復(fù)變函數(shù)與積分變換 第四章第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)課件

1第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考1第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪2一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

2一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)3稱為這級(jí)數(shù)的部分和.級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)3稱為這級(jí)數(shù)的部分和.級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)4稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定4稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那52.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).52.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).6二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必收斂且絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足6二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對(duì)所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對(duì)所有的8而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成.[證畢]8而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成92.收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.92.收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂的情況有三種10(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)存在正實(shí)數(shù)R,使得|z|<R時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂使得|z|>R時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散10(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)11.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.12答案:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑14方法2:根值法那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果15三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算15三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算162.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時(shí),說(shuō)明:此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).162.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿17定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)17定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將18(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即18(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),19四、典型例題例1

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為19四、典型例題例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的20級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為1,20級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理21解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的22例3把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出22例3把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解23級(jí)數(shù)收斂,且其和為23級(jí)數(shù)收斂,且其和為24例4求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以24例4求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:25例5計(jì)算解25例5計(jì)算解26第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考1第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪27一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

2一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)28稱為這級(jí)數(shù)的部分和.級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)3稱為這級(jí)數(shù)的部分和.級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)29稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定4稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那302.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).52.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).31二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必收斂且絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足6二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)32證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對(duì)所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對(duì)所有的33而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成.[證畢]8而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成342.收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.92.收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂的情況有三種35(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)存在正實(shí)數(shù)R,使得|z|<R時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂使得|z|>R時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散10(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)36.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.37答案:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:383.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑39方法2:根值法那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果40三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算15三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算412.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時(shí),說(shuō)明:此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).162.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿42定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)17定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將43(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即18(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),44四、典型例題例1

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為19四、典型例題例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的45級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為1,20級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理46解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的47例3把函數(shù)表成形如的冪級(jí)