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文檔簡介
數(shù)字濾波基礎(chǔ)信號(hào)處理最廣泛的應(yīng)用是濾波。濾波器是以特定方式改變信號(hào)的頻率特性,而實(shí)現(xiàn)信號(hào)變換的系統(tǒng)。數(shù)字濾波,是指輸入、輸出均為離散時(shí)間信號(hào),通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的算法。信號(hào)分析與處理2相對(duì)模擬濾波器,數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)如下:精度高、穩(wěn)定性高、靈活性高并能進(jìn)行處理。數(shù)字濾波器的局限性:速度、頻率不夠高,復(fù)雜情況下尚不滿足實(shí)時(shí)性要求,不適宜處理很高頻率的信號(hào)。
簡而言之,數(shù)字濾波器只不過是由一系列濾波器系數(shù)定義的方程,這些方程是數(shù)字濾波程序中算法的基礎(chǔ),濾波程序接收并處理原始數(shù)據(jù),輸出濾波后數(shù)據(jù)。數(shù)字濾波基礎(chǔ)信號(hào)分析與處理35.1線性非移變離散系統(tǒng)時(shí)域分析5.1.1
線性非移變離散系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)離散系統(tǒng),輸入是一序列,輸出也是一序列,系統(tǒng)的功能是實(shí)現(xiàn)輸入序列至輸出序列的運(yùn)算、變換,如圖5.1所示,圖中的T[·]表示運(yùn)算變換的關(guān)系,即y(n)
T[x(n)]T
[·]x
(
n
)
y
(
n
)圖5.1
離散系統(tǒng)的原理框圖對(duì)T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)信號(hào)分析與處理45.1.1
線性非移變離散系統(tǒng)其中最重要、最基本的是“線性非移變(時(shí)不變)系統(tǒng)”,它是滿足均勻性、疊加性和非移變性的離散系統(tǒng)。若系統(tǒng)輸入是x
(n)時(shí),輸出為y(n),則所謂系統(tǒng)的均勻性是指當(dāng)輸入為ax
(n)時(shí),輸出為ay(n
)。信號(hào)分析與處理55.1.1
線性非移變離散系統(tǒng)而疊加性是指線性離散系統(tǒng)應(yīng)滿足疊加原理,即:若系統(tǒng)輸入序列為x1
(n)時(shí),輸出序列為y1
(n),輸入序列為x2
(n)時(shí),輸出序列為y2
(n
),疊加性則是當(dāng)輸入為a
x1
(n
)+bx2
(n
)時(shí),應(yīng)有T[ax1
(n)
bx2
(n)]
aT[x1
(n)]
bT[x2
(n)]
ay1
(n)
by2
(n)信號(hào)分析與處理65.1.1
線性非移變離散系統(tǒng)所謂非移變是指:離散系統(tǒng)的輸入為x(n
),輸出為y(n),則當(dāng)輸入移位N位為x
(n
–N
)時(shí),輸出也移N位為y
(n–N
),是非移變系統(tǒng)。若n對(duì)應(yīng)的是時(shí)間,非移變就是非時(shí)變或時(shí)不變,可表示為,若T
[x
(
n
)]
=y
(
n
)則T
[
x
(
n
–
N
)]=
y
(
n
–N
)
(5.3)式(5.3)中的N為任意整數(shù)。信號(hào)分析與處理75.1.2
離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-差分方程的建立在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中,輸入輸出的信號(hào)均是連續(xù)時(shí)間變量的函數(shù),描述其輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一般用微分方程,方程中包含有輸入信號(hào)x(t)、輸出信號(hào)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。信號(hào)分析與處理8差分方程的建立而在離散時(shí)間系統(tǒng)中,其輸入輸出的信號(hào)則是離散變量的函數(shù),描述其輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型采用差分方程,其中包含有輸入序列x(n
)、輸出序列y(n
)及其各階移位序列的組合。信號(hào)分析與處理9差分方程的建立例5.1
一個(gè)由計(jì)算機(jī)為中心構(gòu)成的防空系統(tǒng),它控制
飛行高度的過程為:由雷達(dá)測得某一時(shí)刻的
實(shí)際飛行高度為y(n),同時(shí)由計(jì)算機(jī)根據(jù)敵方飛行器與我方飛行參數(shù)計(jì)算出下一時(shí)刻
應(yīng)有的理論飛行高度x(n+1),信號(hào)分析與處理10差分方程的建立系統(tǒng)按
y(n)與x(n+1)兩者的偏差調(diào)整的飛行高度,設(shè) 改變其高度的速度在n時(shí)刻為v
(
n
),v
(
n
)正比于偏差,即v(n)
k[x(n
1)
y(n)]式中的k為比例系數(shù)。若兩次測量與計(jì)算的時(shí)間間隔是T秒,信號(hào)分析與處理11差分方程的建立則在T秒內(nèi),
飛行高度的改變量應(yīng)為y(n)
(kT
1)
y(n
1)
kTx(n)上式整理后得y(n
1)
y(n)
kT[x(n
1)
y(n)](5.4)也可以表示成y(n
1)
(kT
1)y(n)
kTx(n
1)
(5.5)信號(hào)分析與處理12差分方程的建立為了能用數(shù)字技術(shù)研究、分析和處理連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),要求用離散系統(tǒng)來模仿連續(xù)系統(tǒng),從數(shù)學(xué)的角度來考慮,就是要建立離散系統(tǒng)的差分方程,模仿連續(xù)系統(tǒng)微分方程,并使差分方程成為微分方程的數(shù)值近似解。一個(gè)RC連續(xù)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)與對(duì)它進(jìn)行模仿的離散系統(tǒng)如圖5.2所示。信號(hào)分析與處理13差分方程的建立x
(
t
)0tRx
(
t
)Cy
(t
)y
(
t
)0tx
(
n
),
x
(
nT
)0nnTx
(
n
)T
[·]y
(
n
)y
(
n
),
y
(
nT
)0nnT連續(xù)系統(tǒng)RC網(wǎng)絡(luò)離散系統(tǒng)(對(duì)上述連續(xù)系統(tǒng)模仿)圖5.2
離散系統(tǒng)模仿連續(xù)系統(tǒng)信號(hào)分析與處理14上圖中RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為RC
dy(t)
y(t)
x(t)dt以差分近似上式中的微分,可得差分方程RC
y(nT
)
