現(xiàn)代信號(hào)分析理論-與處理

數(shù)字濾波基礎(chǔ)信號(hào)處理最廣泛的應(yīng)用是濾波。濾波器是以特定方式改變信號(hào)的頻率特性，而實(shí)現(xiàn)信號(hào)變換的系統(tǒng)。數(shù)字濾波，是指輸入、輸出均為離散時(shí)間信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的算法。信號(hào)分析與處理2相對(duì)模擬濾波器，數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)如下：精度高、穩(wěn)定性高、靈活性高并能進(jìn)行處理。數(shù)字濾波器的局限性：速度、頻率不夠高，復(fù)雜情況下尚不滿足實(shí)時(shí)性要求，不適宜處理很高頻率的信號(hào)。

簡而言之，數(shù)字濾波器只不過是由一系列濾波器系數(shù)定義的方程，這些方程是數(shù)字濾波程序中算法的基礎(chǔ)，濾波程序接收并處理原始數(shù)據(jù)，輸出濾波后數(shù)據(jù)。數(shù)字濾波基礎(chǔ)信號(hào)分析與處理35.1線性非移變離散系統(tǒng)時(shí)域分析5.1.1

線性非移變離散系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)離散系統(tǒng)，輸入是一序列，輸出也是一序列，系統(tǒng)的功能是實(shí)現(xiàn)輸入序列至輸出序列的運(yùn)算、變換，如圖5.1所示，圖中的T[·]表示運(yùn)算變換的關(guān)系，即y(n)

T[x(n)]T

[·]x

(

n

)

y

(

n

)圖5.1

離散系統(tǒng)的原理框圖對(duì)T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)信號(hào)分析與處理45.1.1

線性非移變離散系統(tǒng)其中最重要、最基本的是“線性非移變（時(shí)不變）系統(tǒng)”，它是滿足均勻性、疊加性和非移變性的離散系統(tǒng)。若系統(tǒng)輸入是x

(n)時(shí)，輸出為y(n)，則所謂系統(tǒng)的均勻性是指當(dāng)輸入為ax

(n)時(shí)，輸出為ay(n

)。信號(hào)分析與處理55.1.1

線性非移變離散系統(tǒng)而疊加性是指線性離散系統(tǒng)應(yīng)滿足疊加原理，即：若系統(tǒng)輸入序列為x1

(n)時(shí)，輸出序列為y1

(n)，輸入序列為x2

(n)時(shí)，輸出序列為y2

(n

)，疊加性則是當(dāng)輸入為a

x1

(n

)+bx2

(n

)時(shí)，應(yīng)有T[ax1

(n)

bx2

(n)]

aT[x1

(n)]

bT[x2

(n)]

ay1

(n)

by2

(n)信號(hào)分析與處理65.1.1

線性非移變離散系統(tǒng)所謂非移變是指：離散系統(tǒng)的輸入為x(n

)，輸出為y(n)，則當(dāng)輸入移位N位為x

(n

–N

)時(shí)，輸出也移N位為y

(n–N

)，是非移變系統(tǒng)。若n對(duì)應(yīng)的是時(shí)間，非移變就是非時(shí)變或時(shí)不變，可表示為，若T

[x

(

n

)]

=y

(

n

)則T

[

x

(

n

–

N

)]=

y

(

n

–N

)

（5.3）式（5.3）中的N為任意整數(shù)。信號(hào)分析與處理75.1.2

離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型－差分方程的建立在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，輸入輸出的信號(hào)均是連續(xù)時(shí)間變量的函數(shù)，描述其輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一般用微分方程，方程中包含有輸入信號(hào)x(t)、輸出信號(hào)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。信號(hào)分析與處理8差分方程的建立而在離散時(shí)間系統(tǒng)中，其輸入輸出的信號(hào)則是離散變量的函數(shù)，描述其輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型采用差分方程，其中包含有輸入序列x(n

)、輸出序列y(n

)及其各階移位序列的組合。信號(hào)分析與處理9差分方程的建立例5.1

一個(gè)由計(jì)算機(jī)為中心構(gòu)成的防空系統(tǒng)，它控制

飛行高度的過程為：由雷達(dá)測得某一時(shí)刻的

實(shí)際飛行高度為y(n)，同時(shí)由計(jì)算機(jī)根據(jù)敵方飛行器與我方飛行參數(shù)計(jì)算出下一時(shí)刻

應(yīng)有的理論飛行高度x(n+1)，信號(hào)分析與處理10差分方程的建立系統(tǒng)按

y(n)與x(n+1)兩者的偏差調(diào)整的飛行高度，設(shè) 改變其高度的速度在n時(shí)刻為v

(

n

)，v

(

n

)正比于偏差，即v(n)

k[x(n

1)

y(n)]式中的k為比例系數(shù)。若兩次測量與計(jì)算的時(shí)間間隔是T秒，信號(hào)分析與處理11差分方程的建立則在T秒內(nèi)，

飛行高度的改變量應(yīng)為y(n)

(kT

1)

y(n

1)

kTx(n)上式整理后得y(n

1)

y(n)

kT[x(n

1)

y(n)]（5.4）也可以表示成y(n

1)

(kT

1)y(n)

kTx(n

1)

（5.5）信號(hào)分析與處理12差分方程的建立為了能用數(shù)字技術(shù)研究、分析和處理連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，要求用離散系統(tǒng)來模仿連續(xù)系統(tǒng)，從數(shù)學(xué)的角度來考慮，就是要建立離散系統(tǒng)的差分方程，模仿連續(xù)系統(tǒng)微分方程，并使差分方程成為微分方程的數(shù)值近似解。一個(gè)RC連續(xù)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)與對(duì)它進(jìn)行模仿的離散系統(tǒng)如圖5.2所示。信號(hào)分析與處理13差分方程的建立x

