北師大初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似-知識(shí)講解(提高)-推薦

中考總溫習(xí)：圖形的類似--常識(shí)解說（進(jìn)步）【考綱要求】了解線段的比、成份額線段、黃金分割、類似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．探究并把握三角形類似的性質(zhì)及條件，并能使用類似三角形的性質(zhì)處理簡(jiǎn)略的實(shí)踐問題．把握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形擴(kuò)大或縮小．它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同辦法確認(rèn)物體的方位．【常識(shí)網(wǎng)絡(luò)】類似多邊形的特征類似的圖形概念圖形 相似三角的相似

識(shí)別辦法性質(zhì)

界說兩角對(duì)應(yīng)持平兩頭對(duì)應(yīng)成份額且夾角持平三邊對(duì)應(yīng)成份額對(duì)應(yīng)角持平對(duì)應(yīng)高線、周長(zhǎng)的比等于類似比面積的比等于相似比的平方使用:處理實(shí)踐問題位似圖形與坐標(biāo)

用坐標(biāo)來確認(rèn)方位圖形的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)【考點(diǎn)整理】考點(diǎn)一、份額線段份額線段的相關(guān)概念假如選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度別離為m，n，那么就說這兩條線段的比是mn，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，假如其間兩條線段的比等于別的兩條線段的比，那么這四條線段叫做成份額線段，簡(jiǎn)稱份額線段.若四條a，b，c，d滿意或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成份額的項(xiàng)，線段a，d叫做份額外項(xiàng)，線段b，c叫做份額內(nèi)項(xiàng).a b如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即例中項(xiàng).2、份額的性質(zhì)

b c或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比①a：b=c：dad=bc②a：b=b：cb2ac.更比性質(zhì)（交流份額的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）acc dd bdc

bd （交換內(nèi)項(xiàng)）ca （交換外項(xiàng)）ba （同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）a c b d反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：

b d a c合比性質(zhì)：

c abcdd bda（5）

cem (bacema等比 b性

df n d bd fnbfn0)3、黃金分割把線段ABAC，BC（AC>BC），而且使AC是ABBC的份額中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，5 1點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=考點(diǎn)二、類似圖形

AB0.618AB.2也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).類似多邊形的性質(zhì)：類似多邊形的對(duì)應(yīng)角持平，對(duì)應(yīng)邊成的比持平.類似多邊形的周長(zhǎng)的比等于類似比，類似多邊形的面積的比等于類似比的平方.類似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.都等于類似比.相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要害詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形類似，得出對(duì)應(yīng)角持平，對(duì)應(yīng)邊的比持平，這樣能夠由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.類似三角形的斷定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.等，那么這兩個(gè)三角形類似.考點(diǎn)三、位似圖形位似圖形的界說：兩個(gè)多邊形不只類似，而且對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不通過交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊相互平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.位似圖形的分類：外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的間隔之比等于類似比；位似圖形中不通過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.【要害詮釋】位似圖形是一種特別的類似圖形，而類似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.作位似圖形的過程第一步：在原圖上找若干個(gè)要害點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；第二步：作位似中心與各要害點(diǎn)連線；第三步：在連線上取要害點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿意放縮份額；第四步：依次銜接截取點(diǎn).【要害詮釋】在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似改換是以原點(diǎn)為位似中心，類似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類型一、份額線段1,23數(shù)則這個(gè)數(shù)是 .剖析：這是一道開放型試題,因?yàn)轭}中沒有奉告構(gòu)成份額的各數(shù)次序,故應(yīng)考慮各種或許方位.【思路指點(diǎn)】這是一道開放型試題,因?yàn)轭}中沒有奉告構(gòu)成份額的各數(shù)次序,故應(yīng)考慮各種或許方位.【答案與解析】依據(jù)份額式的概念，可得：31×3÷2= ；22×3÷1=23231×2÷3=3【總結(jié)提高】要構(gòu)成一個(gè)份額式，依據(jù)份額式的概念：假如其間兩條線段的乘積等于別的兩條線段的乘積，則四條線段叫成份額線段．觸類旁通：【變式】將一個(gè)菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴(kuò)大為本來的2B2倍C2D4【答案】A.類型二、類似圖形（2015資陽）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，1E、FAB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過點(diǎn)E、F別離作BCAC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足別離為H、G．現(xiàn)有以下定論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=E；F④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【思路指點(diǎn)】使用類似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，⊥，∠90，∵M(jìn)G⊥AC，∴90∠∠，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=C，G∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=B，F(xiàn)∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=M，H故②正確；③如圖2所示，