y[(n
1)T]
y(nT
)
x(nT
)T差分方程的建立信號(hào)分析與處理15差分方程的建立y[(n
1)T]
x(nT
)1
y(nT
)
TRC
T
RC
整理后得將上式簡寫為b0
y(n)
b1
y(n
1)
a0
x(n)由上例能夠推得一般線性非移變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,可用下述線性常系數(shù)差分方程描述信號(hào)分析與處理16b0
y(n)
b1
y(n
1)
bN
y(n
N
)
a0
x(n)
a1
x(n
1)
aM
x(n
M
)N
Mbk
y(n
k)
x(n
r)k
0
r
0或上式中的ar、bk
為方程中各項(xiàng)系數(shù),未知序列移序的最大值與最小值之差稱為差分方程的階次,若上式中的輸出序列為未知,則應(yīng)是N階差分方程。差分方程的建立信號(hào)分析與處理175.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析的基本任務(wù),是在已知系統(tǒng)狀態(tài)和輸入激勵(lì)信號(hào)下,求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng),都會(huì)涉及系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求解的問題,對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的方法有多種,主要分為時(shí)域和變換域兩類,如表5.1所示。信號(hào)分析與處理18系統(tǒng)類型基本方法連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型微分方程差分方程時(shí)域分析經(jīng)典時(shí)域法(通解+特解)拉氏變換(常用)連續(xù)卷積經(jīng)典時(shí)域法(通解+特解)z變換法(常用)離散卷積,遞推解法變換域分析傅氏變換H(j)拉氏變換H
(s)序列傅氏變換H
(e
j
)z變換H
(z)表5.1
系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解方法5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理191.差分方程的遞推解法例5.2一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)
ay(n
1)
x(n)設(shè)系統(tǒng)的起始條件為:n
<0
,y
(n
)=0
,且輸入為單位抽樣序列x
(n
)=δ
(n
),試求離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)序列y
(n
)。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理205.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析n
0
,n
1
,n
2
,n
3
,解:
用遞推法求解y(n)
x(n)
ay(n
1)y(0)
x(0)
ay(1)
1
a
0
1y(1)
x(1)
ay(0)
0
a
1
ay(2)
x(2)
ay(1)
0
a
a
a
2y(3)
x(3)
ay(2)
0
a
a
2
a3信號(hào)分析與處理21由上述遞推的規(guī)律,不難看出,輸出序列應(yīng)是y(n)
an
ε(n)上例中輸入與響應(yīng)的圖形如圖5.3所示。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析x
(n
)
=
δ(
n
)y
(n
)=
a
n0n0n圖5.1-3例題中的輸入與響應(yīng)序列信號(hào)分析與處理22與連續(xù)系統(tǒng)相類似,也可用方框圖,即所謂“運(yùn)算結(jié)構(gòu)圖”來表示這一運(yùn)算過程,同時(shí)也表明了一個(gè)離散系統(tǒng)所必須有的基本運(yùn)算部件,應(yīng)包括加法器、乘法器和延時(shí)器,例如一離散系統(tǒng)差分方程為:y
(
n
)
=
x
(
n
)
+
(
1/2
)
y
(
n-1
)上式中,y
(n
)-現(xiàn)時(shí)刻輸出;x
(n
)-現(xiàn)時(shí)刻輸入;y
(n-1)-前一時(shí)刻輸出5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理235.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析x
(n)1/2z
-1y
(n)加法器y
(n-1)1/2
y(n-1)乘法器 延時(shí)器圖5.4
離散系統(tǒng)框圖表示信號(hào)分析與處理24(
)例5.3
試用
語言編寫一通用程序,計(jì)算式(5.8)所表示的線性非移變離散系統(tǒng)差分方程,并利用所編寫的通用程序計(jì)算下列差分方程所表示的離散系統(tǒng)的輸出y
(n)。y(n)
y(n
1)
0.9
y(n
2)
2
cos(0.5n)
3cos(05n
1)
1
n
595.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理255.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析為便于應(yīng)用
計(jì)算,將式(5.8)改寫為b1
y(n)
b2
y(n
1)
bN
y(n
N
1)
a1
x(n)
a2
x(n
1)
aM
x(n
M
1)若給定系統(tǒng)的輸入,系統(tǒng)的輸出可表示為b1
y(n)
b2
y(n
1)
bN
y(n
N
1)
a1
x(n)
a2
x(n
1)
aM
x(n
M
1)信號(hào)分析與處理26010
20
30
40
50圖5.5
差分方程遞推計(jì)算結(jié)果60-4-2-3-11023計(jì)算結(jié)果如圖5.5所示。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理272.離散卷積解法在連續(xù)系統(tǒng)(如圖5.6)中,可以利用卷積的方法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),其原理是:5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析x
(
t
)h
(
t
)y
(
t
)圖5.6連續(xù)系統(tǒng)框圖信號(hào)分析與處理285.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析x(t)
其運(yùn)算過程如下:1.把激勵(lì)信號(hào)(輸入x
(t
))分解為沖激信號(hào)的疊加x(τ)δ(t
τ)Δτ2.求每一沖激信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)的沖激響應(yīng)(t
=τ時(shí),沖激信號(hào)的強(qiáng)度為x(τ)δ(t