(

t

)0tRx

(

t

)Cy

(t

)y

(

t

)0tx

(

n

),

x

(

nT

)0nnTx

(

n

)T

[·]y

(

n

)y

(

n

)，

y

(

nT

)0nnT連續(xù)系統(tǒng)RC網(wǎng)絡(luò)離散系統(tǒng)（對(duì)上述連續(xù)系統(tǒng)模仿）圖5.2

離散系統(tǒng)模仿連續(xù)系統(tǒng)信號(hào)分析與處理14上圖中RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為RC

dy(t)

y(t)

x(t)dt以差分近似上式中的微分，可得差分方程RC

y(nT

)

y[(n

1)T]

y(nT

)

x(nT

)T差分方程的建立信號(hào)分析與處理15差分方程的建立y[(n

1)T]

x(nT

)1

y(nT

)

TRC

T

RC

整理后得將上式簡寫為b0

y(n)

b1

y(n

1)

a0

x(n)由上例能夠推得一般線性非移變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可用下述線性常系數(shù)差分方程描述信號(hào)分析與處理16b0

y(n)

b1

y(n

1)

bN

y(n

N

)

a0

x(n)

a1

x(n

1)

aM

x(n

M

)N

Mbk

y(n

k)

x(n

r)k

0

r

0或上式中的ar、bk

為方程中各項(xiàng)系數(shù)，未知序列移序的最大值與最小值之差稱為差分方程的階次，若上式中的輸出序列為未知，則應(yīng)是N階差分方程。差分方程的建立信號(hào)分析與處理175.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析的基本任務(wù)，是在已知系統(tǒng)狀態(tài)和輸入激勵(lì)信號(hào)下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，都會(huì)涉及系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求解的問題，對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的方法有多種，主要分為時(shí)域和變換域兩類，如表5.1所示。信號(hào)分析與處理18系統(tǒng)類型基本方法連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型微分方程差分方程時(shí)域分析經(jīng)典時(shí)域法（通解+特解）拉氏變換（常用）連續(xù)卷積經(jīng)典時(shí)域法（通解+特解）z變換法（常用）離散卷積，遞推解法變換域分析傅氏變換H（j）拉氏變換H

(s)序列傅氏變換H

(e

j

)z變換H

(z)表5.1

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解方法5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理191．差分方程的遞推解法例5.2一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)

ay(n

1)

x(n)設(shè)系統(tǒng)的起始條件為：n

<0

，y

(n

)=0

，且輸入為單位抽樣序列x

(n

)=δ

(n

)，試求離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)序列y

(n

)。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理205.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析n

0

,n

1

,n

2

,n

3

,解：

用遞推法求解y(n)

x(n)

ay(n

1)y(0)

x(0)

ay(1)

1

a

0

1y(1)

x(1)

ay(0)

0

a

1

ay(2)

x(2)

ay(1)

0

a

a

a

2y(3)

x(3)

ay(2)

0

a

a

2

a3信號(hào)分析與處理21由上述遞推的規(guī)律，不難看出，輸出序列應(yīng)是y(n)

an

ε(n)上例中輸入與響應(yīng)的圖形如圖5.3所示。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析x

(n

)

=

δ(

n

)y

(n

)=

a

n0n0n圖5.1-3例題中的輸入與響應(yīng)序列信號(hào)分析與處理22與連續(xù)系統(tǒng)相類似，也可用方框圖，即所謂“運(yùn)算結(jié)構(gòu)圖”來表示這一運(yùn)算過程，同時(shí)也表明了一個(gè)離散系統(tǒng)所必須有的基本運(yùn)算部件，應(yīng)包括加法器、乘法器和延時(shí)器，例如一離散系統(tǒng)差分方程為：y

(

n

)

=

x

(

n

)

+

(

1/2

)

y

(

n-1

)上式中，y

(n

)－現(xiàn)時(shí)刻輸出；x

(n

)－現(xiàn)時(shí)刻輸入；y

(n-1)－前一時(shí)刻輸出5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理235.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析x

(n)1/2z

-1y

(n)加法器y

(n-1)1/2

y(n-1)乘法器 延時(shí)器圖5.4

離散系統(tǒng)框圖表示信號(hào)分析與處理24（

）例5.3

試用

語言編寫一通用程序，計(jì)算式（5.8）所表示的線性非移變離散系統(tǒng)差分方程，并利用所編寫的通用程序計(jì)算下列差分方程所表示的離散系統(tǒng)的輸出y

(n)。y(n)

y(n

1)

0.9

y(n

2)

2

cos(0.5n)

3cos(05n

1)

1

n

595.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理255.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析為便于應(yīng)用

計(jì)算，將式（5.8）改寫為b1

y(n)

b2

y(n

1)

bN

y(n

N

1)

a1

x(n)

a2

x(n

1)

aM

x(n

M

1)若給定系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)的輸出可表示為b1

y(n)

b2

y(n

1)

bN

y(n

N

1)

a1

x(n)

a2

x(n

1)

aM

x(n

M

1)信號(hào)分析與處理26010

20

30

40

50圖5.5

差分方程遞推計(jì)算結(jié)果60-4-2-3-11023計(jì)算結(jié)果如圖5.5所示。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理272．離散卷積解法在連續(xù)系統(tǒng)（如圖5.6）中，可以利用卷積的方法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，其原理是：5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析x