（共底三角形的面積之比等于∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE，即EF2=BD2+BE2=AF2+BE22，故③過錯(cuò)；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=C，GMG∥BC，MH∥AC，∴=；=，，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．【總結(jié)提高】考察了類似形歸納題，觸及的常識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的斷定和性質(zhì)，矩形的斷定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，類似三角形的斷定和性質(zhì)等，歸納性較強(qiáng)，有必定的難度．3．（2015杭州模擬）ABCDFABEBCAF=EC，EF，DEDF，MFEMCFEDCN4DN=D；G②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM筆直BD；④若MC=，則BF=2；正確的定論有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④【思路指點(diǎn)】依據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后使用“邊角邊”證明△ ADF和△CDE全等，依據(jù)全三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=9°0，而∠DGN=4°5+∠FDG，∠DNG=4°5+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判別出△ DEF是等腰直角三角形，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再依據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)持平的三角形類似得到△ BFG∽△EDG∽△BDE，判別出②正確；銜接BM、DM，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判別出直線CM筆直平分BD，判別出③正確；過MMH⊥BCHMCH=4°5MH，再依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊而且等于第BF=2MH，判別出④正確．【答案】C.【答案與解析】ABCDAD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=9°0，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=4°5+∠FDG，∠DNG=4°5+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對(duì)頂角持平），∴△BFG∽△EDG，∵∠∠5，∠∠，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；銜接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90，∵M(jìn)是EF∴MD=∵BM=∴MD=M，B在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（∴∠BCM∠=DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC筆直平分BD；故③正確；過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45，∵M(jìn)C=，∴MH=×=1，∵M(jìn)是EFBF⊥BC，MHBC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=，2綜上所述，正確的定論有②③④．故選C．【總結(jié)提高】本題考察了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的斷定與性質(zhì)，類似三角形的斷定與性質(zhì)，等腰直角三角形的斷定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)間隔持平的點(diǎn)在線段的筆直平分線，三角形的中位線平行于第三邊而且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的要害．觸類旁通：【變式（】湖南懷化）ADBCBC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，極點(diǎn)G、H別離在AC，ABADHGM.AMHGADBCEFGH的周長(zhǎng).【答案】（1）EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，∴△AHG∽△ABC，AMHG∴ADBC ；（2）解：由（HE=xcm，MD=HE=，x∵AD=30，∴AM=30-x，∵HG=2H，E∴HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30（-xcm），

AMHGADBC30-x2x ，3040可得2x=24EFGH2×（12+24）=72（cm）．EFGH72cm．OA的坐標(biāo)為8，0BCB8，6，C0，6OABCOOABCOABC別離與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．BP（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)90°時(shí)， BQ 的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形OABC的極點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求BP 的值BQ②如圖2，當(dāng)四邊形OABC的極點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求△OPB的面積．旋轉(zhuǎn)

1（3）OABC

過程中，當(dāng) 0≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使 BPBQ？2若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路指點(diǎn)】（1）依據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，BP4BPBP4BP4PQ3，根據(jù)比例的性質(zhì)得出 BQ79（2）①由△ COP∽△A'OB'，依據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)邊成份額得出CP=2CQ=3BQ，則可求；AAS證明△OCP△B'A'POP=B'P，即可求出；

，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出（3）當(dāng)點(diǎn)P坐落點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=O′C=OC，依據(jù)S△POQ=S，△POQ即可證明出PQ=O；P25設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運(yùn)用勾股定理，得出x= 4 ，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．（1）∵OA的坐標(biāo)為（-8，0），BCB（-8，6），C（0，6），∴OA=BC=，8OC=AB=，6OABC的形狀是矩形；當(dāng)α=90°PC重合，如圖，BP 84根據(jù)題意，得BP 4

PQ 63 ，則 7；BQ（2）①1POC=∠B'OAPCO=∠OA'B'=90°，∴△COP∽△A'OB'，CPOC CP6∴ABOA ，即68 ，97.∴CP=,BP=BC－CP=22同理△B'CQ∽△B'C'O，CQBC CQ，即OCBC68∴CQ=3，BQ=BC+CQ=1，17

106 ，BP 7∴BQ 2 ;1122②圖2，在△OCP和△B′A′P中，，∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，RtOCP中，（8-x）25

x，解得x= 4 ．S∴S△

125′= 24

6=75；4（3）過點(diǎn)Q作QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=O′C=OC，1 1∵S =2PQ?OC，S△POQ= 2OP?QH，∴PQ=O．P△POQ設(shè)BP=x，1BQ，∴BQ=2x，2∵BP=如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，OP=PQ=BQ+BP=，3xRtPCO中，（8+x）

=（x），x=1+

3 36，x=1- 6（不符實(shí)際，舍去）1 2 2 23 6，∴PC=BC+BP=9+232∴P（-9- 6，6）．215PB右側(cè)時(shí)，∴OP=PQ=BQ-BP=，xPC=8-x．在△O中，（x） 25 74 =4，

．，解得=4∴PC=BC-BP=8-74∴P（- ，6），423綜上可知，存在點(diǎn)（ 6

76，），6BP=

1BQ．2

P -9-1

2 ，6），P（- 42【總結(jié)提高】本題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的斷定與性質(zhì)，類似三角形的斷定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對(duì)應(yīng)線段持平，能夠用一個(gè)不知道數(shù)表明同一個(gè)直角三角形的不知道邊，依據(jù)勾股定理列方程求解．EABCDABEFDEBCF．①求證：ADE∽BEF；4AEx，BF=yxy有最大值?并求出這個(gè)最大值．【思路指點(diǎn)】本題觸及到的考點(diǎn)有類似三角形的斷定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF由（1）ADEBEF，AD=4，BE=4-xBFBE得：AEAD414

，即：1

y4xx4 ，y=

x=

4(x2)

2（0＜x＜4）（3