τ)dτ
,由線性非時(shí)變3.將單獨(dú)的沖激響應(yīng)疊加lim
x(τ)Δτh(t
τ)Δτ
0
τ
04.得系統(tǒng)的總響應(yīng)(輸出)-連續(xù)卷積t0y(t)
x(
)h(t
)d性質(zhì),產(chǎn)生的響應(yīng)為x(τ)Δh(t
)t信號(hào)分析與處理29相類似,離散系統(tǒng)也可以采用離散卷積法求系統(tǒng)響應(yīng),思路是:輸入序列分解求分解后序列各個(gè)分量單獨(dú)作用的響應(yīng)將單獨(dú)作用響應(yīng)的疊加(求和,離散卷積和)離散系統(tǒng)總響應(yīng)-離散卷積法5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理305.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析下面對(duì)上述離散卷積求解系統(tǒng)響應(yīng)的過程作具體的分析,并導(dǎo)出離散卷積的表達(dá)式。(1)輸入序列分解任一序列可以分解成一系列抽樣序列δ
(n
)的延時(shí)并加權(quán)之和。例如,序列x
(n
):x
(
n
)x
(-3)
x
(1)-3
–2
-1
0 1
2
3x
(2)n圖5.7
序列分解示例信號(hào)分析與處理315.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析圖5.7
所示序列可表示成x(n)
x(3)δ(n
3)
x(1)δ(n
1)
x(2)δ(n
2)按上述表示類推,對(duì)于任意一個(gè)序號(hào)n=m處的序列值,可寫成x
(m)δ(n
–m)上式表示:單位抽樣序列移序m位,幅度
x
(m),任意序列都可以表示成這一系列
移序的單位抽樣序列之和,即x(n)
x(m)δ(n
m)m信號(hào)分析與處理32(2)序列各分量單獨(dú)作用的系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)下,線性非移變離散系統(tǒng)的輸入(激勵(lì))與輸出(響應(yīng))有如下關(guān)系δ(n)
h(n)單位抽樣響應(yīng)
系統(tǒng)非移變性質(zhì)δ(n
m)
h(n
m)x(m)δ(n
m)
x(m)h(n
m)線性(均勻性)特性5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理33(3)單獨(dú)作用響應(yīng)的疊加根據(jù)系統(tǒng)疊加原理,將上述分序列單獨(dú)作用響應(yīng)疊的輸入序列x(n)加,就可得到由這些各序列分量的輸出(響應(yīng))y(n)y
(n)
x(m
)h(n
m
)m
上式稱為離散卷積和,簡稱離散卷積,并記為y
(
n
)=
x
(
n
)
*
h
(
n
)由上式,說明離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入序列與系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)序列的離散卷積。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理345.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析離散卷積的運(yùn)算規(guī)則(性質(zhì))與連續(xù)卷積相似。(1)任意序列與單位抽樣序列的離散卷積即為序列本身。由離散卷積定義與式(5.9),立即可以得出x
(
n
)=
x
(
n
)*
δ
(
n
)(2)服從分配律,即x
(
n)
*
[
h1(
n)+
h2(
n)]
=
x
(
n)
*
h
1
(
n)
+
x
(
n)
*
h
2(
n)信號(hào)分析與處理35上式表明:兩個(gè)并聯(lián)的線性非移變系統(tǒng)等效于一個(gè)系統(tǒng),它的單位抽樣響應(yīng)等于兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)之和,如圖5.8
。(3)結(jié)合律[
x
(
n
)*
h
1
(
n
)
]
*
h
2
(
n) =
x
(
n)*[
h1
(
n)
*
h
2
(
n)
]5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析h
1
(
n
)h
2
(n
)y
(
n
)h
1
(n
)+
h
2
(n
)x
(
n
)y
(
n
)x
(
n
)圖5.8并聯(lián)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)信號(hào)分析與處理36上式表明:兩個(gè)串聯(lián)的線性非移變系統(tǒng)與其級(jí)聯(lián)次序無關(guān),且可等效于一個(gè)系統(tǒng),它的單位抽樣響應(yīng)是兩個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的卷積,如圖5.9所示。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析h
1
(n
)*
h
2
(n
)x
(
n
)y
(
n
)h
1
(n
)h
2
(n
)y
(n
)x
(n
)圖5.9串聯(lián)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)h
2
(n
)h
1
(n
)y
(n
)x
(n
)信號(hào)分析與處理37舉一個(gè)具3.離散卷積的計(jì)算及圖解說明為了更好地理解離散卷積的運(yùn)算過程,體例子,用圖形的變換作直觀地說明。
x(m)h(n
m)m運(yùn)算的過程包括:h(n)
h(m)
h(m)
h(n
m)
x(m)h(n
m)
x(m)h(n
m)mx(n)
x(m)5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理385.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析求解的是兩個(gè)序列x
(
n
)
=δ(0)
+δ(1)+δ(2)
+δ(3)
+δ(4)與h
(n)
=(1/2)[δ(0)+δ(1)+δ(2)+δ(3)
+δ(4)+δ(5)
]的離散卷積y
(n),運(yùn)算過程的圖解說明如下圖(圖5.10)所示。信號(hào)分析與處理395.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析x
(
n
)x
(
m
)N1=5點(diǎn)(0,1,2,3,4)0
1
2
3
4n
→
mh
(
n
)→h
(
m)11/2N2=6點(diǎn)(0,1,2,3,4,5)n
→
m變量置換0
1
2
3
4
5信號(hào)分析與處理405.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析h
(0
–
m
)x
(
m
)-5
-4
–3
-2
–1
0
1
2
3
4nn
=
0,
x
(
m
)
h
(0–
m
)
=