(

t

)h

(

t

)y

(

t

)圖5.6連續(xù)系統(tǒng)框圖信號(hào)分析與處理285.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析x(t)

其運(yùn)算過程如下：1.把激勵(lì)信號(hào)（輸入x

(t

)）分解為沖激信號(hào)的疊加x(τ)δ(t

τ)Δτ2.求每一沖激信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)的沖激響應(yīng)（t

=τ時(shí)，沖激信號(hào)的強(qiáng)度為x(τ)δ(t

τ)dτ

，由線性非時(shí)變3.將單獨(dú)的沖激響應(yīng)疊加lim

x(τ)Δτh(t

τ)Δτ

0

τ

04.得系統(tǒng)的總響應(yīng)（輸出）－連續(xù)卷積t0y(t)

x(

)h(t

)d性質(zhì)，產(chǎn)生的響應(yīng)為x(τ)Δh(t

)t信號(hào)分析與處理29相類似，離散系統(tǒng)也可以采用離散卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)，思路是：輸入序列分解求分解后序列各個(gè)分量單獨(dú)作用的響應(yīng)將單獨(dú)作用響應(yīng)的疊加（求和，離散卷積和）離散系統(tǒng)總響應(yīng)－離散卷積法5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理305.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析下面對(duì)上述離散卷積求解系統(tǒng)響應(yīng)的過程作具體的分析，并導(dǎo)出離散卷積的表達(dá)式。（1）輸入序列分解任一序列可以分解成一系列抽樣序列δ

(n

)的延時(shí)并加權(quán)之和。例如，序列x

(n

)：x

(

n

)x

(-3)

x

(1)-3

–2

-1

0 1

2

3x

(2)n圖5.7

序列分解示例信號(hào)分析與處理315.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析圖5.7

所示序列可表示成x(n)

x(3)δ(n

3)

x(1)δ(n

1)

x(2)δ(n

2)按上述表示類推，對(duì)于任意一個(gè)序號(hào)n=m處的序列值，可寫成x

(m)δ(n

–m)上式表示：單位抽樣序列移序m位，幅度

x

(m)，任意序列都可以表示成這一系列

移序的單位抽樣序列之和，即x(n)

x(m)δ(n

m)m信號(hào)分析與處理32（2）序列各分量單獨(dú)作用的系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)下，線性非移變離散系統(tǒng)的輸入（激勵(lì)）與輸出（響應(yīng)）有如下關(guān)系δ(n)

h(n)單位抽樣響應(yīng)

系統(tǒng)非移變性質(zhì)δ(n

m)

h(n

m)x(m)δ(n

m)

x(m)h(n

m)線性（均勻性）特性5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理33（3）單獨(dú)作用響應(yīng)的疊加根據(jù)系統(tǒng)疊加原理，將上述分序列單獨(dú)作用響應(yīng)疊的輸入序列x(n)加，就可得到由這些各序列分量的輸出（響應(yīng)）y(n)y

(n)

x(m

)h(n

m

)m

上式稱為離散卷積和，簡稱離散卷積，并記為y

(

n

)=

x

(

n

)

*

h

(

n

)由上式，說明離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入序列與系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)序列的離散卷積。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理345.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析離散卷積的運(yùn)算規(guī)則（性質(zhì)）與連續(xù)卷積相似。（1）任意序列與單位抽樣序列的離散卷積即為序列本身。由離散卷積定義與式（5.9），立即可以得出x

(

n

)=

x

(

n

)*

δ

(

n

)（2）服從分配律，即x

(

n)

*

[

h1(

n)+

h2(

n)]

=

x

(

n)

*

h

1

(

n)

+

x

(

n)

*

h

2(

n)信號(hào)分析與處理35上式表明：兩個(gè)并聯(lián)的線性非移變系統(tǒng)等效于一個(gè)系統(tǒng)，它的單位抽樣響應(yīng)等于兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)之和，如圖5.8

。（3）結(jié)合律[

x

(

n

)*

h

1

(

n

)

]

*

h

2

(

n) =

x

(

n)*[

h1

(

n)

*

h

2

(

n)

]5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析h

1

(

n

)h

2

(n

)y

(

n

)h

1

(n

)+

h

2

(n

)x

(

n

)y

(

n

)x

(

n

)圖5.8并聯(lián)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)信號(hào)分析與處理36上式表明：兩個(gè)串聯(lián)的線性非移變系統(tǒng)與其級(jí)聯(lián)次序無關(guān)，且可等效于一個(gè)系統(tǒng)，它的單位抽樣響應(yīng)是兩個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的卷積，如圖5.9所示。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析h

1

(n

)*

h

2

(n

)x

(

n

)y

(

n

)h

1

(n

)h

2

(n

)y

(n

)x

(n

)圖5.9串聯(lián)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)h

2

(n

)h

1

(n

)y

(n

)x

(n

)信號(hào)分析與處理37舉一個(gè)具3．離散卷積的計(jì)算及圖解說明為了更好地理解離散卷積的運(yùn)算過程，體例子，用圖形的變換作直觀地說明。

x(m)h(n

m)m運(yùn)算的過程包括：h(n)

h(m)

h(m)

h(n

m)

x(m)h(n

m)

x(m)h(n

m)mx(n)

x(m)5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理385.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析求解的是兩個(gè)序列x

(

n

)

=δ(0)

+δ(1)+δ(2)

+δ(3)

+δ(4)與h

(n)

=(1/2)[δ(0)+δ(1)+δ(2)+δ(3)

+δ(4)+δ(5)

