2021年湖南省長沙市眀德中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

2021年湖南省長沙市眀德中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的周期為T,在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結論是：參考答案：C2.（5分）（2014秋?衡陽縣校級月考）已知命題p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）垂直，則（）A．p是假命題；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）不垂直B．p是假命題；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）垂直C．p是真命題；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）不垂直D．p是真命題；￢p：?x∈R，使得向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）不垂直參考答案：C【考點】：命題的真假判斷與應用；平面向量的坐標運算．【專題】：簡易邏輯．【分析】：直接利用向量的數(shù)量積判斷向量是否垂直，判斷真假即可．解：命題p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）垂直，它的否定是：￢p：?x∈R，向量=（x2，1）與=（2，1﹣3x）不垂直，如果垂直則有：2x2+1﹣3x=0，解得x=1或x=，顯然命題的否定是假命題．故選：C．【點評】：本題考查命題的否定，命題的真假的判斷與應用，基本知識的考查．3.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部為（）A、－2B、2C、－2iD、2i參考答案：B

，所以虛部為2。4.設集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，則集合A∩B為（

）A．{－2,－1,0,1,2}

B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,1,2,3}

D．{－2,－1,0,1,2,3}參考答案：B5.（多選題）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，，數(shù)列的前n項和為Tn，，則下列選項正確的為（

）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列{an}的通項公式為 D.參考答案：BCD【分析】由數(shù)列的遞推式可得，兩邊加1后，運用等比數(shù)列的定義和通項公式可得，，由數(shù)列的裂項相消求和可得．【詳解】解：由即，可化為，由，可得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，又，可得，故錯誤，，，正確．故選：BCD．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，以及數(shù)列的裂項相消法求和，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C7.在下列區(qū)間中，函數(shù)的的零點所在的區(qū)間為

(

）A．（-，0）

B．（0，）

C．（，）

D．（，）參考答案：C8.已知集合=

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A.

B.

C.2

D.4參考答案：B10.兩個非零向量e，e不共線，若（ke＋e）∥（e＋ke），則實數(shù)k的值為（）A．1B．-1C．±1D．0參考答案：答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}滿足，且．記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對一切的，都有恒成立，則實數(shù)m能取到的最大整數(shù)是____________．參考答案：9【分析】首先由數(shù)列的遞推公式求通項公式，，再求，并判斷數(shù)列單調(diào)性，最后轉化為，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求最小值.【詳解】由已知可知，，數(shù)列是等差數(shù)列，并且首項，公差，，，，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，若對一切的，都有恒成立，，當時，的最小值是，即，能取到的最大整數(shù)是9.故答案為：9【點睛】本題考查數(shù)列的的遞推公式求通項公式，以及數(shù)列求和，數(shù)列與函數(shù)結合的綜合應用問題，意在考查轉化與化歸和分析問題解決問題的能力，本題的關鍵步驟是需要判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求最小值.12.設函數(shù)在R上存在導數(shù)，對任意實數(shù)x有，當x時若，則實數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：解：∵∴構造函數(shù)則∴是奇函數(shù)∵∴∴在x時為減函數(shù)∵是奇函數(shù)∴為減函數(shù)∴R上為減函數(shù)∴可化為∴.13.若，其中是虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值為

▲

．參考答案：2．14.設___________.參考答案：15.已知點M在曲線上，點N在直線上，則的最小值為

.參考答案：16.從1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推廣到第n個等式為

．參考答案：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）考點：歸納推理．分析：本題考查的知識點是歸納推理，解題的步驟為，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式運算量之間的關系，歸納其中的規(guī)律，并大膽猜想，給出答案．解答： 解：∵1=1=（﹣1）1+1?11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1?（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1?（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1?（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）故答案為：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．17.設實數(shù)滿足=4,則的最小值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設a=2，c=3，求b和的值.參考答案：(1)；(2)，.分析：（1）由題意結合正弦定理邊化角結合同角三角函數(shù)基本關系可得，則B=．（2）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因為a<c，故．因此，所以，點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．19.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；（2）當三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面ACD；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，確定體積最大時的條件，建立空間坐標系，利用向量法即可得到結論．【解答】（1）證明：因為AB是直徑，所以BC⊥AC，…1分，因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC

…2分，因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD

…3分因為CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四邊形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因為DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD

…5分（2）因為DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，當且僅當AC=BC=2時等號成立

…8分如圖所示，建立空間直角坐標系C﹣xyz，則D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），則=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，設面DAE的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，0，2），設面ABE的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，1，0），…12分，則cos＜＞==，結合圖象可以判斷二面角D﹣AE﹣B的余弦值為﹣，…13分【點評】本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)空間二面角的求解，利用向量法是解決空間二面角的常用方法．20.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學成績在[50，90）之外的人數(shù)。參考答案：（1）

（2）平均分為

（3）數(shù)學成績在內(nèi)的人數(shù)為人

數(shù)學成績在外的人數(shù)為人答：（1）

（2）這100名學生語文成績的平均分為

（3）數(shù)學成績在外的人數(shù)為人。21.對于正整數(shù)n，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為n的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設是n的一個“正整數(shù)分拆”，且，求k的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)n，證明:;并求出使得等號成立的n的值.(注:對于n的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)參考答案：(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)n為偶數(shù)時，，n為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時，根據(jù)對應關系得到，再計算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當為偶數(shù)時，時，最大為；當為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數(shù)時，設是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為