1/2反褶相乘h
(1
–
m
)x
(
m
)n
=
1
,
x
(
m
)
h
(1–m
)=
(1/2
)
+
(1/2
)
=
1┆-4
–3
–2–1 0
1
2
3
4m平移求和信號(hào)分析與處理415.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析n
=
9
,x
(m
)h
(9
–
m
)
=
1/2x
(
m)類推至n
=9,0
1 2
3y
(
n
)
=214
5
6 7
8
9
mx(
n
)
*
h
(
n
)N
=
N
1
+
N2
–
1
=
5
+6
-1=100
1
2
3
4
5
6
7 8
9
n圖5.10
求離散卷積的圖解說明卷積結(jié)果信號(hào)分析與處理42例5.4
設(shè)離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)
anε(n)試求當(dāng)輸入為單位階躍序列x(n)=ε(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y
(n)。(1)直接用卷積定義式求解
y(n)
x(n)
h(n)
x(m)h(n
m)
ε(m)anmε(n
m)(1
an1
)
n
0
1
1
am
mn
anmm0n1
a(n1)
an
am
an
m0
1
a15.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理431
z
a
zY
(z)
1
a
z
1 1
a
z
aan
ε(n)a1
aε(n)
11
a[1
an1
]ε(n)11
a對(duì)Y
(z
)作部分分式分解,并查z變換表可得y
(
n
)=
Z
–1
[
Y
(
z)
]
==由上可見,上述兩種方法求解結(jié)果是相同的。(2)利用z變換時(shí)域卷積定理Y
(z)
X
(z)H
(z)
= Z
[
x
(
n)
]
Z
[
a
n
ε
(
n)
]
=z
zz
1
z
a5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理444.離散系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域條件(1)因果系統(tǒng)所謂因果系統(tǒng)就是輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化的系統(tǒng)。線性非移變離散系統(tǒng)滿足因果系統(tǒng)的充要條件是h(
n)
=
0
,
n
<
0h
(
n)
=
h
(
n
)
ε
(n)或由此,也將x
(
n
)=
0的序列稱為因果序列。n
<05.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理45(2)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是指:只要輸入有界,輸出必有界的系統(tǒng)。判斷穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是單位抽樣響應(yīng)絕對(duì)可和,可表示成|
h
(n)
|
m
n|
h(n)
|
總之,一個(gè)離散系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是:單位抽樣響應(yīng)h
(n
)為右邊有界序列,即h(n)
h(n)ε(n)穩(wěn)定因果系統(tǒng)是工程上有意義而且能夠?qū)崿F(xiàn)的系統(tǒng),是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本目的。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理46例5.5有一離散系統(tǒng)的差分方程為y(
n
)
–
a
y
(
n
–
1)=
x
(
n
)當(dāng)給定初始條件為y
(n
)=0
,n
<0
,在輸入x
(n
)=δ
(n
)時(shí),例5.1中用遞推解法求得單位抽樣響應(yīng)h
(n
)為h(n)
an
ε(n)可見,h
(n
)為因果序列,系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。若當(dāng)|
a
|<1時(shí),h
(n
)收斂,絕對(duì)可和,是穩(wěn)定系統(tǒng),否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。5.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理475.1.3
離散系統(tǒng)時(shí)域分析但如果給定的起始條件是y
(n
)=0
,n
>0
,輸入x
(n
)=δ
(n
)時(shí),應(yīng)用遞推解法,可得出h(n)
an
ε(n
1)顯然,h
(n
)為非因果序列,系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。當(dāng)|
a
|>1時(shí),h
(n
)收斂,絕對(duì)可和,是穩(wěn)定系統(tǒng),否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。信號(hào)分析與處理485.2
離散系統(tǒng)的z域分析離散系統(tǒng)時(shí)域分析的方法,可以作為離散系統(tǒng)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的依據(jù),但作系統(tǒng)分析和綜合時(shí),則不如z域分析方法簡便。所謂z域分析方法是利用z變換的位移特
性,將時(shí)域表示的差分方程變換為z域表示的代數(shù)方程,使求解分析大為簡化。信號(hào)分析與處理495.2.1
差分方程的z變換解法例5.6設(shè)描述某一離散系統(tǒng)的差分方程為y
(
n
)
–
b
y
(
n
–
1)
=
x
(
n
)X
(z)
by(1)1
bz
1
1
bz
1Y
(z)
若系統(tǒng)輸入x
(n
)=ε
(n),起始值為y
(-1),求系統(tǒng)響應(yīng)y
(n
)。對(duì)上述差分方程兩邊取單邊z變換,并應(yīng)用z變換的位移特性,有Y
(z)
bz
1Y
(z)
by(1)
X
(z)信號(hào)分析與處理50X
(
z
)
=
Z [ε
(
n
)]
=z
1zz
2(z
1)(z
b)
by(1)zz
bY
(z)
則將上式展成部分分式,并進(jìn)行反變換得到1
1ε(n)
bn1ε(n)
y(1)bn1ε(n)1
b
1
by(n)
Y
(z)
1
z
b
z1
b
z
1
1
b
z
b
by(1)zz
b5.2.1
差分方程的z變換解法信號(hào)分析與處理51由上式可見,輸出響應(yīng)y
(
n)中包含了三個(gè)分量:其中的第一項(xiàng)是輸入激勵(lì)引起的系統(tǒng)響應(yīng)中的強(qiáng)迫分量(穩(wěn)態(tài)分量),第二項(xiàng)是系統(tǒng)響應(yīng)中的