]的離散卷積y

(n)，運(yùn)算過程的圖解說明如下圖（圖5.10）所示。信號(hào)分析與處理395.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析x

(

n

)x

(

m

)N1=5點(diǎn)（0,1,2,3,4）0

1

2

3

4n

→

mh

(

n

)→h

(

m)11/2N2=6點(diǎn)(0,1,2,3,4,5)n

→

m變量置換0

1

2

3

4

5信號(hào)分析與處理405.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析h

(0

–

m

)x

(

m

)-5

-4

–3

-2

–1

0

1

2

3

4nn

=

0,

x

(

m

)

h

(0–

m

)

=

1/2反褶相乘h

(1

–

m

)x

(

m

)n

=

1

,

x

(

m

)

h

(1–m

)=

(1/2

)

+

(1/2

)

=

1┆-4

–3

–2–1 0

1

2

3

4m平移求和信號(hào)分析與處理415.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析n

=

9

,x

(m

)h

(9

–

m

)

=

1/2x

(

m)類推至n

=9，0

1 2

3y

(

n

)

＝214

5

6 7

8

9

mx(

n

)

*

h

(

n

)N

=

N

1

+

N2

–

1

=

5

+6

-1=100

1

2

3

4

5

6

7 8

9

n圖5.10

求離散卷積的圖解說明卷積結(jié)果信號(hào)分析與處理42例5.4

設(shè)離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)

anε(n)試求當(dāng)輸入為單位階躍序列x(n)=ε(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y

(n)。（1）直接用卷積定義式求解

y(n)

x(n)

h(n)

x(m)h(n

m)

ε(m)anmε(n

m)(1

an1

)

n

0

1

1

am

mn

anmm0n1

a(n1)

an

am

an

m0

1

a15.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理431

z

a

zY

(z)

1

a

z

1 1

a

z

aan

ε(n)a1

aε(n)

11

a[1

an1

]ε(n)11

a對(duì)Y

(z

)作部分分式分解，并查z變換表可得y

(

n

)=

Z

–1

[

Y

(

z)

]

==由上可見，上述兩種方法求解結(jié)果是相同的。（2）利用z變換時(shí)域卷積定理Y

(z)

X

(z)H

(z)

= Z

[

x

(

n)

]

Z

[

a

n

ε

(

n)

]

=z

zz

1

z

a5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理444．離散系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域條件（1）因果系統(tǒng)所謂因果系統(tǒng)就是輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化的系統(tǒng)。線性非移變離散系統(tǒng)滿足因果系統(tǒng)的充要條件是h(

n)

=

0

，

n

<

0h

(

n)

=

h

(

n

)

ε

(n)或由此，也將x

(

n

)=

0的序列稱為因果序列。n

<05.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理45（2）穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是指：只要輸入有界，輸出必有界的系統(tǒng)。判斷穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是單位抽樣響應(yīng)絕對(duì)可和，可表示成|

h

(n)

|

m

n|

h(n)

|

總之，一個(gè)離散系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是：單位抽樣響應(yīng)h

(n

)為右邊有界序列，即h(n)

h(n)ε(n)穩(wěn)定因果系統(tǒng)是工程上有意義而且能夠?qū)崿F(xiàn)的系統(tǒng)，是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本目的。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理46例5.5有一離散系統(tǒng)的差分方程為y(

n

)

–

a

y

(

n

–

1)=

x

(

n

)當(dāng)給定初始條件為y

(n

)=0

，n

<0

，在輸入x

(n

)=δ

(n

)時(shí)，例5.1中用遞推解法求得單位抽樣響應(yīng)h

(n

)為h(n)

an

ε(n)可見，h

(n

)為因果序列，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。若當(dāng)|

a

|<1時(shí)，h

(n

)收斂，絕對(duì)可和，是穩(wěn)定系統(tǒng)，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。5.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)分析與處理475.1.3

離散系統(tǒng)時(shí)域分析但如果給定的起始條件是y

(n

)=0

，n

>0

，輸入x

(n

)=δ

(n

)時(shí)，應(yīng)用遞推解法，可得出h(n)

an

ε(n

1)顯然，h

(n

)為非因果序列，系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。當(dāng)|

a

|>1時(shí)，h

(n

)收斂，絕對(duì)可和，是穩(wěn)定系統(tǒng)，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。信號(hào)分析與處理485.2

離散系統(tǒng)的z域分析離散系統(tǒng)時(shí)域分析的方法，可以作為離散系統(tǒng)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的依據(jù)，但作系統(tǒng)分析和綜合時(shí)，則不如z域分析方法簡便。所謂z域分析方法是利用z變換的位移特

性，將時(shí)域表示的差分方程變換為z域表示的代數(shù)方程，使求解分析大為簡化。信號(hào)分析與處理495.2.1

差分方程的z變換解法例5.6設(shè)描述某一離散系統(tǒng)的差分方程為y

(

n

)

–

b

y

(

n

–

1)

=

x

(

n

)X

(z)

by(1)1

bz

1

1

bz

1Y

(z)

若系統(tǒng)輸入x

(n

)=ε

(n)，起始值為y

(-1)，求系統(tǒng)響應(yīng)y

(n

)。對(duì)上述差分方程兩邊取單邊z變換，并應(yīng)用z變換的位移特性，有Y

(z)

bz

1Y

(z)

by(1)

X

(z)信號(hào)分析與處理50X

(

z

)

=

Z [ε

(

n

)]

=z

1zz

2(z

1)(z

b)

by(1)zz

bY

(z)

則將上式展成部分分式，并進(jìn)行反變換得到1

1ε(n)

bn1ε(n)

y(1)bn1ε(n)1

b

1

by(n)

