xí)要求。緒論1. 知識要點泛函分析中十分抽象的基本概念（空間的結(jié)構(gòu)、收斂性、按坐標(biāo)分解等）的來源和背景 2. 重點難點從有限維空間到無窮維空間的過渡，數(shù)學(xué)研究的基本方法：化歸，類比，歸納，聯(lián)想。3. 學(xué)習(xí)要求從分析和代數(shù)中具體的實例中感悟數(shù)學(xué)研究的思想方法。第一章 距離空間1. 知識要點距離空間的定義； 收斂性； 開集； 閉集； 連續(xù)映射；可分的距離空間；距離空間中的列緊集；完備的距離空間；距離空間的完備化；壓縮映射原理2. 重點難點一些具體的距離空間（如： ）的完備性，可分性及收斂的具體含義。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 掌握距離空間的定義及

3、例；(2) 掌握距離空間中點集的拓撲概念；(3) 清楚具體的距離空間的拓撲性質(zhì)和收斂的具體含義；(4) 掌握壓縮映射原理的內(nèi)容及證明，并能利用壓縮映射原理解決一些具體問題。第二章 賦范空間1. 知識要點賦范空間和Banach空間的定義；范數(shù)與距離的關(guān)系；Riesz引理；有限維空間的幾何特征；賦范空間中的級數(shù)；賦范空間的商空間2. 重點難點(1) 范數(shù)與距離的關(guān)系；(2) Riesz引理的內(nèi)容與應(yīng)用。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 掌握賦范空間的定義和典型例子；(2) 能夠證明一些具體空間是賦范空間及它的完備性；(3) 準(zhǔn)確掌握Riesz引理的背景，內(nèi)容和應(yīng)用；(4) 掌握有限維空間的幾何特征；(5) 了

4、解賦范空間中的級數(shù)和商空間的含義。第三章 內(nèi)積空間1. 知識要點內(nèi)積空間的定義；內(nèi)積與范數(shù)的關(guān)系；Hilbert空間；正交與正交補集；嚴格凸；最佳逼近定理；正交分解定理；Fourier級數(shù)及其收斂性；Bessel 不等式；正交基；正交列的完備性；可分的Hilbert 空間2. 重點難點(1) 正交分解定理的內(nèi)容及應(yīng)用；(2) 正交列的完備性。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 準(zhǔn)確掌握內(nèi)積空間的定義及典型例子；(2) 掌握正交補集的概念，并能求出具體空間下某些集合的正交補集；(3) 準(zhǔn)確掌握正交分解定理，并會利用正交分解定理解決問題；(4) 掌握Fourier級數(shù)的收斂性；(5) 準(zhǔn)確掌握正交列的完備性的四

5、個充要條件。第四章 有界線性算子1. 知識要點有界線性算子和有界線性泛函的定義；有界線性算子空間；有界線性算子按算子的范數(shù)收斂；強收斂；有界線性算子空間的完備性；Baire綱定理；一致有界原則；開映射定理；逆算子定理；閉算子的定義；閉圖像定理2. 重點難點(1) 計算具體有界線性算子的范數(shù)；(2) 一致有界原則的內(nèi)容及應(yīng)用；(3) 開映射定理的內(nèi)容及應(yīng)用；(4) 閉算子和有界（連續(xù)）算子的聯(lián)系和區(qū)別；(5) 閉圖像定理的內(nèi)容。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 掌握有界線性算子和有界線性泛函的定義；(2) 能夠計算具體的有界線性算子的范數(shù)；(3) 準(zhǔn)確了解線性算子按范數(shù)收斂和強收斂的聯(lián)系和區(qū)別；(4) 準(zhǔn)確

6、把握Baire綱定理的內(nèi)容；(5) 準(zhǔn)確掌握一致有界原則，并能熟練應(yīng)用；(6) 準(zhǔn)確掌握開映射定理的內(nèi)容，清楚定理證明的思想；(7) 掌握逆算子定理的內(nèi)容，并能用開映射定理證明逆算子定理；(8) 掌握閉算子的定義及其充要條件；(9) 掌握閉圖像定理的內(nèi)容，清楚定理證明的思路。第五章 共軛空間和共軛算子1. 知識要點Hahn-Bacach定理；共軛空間；Riesz表示定理；Hilbert空間的共軛空間；Hilbert空間的共軛算子；有界自共軛算子的定義；自共軛算子的性質(zhì)；Banach空間的共軛算子；自反性；弱收斂2. 重點難點(1) 用Riesz表示定理推導(dǎo)Hilbert空間的共軛空間；(2)

7、計算具體算子的共軛算子。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 會應(yīng)用Hahn-Banach定理及其推論；(2) 準(zhǔn)確掌握Riesz表示定理的內(nèi)容；(3) 準(zhǔn)確掌握Hilbert空間的共軛空間是它本身；(4) 能夠計算具體有界線性算子的共軛算子；(5) 熟練掌握自共軛算子的性質(zhì)；(6) 了解Banach空間的共軛算子，自反性和弱收斂的定義。第六章 線性算子的譜理論1. 知識要點線性算子譜點和正則點的定義；特征值和特征元素；閉線性算子的正則點；有界線性算子的譜集的性質(zhì)；有界線性算子的譜半徑；有界自共軛線性算子譜集的性質(zhì)；緊線性算子的定義和例；緊線性算子譜集的性質(zhì)；Fredholm抉擇定理2. 重點難點(1) 自共軛線性算子譜集的性質(zhì)及譜分布；(2) 緊線性算子的特征值，剩余譜和連續(xù)譜的性質(zhì)。3. 學(xué)習(xí)要求(1) 掌握線性算子譜點