分量(暫態(tài)響應(yīng)),這兩項(xiàng)稱為零狀態(tài)響應(yīng),第三項(xiàng)則是由系統(tǒng)起始狀態(tài)決定的分量(瞬態(tài)分量),稱為零輸入響應(yīng)。5.2.1
差分方程的z變換解法信號(hào)分析與處理525.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1.系統(tǒng)函數(shù)的定義由前述,線性非移變系統(tǒng)可用差分方程來描述,即b0
y(n)
b1
y(n
1)
bN
y(n
N
)
a0
x(n)
a1
x(n
1)
aM
x(n
M
)或N
Mbk
y(n
k)
x(n
r)k
0
r
0當(dāng)系統(tǒng)處于零狀態(tài)下,對(duì)上式兩邊取z變換并利用z變換的位移特性可得N
MY
(z)bk
z
k
X
(z)ar
z
rk
0
r
0信號(hào)分析與處理53定義系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)為M
ar
z
rNbk
z
kk
0X
(z)H
(z)
Y
(z)
r
0
它表示系統(tǒng)在零狀態(tài)下,輸出序列的z變換與輸入z變換之比。因此系統(tǒng)函數(shù)H(z)反映了零狀態(tài)下,系統(tǒng)輸入輸出的傳輸關(guān)系,有Y
(
z)
=
H
(
z
)
X
(
z)y
(
n)
=
Z
–1
[Y
(z)]
=
Z
–1
[H
(
z
)
X
(
z
)]5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理542.系統(tǒng)函數(shù)與差分方程系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)與差分方程的各項(xiàng)系數(shù)有關(guān),所以和差分方程一樣,也是描述系統(tǒng)特征的數(shù)學(xué)模型,并且如果已知H
(z),由式(5.18),交叉相乘并進(jìn)行反變換,立即可以寫出系統(tǒng)的差分方程。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理555.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1).若1
≤r
≤M
,a
r
=0
,即只有a
0
≠0時(shí),k
0H
(z)
Nbk
z
ka0系統(tǒng)只含有N個(gè)極點(diǎn),無有限零點(diǎn),其值取決于系數(shù)b
k
,稱之為全極型系統(tǒng),記為AR模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為無限長序列,
上稱為無限沖激響應(yīng)(IIR)離散系統(tǒng),信號(hào)處理中作為一種典型的數(shù)字濾波器。信號(hào)分析與處理56(2).若1
≤k
≤M
,b
k
=0
,即只有b
0
≠0時(shí),Mr1H
(z)
ar
zb0
r
0若設(shè)b
0
=1
,則MH
(z)
ar
z
rr
0系統(tǒng)只含有N個(gè)零點(diǎn),無有限極點(diǎn),其值取決于系數(shù)ar
,稱之為全零型系統(tǒng),記為MA模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為有限長序列,
上稱為有限沖激響應(yīng)(FIR)離散系統(tǒng),信號(hào)處理中也是一種典型的數(shù)字濾波器。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理57(3).系統(tǒng)同時(shí)具有零點(diǎn)和極點(diǎn),H
(
z
)即為式(5.19)所示。稱為極-零型系統(tǒng),記為ARMA模型,也稱為自回歸滑動(dòng)平均模型。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)M
ar
z
rNbkz
kk
0X
(z)H
(z)
Y
(z)
r
0
信號(hào)分析與處理585.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Y
(z)
Y
(z)
Y
(z)X
(z)
1H
(z)
3.系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)與單位抽樣響應(yīng)h
(n
)若:一離散系統(tǒng)的輸入x
(n)=δ
(n),則X(z
)=1,系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為y
(
n)=
h(
n)
*x
(
n)=
h
(
n)
*δ
(
n)
=
h
(
n)從而有Y
(
z
)
=
Z
[
h(
n)
]Y
(
z)
=
H
(
z)X
(
z)可得=
Z
[
h
(
n
)
]
=h(n)znn信號(hào)分析與處理59即H
(
z)
=
Z
[
h
(
n)
]h(
n)=
Z
–1
[
H
(
z)
]表明:系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)與系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h
(n
)是一對(duì)z變換,如果需要求h
(n),通過求解H
(z)的反變換是最方便的。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理605.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)
by(n
1)
x(n)例5.7試求:系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)和單位抽樣響應(yīng)h
(n
)。解:對(duì)上述方程進(jìn)行雙邊z變換,可得Y
(z)
bz
1Y
(z)
X
(z)1
bz
11H
(z)
Y
(z)
X
(z)信號(hào)分析與處理61根據(jù)收斂域的不同,h
(n
)可以是左或右序列:h(n)
bn
ε(n)
是因果(右邊)序列。h(n)
bn
ε(n
1)是非因果(左邊)序列。|
z
|
b
,|
z
|
b
,由H
(z
)可以看出:它是全極型系統(tǒng),相應(yīng)地其單位脈沖響應(yīng)h
(n
)是一無限長序列,即“無限沖激響應(yīng)”。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理625.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)4.因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)的z域條件因果離散系統(tǒng)的時(shí)域條件,是h
(n
)為右邊序
列,因此其z變換H
(z
)的收斂域應(yīng)是一圓外域,并包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,其單位抽樣響應(yīng)h
(n
)必須是絕對(duì)可和的,即|