Y

(z)

1

z

b

z1

b

z

1

1

b

z

b

by(1)zz

b5.2.1

差分方程的z變換解法信號(hào)分析與處理51由上式可見，輸出響應(yīng)y

(

n)中包含了三個(gè)分量：其中的第一項(xiàng)是輸入激勵(lì)引起的系統(tǒng)響應(yīng)中的強(qiáng)迫分量（穩(wěn)態(tài)分量），第二項(xiàng)是系統(tǒng)響應(yīng)中的

分量（暫態(tài)響應(yīng)），這兩項(xiàng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，第三項(xiàng)則是由系統(tǒng)起始狀態(tài)決定的分量（瞬態(tài)分量），稱為零輸入響應(yīng)。5.2.1

差分方程的z變換解法信號(hào)分析與處理525.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1．系統(tǒng)函數(shù)的定義由前述，線性非移變系統(tǒng)可用差分方程來描述，即b0

y(n)

b1

y(n

1)

bN

y(n

N

)

a0

x(n)

a1

x(n

1)

aM

x(n

M

)或N

Mbk

y(n

k)

x(n

r)k

0

r

0當(dāng)系統(tǒng)處于零狀態(tài)下，對(duì)上式兩邊取z變換并利用z變換的位移特性可得N

MY

(z)bk

z

k

X

(z)ar

z

rk

0

r

0信號(hào)分析與處理53定義系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)為M

ar

z

rNbk

z

kk

0X

(z)H

(z)

Y

(z)

r

0

它表示系統(tǒng)在零狀態(tài)下，輸出序列的z變換與輸入z變換之比。因此系統(tǒng)函數(shù)H(z)反映了零狀態(tài)下，系統(tǒng)輸入輸出的傳輸關(guān)系，有Y

(

z)

=

H

(

z

)

X

(

z)y

(

n)

=

Z

–1

[Y

(z)]

=

Z

–1

[H

(

z

)

X

(

z

)]5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理542．系統(tǒng)函數(shù)與差分方程系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)與差分方程的各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，所以和差分方程一樣，也是描述系統(tǒng)特征的數(shù)學(xué)模型，并且如果已知H

(z)，由式（5.18），交叉相乘并進(jìn)行反變換，立即可以寫出系統(tǒng)的差分方程。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理555.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1)．若1

≤r

≤M

，a

r

＝0

，即只有a

0

≠0時(shí)，k

0H

(z)

Nbk

z

ka0系統(tǒng)只含有N個(gè)極點(diǎn)，無有限零點(diǎn)，其值取決于系數(shù)b

k

，稱之為全極型系統(tǒng)，記為AR模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為無限長序列，

上稱為無限沖激響應(yīng)（IIR）離散系統(tǒng)，信號(hào)處理中作為一種典型的數(shù)字濾波器。信號(hào)分析與處理56(2)．若1

≤k

≤M

，b

k

＝0

，即只有b

0

≠0時(shí)，Mr1H

(z)

ar

zb0

r

0若設(shè)b

0

=1

，則MH

(z)

ar

z

rr

0系統(tǒng)只含有N個(gè)零點(diǎn)，無有限極點(diǎn)，其值取決于系數(shù)ar

，稱之為全零型系統(tǒng)，記為MA模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為有限長序列，

上稱為有限沖激響應(yīng)（FIR）離散系統(tǒng)，信號(hào)處理中也是一種典型的數(shù)字濾波器。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理57(3)．系統(tǒng)同時(shí)具有零點(diǎn)和極點(diǎn)，H

(

z

)即為式（5.19）所示。稱為極－零型系統(tǒng)，記為ARMA模型，也稱為自回歸滑動(dòng)平均模型。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)M

ar

z

rNbkz

kk

0X

(z)H

(z)

Y

(z)

r

0

信號(hào)分析與處理585.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Y

(z)

Y

(z)

Y

(z)X

(z)

1H

(z)

3．系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)與單位抽樣響應(yīng)h

(n

)若：一離散系統(tǒng)的輸入x

(n)=δ

(n)，則X(z

)=1，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為y

(

n)=

h(

n)

*x

(

n)=

h

(

n)

*δ

(

n)

=

h

(

n)從而有Y

(

z

)

=

Z

[

h(

n)

]Y

(

z)

=

H

(

z)X

(

z)可得=

Z

[

h

(

n

)

]

=h(n)znn信號(hào)分析與處理59即H

(

z)

=

Z

[

h

(

n)

]h(

n)=

Z

–1

[

H

(

z)

]表明：系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)與系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h

(n

)是一對(duì)z變換，如果需要求h

(n)，通過求解H

(z)的反變換是最方便的。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理605.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)

by(n

1)

x(n)例5.7試求：系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)和單位抽樣響應(yīng)h

(n

)。解：對(duì)上述方程進(jìn)行雙邊z變換，可得Y

(z)

bz

1Y

(z)

X

(z)1

bz

11H

(z)

Y

(z)

X

(z)信號(hào)分析與處理61根據(jù)收斂域的不同，h

(n

)可以是左或右序列：h(n)

bn

ε(n)

是因果（右邊）序列。h(n)

bn

ε(n

1)是非因果（左邊）序列。|

z

|

b

,|

z

|

b

,由H

(z

)可以看出：它是全極型系統(tǒng)，相應(yīng)地其單位脈沖響應(yīng)h

(n

)是一無限長序列，即“無限沖激響應(yīng)”。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理625.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)4.因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)的z域條件因果離散系統(tǒng)的時(shí)域條件，是h