h(n)
|
n信號(hào)分析與處理63當(dāng)|
z
|=1時(shí),上式等價(jià)于|h(n)z
n
|
n顯然,若系統(tǒng)是穩(wěn)定的,系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)的收斂域必須包括單位圓。同時(shí)根據(jù)z變換收斂域內(nèi)不能有極點(diǎn)的性質(zhì),說明極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。
所以,離散系統(tǒng)因果穩(wěn)定的Z域條件是:系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)的收斂域必須是圓外域(包括單位圓和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)),并且所有極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。5.2.2
離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理645.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.定義系統(tǒng)函數(shù)H
(z
)在單位圓上的取值,就是離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),表示為H
(z)
|
H
(e
j
)ze
jN由前述,H
(z
)是h
(n
)的z變換,有M
h(n)znn
ar
z
r
r
0
bk
z
kk
0如果x
(
n
)、y
(
n)和h
(n
)滿足絕對(duì)可和的條件,則相應(yīng)地X
(z
)、Y
(
z
)和H
(
z)均在單位圓上收斂,這些序列的
變換存在(參見第4章),顯然當(dāng)
z
=
e
j
時(shí)有
Y
(z)H
(z)
X
(z)信號(hào)分析與處理65n
jnNkMrk
0
jk
r
0
jr
h(n)eb
ea
eY
(e
j
)X
(e
j
)H
(e
j
)由上式可見,離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有下列性質(zhì):它是輸出、輸入序列的
變換之比;它與差分方程的系數(shù)(系統(tǒng)參數(shù))有關(guān);頻率響應(yīng)H
(e
j
)是系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h
(n
)在單位圓上的z變換,即h
(
n
)的
變換。5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理66h(m)e
j
mm
e
j
n2.物理意義與連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)物理意義相似,離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),也是反映離散系統(tǒng)對(duì)輸入正弦序列作用下的響應(yīng)能力。設(shè):線性非移變因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h
(n
),輸入復(fù)指數(shù)序列為x(n)
e
j
n
,
n
根據(jù)離散卷積定義,系統(tǒng)輸出響應(yīng)y
(n
)為
y(n)
h(m)x(n
m)
h(m)e
j
(nm)m
m5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理67上式可寫成y(n)
H
(e
j
)e
j
n由上式可見,在復(fù)指數(shù)序列輸入下,系統(tǒng)響應(yīng)仍為同頻率的復(fù)指數(shù)序列,而它的復(fù)振幅是由系統(tǒng)頻率響應(yīng)H
(e
j
)所決定的,H
(e
j
)為數(shù)字角頻率的函數(shù),一般情況下是復(fù)數(shù),可以表示成幅度、相位的形式H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e
j()|
H
(ej
)|稱為離散系統(tǒng)的幅頻響應(yīng),
()稱為相頻響應(yīng)。當(dāng)輸入為正弦序列時(shí),它可以表示為復(fù)指數(shù)序列的疊加5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理682
j
2
j2
j
A
e
j
n
A
e
j
n
e
j
n
)x(n)
Asin
n
A
(e
j
n輸出響應(yīng)為上式右端兩項(xiàng)響應(yīng)的疊加,對(duì)于
A
e
j
n2
j的響應(yīng)y1
(n
)為j
nAj1y
(n)
H
(e
)e2
j
A
e
j
n2
j2的響應(yīng)y
(
n
)為
H
(e
j
)
A
e
j
n2
jm2y
(n)
2
j
h(m)e
j
m
A
e
j
n2
jh(m)
A
e
j(nm)m
5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理69考慮到:h
(n
)為實(shí)序列,H
(e
j
)與H
(e
-j
)為共軛復(fù)數(shù)h(m)e
H
(e )
|
H
(e )
|
ejm
j
j
j
()2
j
A
|
H
(e
j
)
|
sin[
n
()]
e
j[
n
(n)]}
A
|
H
(e
j
)
|
(
1
){e
j[n
(n)]m故總的響應(yīng)為y
(n
)為y(n)
y1
(n)
y2
(n)
A
{|
H
(e
j
)
|
e
j[
n
(n)]
|
H
(e
j
)
|
e
j[
n
(n)]}2
j5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理70由式(5.27)可見:當(dāng)離散系統(tǒng)輸入為正弦序列時(shí),穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是同頻率的正弦序列,其幅度和相位的變化將取決于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H
(e
j
)。如令x(n)
A
sin
(n
1
)y(n)
B
sin(n
2
)(5.28)(5.29)B
|
H
(ej
)
|A2
1
()上式說明:輸入的正弦序列通過系統(tǒng)后,其幅度衰減程度幅頻響應(yīng)|H(ej
)|的值,而相移則取決于相頻響應(yīng)()的值,如圖5.11所示。5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理715.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)x
(n
)
=
Asin
(n+θ1)A0-θ1/ny
(n
)=
Bsin
(n+θ2)B0-θ2/n圖5.11離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的物理意義信號(hào)分析與處理72N(z