(n

)為右邊序

列，因此其z變換H

(z

)的收斂域應(yīng)是一圓外域，并包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應(yīng)h

(n

)必須是絕對(duì)可和的，即|

h(n)

|

n信號(hào)分析與處理63當(dāng)|

z

|=1時(shí)，上式等價(jià)于|h(n)z

n

|

n顯然，若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)的收斂域必須包括單位圓。同時(shí)根據(jù)z變換收斂域內(nèi)不能有極點(diǎn)的性質(zhì)，說明極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。

所以，離散系統(tǒng)因果穩(wěn)定的Z域條件是：系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)的收斂域必須是圓外域（包括單位圓和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），并且所有極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。5.2.2

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)分析與處理645.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1．定義系統(tǒng)函數(shù)H

(z

)在單位圓上的取值，就是離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，表示為H

(z)

|

H

(e

j

)ze

jN由前述，H

(z

)是h

(n

)的z變換，有M

h(n)znn

ar

z

r

r

0

bk

z

kk

0如果x

(

n

)、y

(

n)和h

(n

)滿足絕對(duì)可和的條件，則相應(yīng)地X

(z

)、Y

(

z

)和H

(

z)均在單位圓上收斂，這些序列的

變換存在（參見第4章），顯然當(dāng)

z

=

e

j

時(shí)有

Y

(z)H

(z)

X

(z)信號(hào)分析與處理65n

jnNkMrk

0

jk

r

0

jr

h(n)eb

ea

eY

(e

j

)X

(e

j

)H

(e

j

)由上式可見，離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有下列性質(zhì)：它是輸出、輸入序列的

變換之比；它與差分方程的系數(shù)（系統(tǒng)參數(shù)）有關(guān)；頻率響應(yīng)H

(e

j

)是系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h

(n

)在單位圓上的z變換，即h

(

n

)的

變換。5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理66h(m)e

j

mm

e

j

n2．物理意義與連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)物理意義相似，離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也是反映離散系統(tǒng)對(duì)輸入正弦序列作用下的響應(yīng)能力。設(shè)：線性非移變因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h

(n

)，輸入復(fù)指數(shù)序列為x(n)

e

j

n

,

n

根據(jù)離散卷積定義，系統(tǒng)輸出響應(yīng)y

(n

)為

y(n)

h(m)x(n

m)

h(m)e

j

(nm)m

m5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理67上式可寫成y(n)

H

(e

j

)e

j

n由上式可見，在復(fù)指數(shù)序列輸入下，系統(tǒng)響應(yīng)仍為同頻率的復(fù)指數(shù)序列，而它的復(fù)振幅是由系統(tǒng)頻率響應(yīng)H

(e

j

)所決定的，H

(e

j

)為數(shù)字角頻率的函數(shù)，一般情況下是復(fù)數(shù)，可以表示成幅度、相位的形式H

(e

j

)

|

H

(e

j

)

|

e

j()|

H

(ej

)|稱為離散系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，

()稱為相頻響應(yīng)。當(dāng)輸入為正弦序列時(shí)，它可以表示為復(fù)指數(shù)序列的疊加5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理682

j

2

j2

j

A

e

j

n

A

e

j

n

e

j

n

)x(n)

Asin

n

A

(e

j

n輸出響應(yīng)為上式右端兩項(xiàng)響應(yīng)的疊加，對(duì)于

A

e

j

n2

j的響應(yīng)y1

(n

)為j

nAj1y

(n)

H

(e

)e2

j

A

e

j

n2

j2的響應(yīng)y

(

n

)為

H

(e

j

)

A

e

j

n2

jm2y

(n)

2

j

h(m)e

j

m

A

e

j

n2

jh(m)

A

e

j(nm)m

5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理69考慮到：h

(n

)為實(shí)序列，H

(e

j

)與H

(e

-j

)為共軛復(fù)數(shù)h(m)e

H

(e )

|

H

(e )

|

ejm

j

j

j

()2

j

A

|

H

(e

j

)

|

sin[

n

()]

e

j[

n

(n)]}

A

|

H

(e

j

)

|

(

1

){e

j[n

(n)]m故總的響應(yīng)為y

(n

)為y(n)

y1

(n)

y2

(n)

A

{|

H

(e

j

)

|

e

j[

n

(n)]

|

H

(e

j

)

|

e

j[

n

(n)]}2

j5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理70由式（5.27）可見：當(dāng)離散系統(tǒng)輸入為正弦序列時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是同頻率的正弦序列，其幅度和相位的變化將取決于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H

(e

j

)。如令x(n)

A

sin

(n

1

)y(n)

B

sin(n

2

)(5.28)(5.29)B

|

H

(ej

)

|A2

1

()上式說明：輸入的正弦序列通過系統(tǒng)后，其幅度衰減程度幅頻響應(yīng)|H(ej

)|的值，而相移則取決于相頻響應(yīng)()的值，如圖5.11所示。5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理715.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)x

(n

)

=

Asin

(n+θ1)A0-θ1/ny

(n

)=

Bsin

(n+θ2)B0-θ2/n圖5.11離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的物理意義信號(hào)分析與處理72N(z

pk

)k

1H

(z)

r

1

M3．頻率響應(yīng)的幾何確定法離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了可以根據(jù)上式定義直接求解外，還可以根據(jù)H(z)的零極點(diǎn)分布用幾何方法直觀地確定。若H

(z

)的零極點(diǎn)分布的表示式為(z

zr

)則系統(tǒng)頻響Nk

p

)M(e

j

zr

)(e

jk

1H

(e

j

)

r

1

|H

(e

j

)

|

e

j(

)5.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理73kkkr

A

e

j

rrje

j

ze

j

p

B

e從而幅頻特性為NMAr

Bkk

1|

H

(e

j

)

|

r

1

相頻特性為M

N()

r

kr

1

k

15.2.3

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)信號(hào)分析與處理745.3

模擬濾波器的基本概念其及設(shè)計(jì)方法5.3.1

基本概念根據(jù)有用信號(hào)與噪聲不同的特性，抑制不需要的噪聲或干擾，提取出有用信號(hào)的過程稱為濾波。根據(jù)濾波器所處理的信號(hào)不同，可以分為模擬濾波器與數(shù)字濾波器，本章模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)問題。一般線性非移變系統(tǒng)模擬濾波器的系統(tǒng)如圖5.24所示信號(hào)分析與處理755.3.1

基本概念濾波器的傳輸特性可以分為頻域和時(shí)域表示兩種。在頻域上可以用系統(tǒng)函數(shù)H(s)或頻率響應(yīng)H(

)來表示，在時(shí)域上可用濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)表示。x

(t

)X

(s

)h

(

t

)y

(t

)

=

x

(t

)

*

h

(t

)Y

(

s

)

=

H

(s

)X

(s

)X

()H

(

s

)Y

(ω)=

H

()

X

()H

()圖5.24

模擬濾波器系統(tǒng)框圖信號(hào)分析與處理765.3.2

信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件所謂信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵福狠斎胄盘?hào)通過系統(tǒng)后，輸出信號(hào)的幅度是輸入信號(hào)的比例放大，在出現(xiàn)的時(shí)間上允許有一定滯后，但沒有波形上的畸變，如圖5.24

。x

(

t

)

+

n

(

t)x

(t

)－信號(hào)n

(t

)－噪聲0y

(

t

)

=

K

x

(

t

–

t

d

)t

0tt

d圖5.24無失真?zhèn)鬏敃r(shí)輸入輸出信號(hào)的波形h

(

t

)H

(

)x

(

t

)

+

n

(

t)X

(

)y

(

t

)Y

(

)信號(hào)分析與處理77因而，輸入信號(hào)x

(t

)與輸出信號(hào)y

(t

)之間的關(guān)系為y

(

t

)=

K

x

(

t

–

t

d

)上式為無失真?zhèn)鬏數(shù)臅r(shí)域條件。下面再來看頻域條件，對(duì)上式兩邊作傅氏變換，并應(yīng)用變換的延時(shí)特性，可得輸出與輸入信號(hào)的頻譜關(guān)系為Y

(

)

Ke

j

td

X

(

)從而濾波器的頻率響應(yīng)X

(

)H

(

)

Y

(

)

Ke

j

td|

H

(

)

|

e

j(

)5.3.2

信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件信號(hào)分析與處理78d(

)

t|

H

(

)

|

K5.3.2

信號(hào)通過線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件0上式即為線性系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域條件：要使信號(hào)通過濾波器這樣的線性系統(tǒng)傳輸不失真，要求在信號(hào)全部頻帶上，系統(tǒng)的幅頻特性|

H

(

)|應(yīng)為一常數(shù)，而其相頻特性

()與頻率成正比，這一條件可用圖5.25所示。|

H

(

)

|

()0圖5.25

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻相頻特性信號(hào)分析與處理795.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性理想濾波器的特性要求對(duì)有用信號(hào)應(yīng)無失真?zhèn)鬏?，而能完?/p>

抑制無用信號(hào)，對(duì)于頻率選擇濾波器，要求有用信號(hào)和無用

信號(hào)（噪聲、干擾）頻率不在同一頻帶內(nèi)。理想特性可歸納為12有用信號(hào)頻帶內(nèi)，應(yīng)當(dāng)是常值幅頻，線性相頻；有用信號(hào)頻帶外，幅頻立即下降到零，相頻特性如何無關(guān)緊要；特性分為通帶和阻帶：通帶：信號(hào)能通過濾波器的頻帶；阻帶：信號(hào)受濾波器抑制的頻帶。理想特性如圖5.26所示，圖中的

c

為通帶截止頻率。3信號(hào)分析與處理805.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性|

H

()

|-c0c

()-c

0c

圖5.26

低通濾波器的理想特性信號(hào)分析與處理815.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性000根據(jù)通帶和阻帶位置不同，可分為四種理想濾波器的特性：低通、高通、帶通、帶阻四種，如圖5.27所示。在各種情況下，通帶內(nèi)的相位特性均應(yīng)是線性的。|

H

()

| |

H

()

| |

H

()| |

H

()|0低通高通帶通帶阻圖5.27濾波器四種理想特性信號(hào)分析與處理82但是理想的濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的，以理想低通濾波器為例來說明這一點(diǎn)。理想低通濾波器的頻率特性表示為c0, |

|

, |

|

cH

(

)

Ke

j

td下面來看理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h

(t

)。為簡化起見，設(shè)K

=1，則h

(t

)為5.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性信號(hào)分析與處理835.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性h

(

t)

=

F

–1

[H

()](5.41)π0ddc1

2π

1

π

c

(t

td

)

c

sin

c

(t

td

)cos

(t

t

)dcos

(t

t

)d

[cos

(t

td

)

jsin

(t

td

)]d1

π0畫出上述時(shí)域單位沖激的輸入和單位沖激響應(yīng)的圖形如圖5.30信號(hào)分析與處理845.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性δ