pk
)k
1H
(z)
r
1
M3.頻率響應(yīng)的幾何確定法離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了可以根據(jù)上式定義直接求解外,還可以根據(jù)H(z)的零極點(diǎn)分布用幾何方法直觀地確定。若H
(z
)的零極點(diǎn)分布的表示式為(z
zr
)則系統(tǒng)頻響Nk
p
)M(e
j
zr
)(e
jk
1H
(e
j
)
r
1
|H
(e
j
)
|
e
j(
)5.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理73kkkr
A
e
j
rrje
j
ze
j
p
B
e從而幅頻特性為NMAr
Bkk
1|
H
(e
j
)
|
r
1
相頻特性為M
N()
r
kr
1
k
15.2.3
離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理745.3
模擬濾波器的基本概念其及設(shè)計(jì)方法5.3.1
基本概念根據(jù)有用信號(hào)與噪聲不同的特性,抑制不需要的噪聲或干擾,提取出有用信號(hào)的過程稱為濾波。根據(jù)濾波器所處理的信號(hào)不同,可以分為模擬濾波器與數(shù)字濾波器,本章模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)問題。一般線性非移變系統(tǒng)模擬濾波器的系統(tǒng)如圖5.24所示信號(hào)分析與處理755.3.1
基本概念濾波器的傳輸特性可以分為頻域和時(shí)域表示兩種。在頻域上可以用系統(tǒng)函數(shù)H(s)或頻率響應(yīng)H(
)來表示,在時(shí)域上可用濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)表示。x
(t
)X
(s
)h
(
t
)y
(t
)
=
x
(t
)
*
h
(t
)Y
(
s
)
=
H
(s
)X
(s
)X
()H
(
s
)Y
(ω)=
H
()
X
()H
()圖5.24
模擬濾波器系統(tǒng)框圖信號(hào)分析與處理765.3.2
信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件所謂信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵福狠斎胄盘?hào)通過系統(tǒng)后,輸出信號(hào)的幅度是輸入信號(hào)的比例放大,在出現(xiàn)的時(shí)間上允許有一定滯后,但沒有波形上的畸變,如圖5.24
。x
(
t
)
+
n
(
t)x
(t
)-信號(hào)n
(t
)-噪聲0y
(
t
)
=
K
x
(
t
–
t
d
)t
0tt
d圖5.24無失真?zhèn)鬏敃r(shí)輸入輸出信號(hào)的波形h
(
t
)H
(
)x
(
t
)
+
n
(
t)X
(
)y
(
t
)Y
(
)信號(hào)分析與處理77因而,輸入信號(hào)x
(t
)與輸出信號(hào)y
(t
)之間的關(guān)系為y
(
t
)=
K
x
(
t
–
t
d
)上式為無失真?zhèn)鬏數(shù)臅r(shí)域條件。下面再來看頻域條件,對(duì)上式兩邊作傅氏變換,并應(yīng)用變換的延時(shí)特性,可得輸出與輸入信號(hào)的頻譜關(guān)系為Y
(
)
Ke
j
td
X
(
)從而濾波器的頻率響應(yīng)X
(
)H
(
)
Y
(
)
Ke
j
td|
H
(
)
|
e
j(
)5.3.2
信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件信號(hào)分析與處理78d(
)
t|
H
(
)
|
K5.3.2
信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件0上式即為線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域條件:要使信號(hào)通過濾波器這樣的線性系統(tǒng)傳輸不失真,要求在信號(hào)全部頻帶上,系統(tǒng)的幅頻特性|
H
(
)|應(yīng)為一常數(shù),而其相頻特性
()與頻率成正比,這一條件可用圖5.25所示。|
H
(
)
|
()0圖5.25
無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻相頻特性信號(hào)分析與處理795.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性理想濾波器的特性要求對(duì)有用信號(hào)應(yīng)無失真?zhèn)鬏?,而能完?/p>
抑制無用信號(hào),對(duì)于頻率選擇濾波器,要求有用信號(hào)和無用
信號(hào)(噪聲、干擾)頻率不在同一頻帶內(nèi)。理想特性可歸納為12有用信號(hào)頻帶內(nèi),應(yīng)當(dāng)是常值幅頻,線性相頻;有用信號(hào)頻帶外,幅頻立即下降到零,相頻特性如何無關(guān)緊要;特性分為通帶和阻帶:通帶:信號(hào)能通過濾波器的頻帶;阻帶:信號(hào)受濾波器抑制的頻帶。理想特性如圖5.26所示,圖中的
c
為通帶截止頻率。3信號(hào)分析與處理805.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性|
H
()
|-c0c
()-c
0c
圖5.26
低通濾波器的理想特性信號(hào)分析與處理815.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性000根據(jù)通帶和阻帶位置不同,可分為四種理想濾波器的特性:低通、高通、帶通、帶阻四種,如圖5.27所示。在各種情況下,通帶內(nèi)的相位特性均應(yīng)是線性的。|
H
()
| |
H
()
| |
H
()| |
H
()|0低通高通帶通帶阻圖5.27濾波器四種理想特性信號(hào)分析與處理82但是理想的濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng),是物理不可實(shí)現(xiàn)的,以理想低通濾波器為例來說明這一點(diǎn)。理想低通濾波器的頻率特性表示為c0, |
|
, |
|
cH
(
)
Ke
j
td下面來看理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h
(t
)。為簡化起見,設(shè)K
=1,則h
(t
)為5.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性信號(hào)分析與處理835.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性h
(
t)
=
F
–1
[H
()](5.41)π0ddc1
2π
1
π
c
(t
td
)
c
sin
c
(t
td
)cos
(t
t
)dcos
(t
t
)d
[cos
(t
td
)
jsin
(t
td
)]d1