(

t

)0th

(

t

)0

td

tπ/

c圖5.30

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)信號(hào)分析與處理85一個(gè)實(shí)際低通濾波器的特性應(yīng)如圖5.31所示。5.3.3

濾波器的理想特性與實(shí)際特性|

H

()|δp0通帶過渡帶阻

帶δz

p

z圖5.31低通濾波器實(shí)際特性信號(hào)分析與處理865.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法模擬濾波器的設(shè)計(jì)一般包括兩個(gè)方面：首先是根據(jù)設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)即濾波器的幅頻特性要求，確定濾波器的傳遞函數(shù)H

(s

)，其次是設(shè)計(jì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)（通常為電網(wǎng)絡(luò)）實(shí)現(xiàn)這一傳遞函數(shù)。幅度特性

|

H

(

)

|也可寫成

|

H

(

j

)

|，而|

H

(

j

)

|許多情況下不是有理函數(shù)，給設(shè)計(jì)

造成不便，因此，通常用幅度平方函數(shù)A

(

2

)來確定傳遞函數(shù)H

(

s

)，所謂幅度平方函數(shù)為A(

2

)

|

H

(

j

)

|2任意一個(gè)復(fù)數(shù)模的平方可以表示為該復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積，即|

H

(

j

)

|2

H

(

j

)H

*

(

j

)信號(hào)分析與處理87A(

2

)

|

H

(

j

)

|2

H

(

j

)H

(j

)

H

(s)H

(s)

|s

j而H

(s)一般表示為具有實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)形式，式（5.47）表明幅度平方函數(shù)A

(

2

)是以

2

為變量的有理函數(shù)。顯然也可以把A

(

2

)表示成s

j

2

s2A(

2

)

A(s

2

)

|

A(

2

)

|由式（5.47）和（5.48）可得A(s

2

)

H

(s)H

(s)A(

2

)

|

2 2

A(s

2

)

H

(s)H

(s)s從而有5.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理88由式（5.50）可知：當(dāng)已知幅度平方函數(shù)A(

2)時(shí)，以

2

＝-s2代入，即可得到變量s2的有理函數(shù)A(-s2)，然后求出其零極點(diǎn)并作適當(dāng)分配，分別作為H(s)和H(-s)的零極點(diǎn)，就可以求得H(s)。主要的問題是如何分配零極點(diǎn)。由A(s

2

)

H

(s)H

(s)若H(s)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí)，則H(-s)必然有一異號(hào)但大小相等的零點(diǎn)或極點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)，因此A(-s2)的零極點(diǎn)具有象限對(duì)稱性。若H(s)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上，則H

(s

)必有一零點(diǎn)或極點(diǎn)落在正實(shí)軸上，若H

(s

)有一零點(diǎn)或極點(diǎn)為a

jb

（如圖5.30中的極點(diǎn)p

2、p

3和零點(diǎn)r

2、r

3），則H

(-s

)必有相應(yīng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)為

a

jb（p

2

‘、p3

’和r2

‘

、r

3

’）

，而在虛軸上的零極點(diǎn)必然是兩階的（如二階零點(diǎn)

r

1

(2)、r

1

‘(2)），在s

平面上的零極點(diǎn)分布如圖5.30所示。圖中的對(duì)稱形式稱為象限對(duì)稱，字符p表示極點(diǎn)，r為零點(diǎn)，在j軸上零點(diǎn)處括號(hào)中的數(shù)字表示零極點(diǎn)的階次，如（2）表示二階，上標(biāo)、下標(biāo)的字符表示相對(duì)稱的零極點(diǎn)。5.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理895.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法r

1

(2)p

1×r

3p

3×r

1

'(2)r

2

'×p

2

'p

2×p

1

'×r

4r

3

'×p

3

'jσ圖5.30H

(s

)與H

(-s

)零極點(diǎn)的象限對(duì)稱性r2r

4

'信號(hào)分析與處理90如何從A

(-s2

)的零極點(diǎn)分布來組合H

(s)的零極點(diǎn)呢？為了使濾波器穩(wěn)定，其極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，因此所有落在左半平面的極點(diǎn)都屬于H(s)，落在由半平面的極點(diǎn)都屬于H

(-s

)。而零點(diǎn)的選取原則上并無這種限制，任取其中的一半零點(diǎn)即可，其解一般并不是惟一的。但是如果要求H

(s)是具有最小相移的傳遞函數(shù)，左半平面的零點(diǎn)引向虛軸j上任一點(diǎn)矢量的相位角（即濾波器的頻率響應(yīng)H

(j

)的相頻特性情況）要比右半平面零點(diǎn)的小，因此零點(diǎn)也應(yīng)全部選在左半平面，這樣零點(diǎn)的選擇也就成為惟一了。5.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法信號(hào)分析與處理912

s(s

1

j)(s

1

j)2

2H

(s)

5.3.4

模擬濾波器的一般設(shè)計(jì)方法例5.12

A(

2

)

2

21

4試求H

(s)。(s

1

j)(s

1

j)(s

1

j)(s

1

j)2

2

2

2若按穩(wěn)定性的要求選取極點(diǎn)，按最小相位條件來選取零點(diǎn)，零極點(diǎn)應(yīng)全部選在左半平面，則濾波器傳遞函數(shù)應(yīng)為( 2

s)( 2

s)

2

s

2

2

s2A(s

2

)

A(

2

)

|1

s

4信號(hào)分析與處理925.4

模擬濾波器的設(shè)計(jì)5.4.1沃思濾波器沃思（Butterworth）濾波器是以 沃思近似 近函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)，該函數(shù)以最高階臺(tái)勞級(jí)數(shù)形式