π0畫出上述時(shí)域單位沖激的輸入和單位沖激響應(yīng)的圖形如圖5.30信號(hào)分析與處理845.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性δ
(
t
)0th
(
t
)0
td
tπ/
c圖5.30
理想低通濾波器的沖激響應(yīng)信號(hào)分析與處理85一個(gè)實(shí)際低通濾波器的特性應(yīng)如圖5.31所示。5.3.3
濾波器的理想特性與實(shí)際特性|
H
()|δp0通帶過渡帶阻
帶δz
p
z圖5.31低通濾波器實(shí)際特性信號(hào)分析與處理865.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法模擬濾波器的設(shè)計(jì)一般包括兩個(gè)方面:首先是根據(jù)設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)即濾波器的幅頻特性要求,確定濾波器的傳遞函數(shù)H
(s
),其次是設(shè)計(jì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)(通常為電網(wǎng)絡(luò))實(shí)現(xiàn)這一傳遞函數(shù)。幅度特性
|
H
(
)
|也可寫成
|
H
(
j
)
|,而|
H
(
j
)
|許多情況下不是有理函數(shù),給設(shè)計(jì)
造成不便,因此,通常用幅度平方函數(shù)A
(
2
)來確定傳遞函數(shù)H
(
s
),所謂幅度平方函數(shù)為A(
2
)
|
H
(
j
)
|2任意一個(gè)復(fù)數(shù)模的平方可以表示為該復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積,即|
H
(
j
)
|2
H
(
j
)H
*
(
j
)信號(hào)分析與處理87A(
2
)
|
H
(
j
)
|2
H
(
j
)H
(j
)
H
(s)H
(s)
|s
j而H
(s)一般表示為具有實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)形式,式(5.47)表明幅度平方函數(shù)A
(
2
)是以
2
為變量的有理函數(shù)。顯然也可以把A
(
2
)表示成s
j
2
s2A(
2
)
A(s
2
)
|
A(
2
)
|由式(5.47)和(5.48)可得A(s
2
)
H
(s)H
(s)A(
2
)
|
2 2
A(s
2
)
H
(s)H
(s)s從而有5.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理88由式(5.50)可知:當(dāng)已知幅度平方函數(shù)A(
2)時(shí),以
2
=-s2代入,即可得到變量s2的有理函數(shù)A(-s2),然后求出其零極點(diǎn)并作適當(dāng)分配,分別作為H(s)和H(-s)的零極點(diǎn),就可以求得H(s)。主要的問題是如何分配零極點(diǎn)。由A(s
2
)
H
(s)H
(s)若H(s)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí),則H(-s)必然有一異號(hào)但大小相等的零點(diǎn)或極點(diǎn)與其對(duì)應(yīng),因此A(-s2)的零極點(diǎn)具有象限對(duì)稱性。若H(s)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上,則H
(s
)必有一零點(diǎn)或極點(diǎn)落在正實(shí)軸上,若H
(s
)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)為a
jb
(如圖5.30中的極點(diǎn)p
2、p
3和零點(diǎn)r
2、r
3),則H
(-s
)必有相應(yīng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)為
a
jb(p
2
‘、p3
’和r2
‘
、r
3
’)
,而在虛軸上的零極點(diǎn)必然是兩階的(如二階零點(diǎn)
r
1
(2)、r
1
‘(2)),在s
平面上的零極點(diǎn)分布如圖5.30所示。圖中的對(duì)稱形式稱為象限對(duì)稱,字符p表示極點(diǎn),r為零點(diǎn),在j軸上零點(diǎn)處括號(hào)中的數(shù)字表示零極點(diǎn)的階次,如(2)表示二階,上標(biāo)、下標(biāo)的字符表示相對(duì)稱的零極點(diǎn)。5.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理895.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法r
1
(2)p
1×r
3p
3×r
1
'(2)r
2
'×p
2
'p
2×p
1
'×r
4r
3
'×p
3
'jσ圖5.30H
(s
)與H
(-s
)零極點(diǎn)的象限對(duì)稱性r2r
4
'信號(hào)分析與處理90如何從A
(-s2
)的零極點(diǎn)分布來組合H
(s)的零極點(diǎn)呢?為了使濾波器穩(wěn)定,其極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面,因此所有落在左半平面的極點(diǎn)都屬于H(s),落在由半平面的極點(diǎn)都屬于H
(-s
)。而零點(diǎn)的選取原則上并無這種限制,任取其中的一半零點(diǎn)即可,其解一般并不是惟一的。但是如果要求H
(s)是具有最小相移的傳遞函數(shù),左半平面的零點(diǎn)引向虛軸j上任一點(diǎn)矢量的相位角(即濾波器的頻率響應(yīng)H
(j
)的相頻特性情況)要比右半平面零點(diǎn)的小,因此零點(diǎn)也應(yīng)全部選在左半平面,這樣零點(diǎn)的選擇也就成為惟一了。5.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理912
s(s
1
j)(s
1
j)2
2H
(s)
5.3.4
模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法例5.12
A(
2
)
2
21
4試求H
(s)。(s
1
j)(s
1
j)(s
1
j)(s
1
j)2
2
2
2若按穩(wěn)定性的要求選取極點(diǎn),按最小相位條件來選取零點(diǎn),零極點(diǎn)應(yīng)全部選在左半平面,則濾波器傳遞函數(shù)應(yīng)為( 2
s)( 2
s)
2
s
2
2
s2A(s
2
)
A(
2
)
|1
s
4信號(hào)分析與處理925.4
模擬濾波器的設(shè)計(jì)5.4.1沃思濾波器沃思(Butterworth)濾波器是以 沃思近似 近函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù),該函數(shù)以最高階臺(tái)勞級(jí)數(shù)形式
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