二次函數(shù)中與角有關(guān)的存在性問(wèn)題

3AGFG1AGFG19)<7)的坐標(biāo)為7,_或5,-—k2丿k2丿（二）?利用相似三角形構(gòu)造相等角例2如圖，拋物線y=2x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與尹軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/FAB=ZEDB時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)；解：（1）因?yàn)镺B=OC=6,所以B（6，0），C（0,-6）,將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，y=2x2-2x-6=2"-2'-8，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,—8）(1)如圖1,過(guò)F作FG丄x軸于點(diǎn)G,設(shè)Fx2-2x—6，則FG=k2丿當(dāng)/FAB=/EDB時(shí)，且/FGA二/BED,de所以AFAGs\BDE，所以一一EB當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有x+2=x2-4x-12，解得x=—2（舍去）或x=7,此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為k7弓k2丿當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，則有x+2=-（x2-4x-12）,解得x=—2（舍去）或x=5,此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為\5，-2］，，綜上可知點(diǎn)Fk2丿

【類型二二倍角或半角的存在性問(wèn)題】(一)?二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造加，在BC邊上找一點(diǎn)D,使得BD=AD，則ZADC二2.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來(lái)利用三角函數(shù)(一般用正切)計(jì)算就可以了。例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+2與X軸交于點(diǎn)A,與尹軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與X軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn);S□連接BC，CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,△CDE的面積為S,，△BCE的面積為S2,求才的12S2最大值；□過(guò)點(diǎn)D作DF丄AC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得ACDF中的某個(gè)角恰好等于ZBAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)解:(1)(2)□過(guò)D(2)□過(guò)D作DM丄AC于M,過(guò)B作BN丄x軸交AC于N,???△DMEs^BNE工SDES~~BE2DMBN???M(1ca,—a???M(1ca,—a+2I2丿S_DMS~~BN2一2a2—2a14—5_—5(a+2)2+552???最大值為4.②在OA上取一點(diǎn)P使得PA=PC，設(shè)②在OA上取一點(diǎn)P使得PA=PC，設(shè)OP=m,則PC=PA=4-m，在RtAPCO中，由勾股3定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=—,?*.tanZ24CPO=—，3過(guò)D做x軸的平行線交y軸于R，交AC延長(zhǎng)線于G，情況一：ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG，???ZCDG=ZBAC，???tanZCDG=tanZBAC=1，2、（13、T設(shè)Da,——a2——a+2I22丿DR=—a，RC=-2a2-2代入得，a1=0，a2=—2,?.xD=—2DF=3k，DF=3k，DC=5k，情況二：ZFDC=2ZBAC，??.tanZFDC=—，設(shè)FC=4k，33k1—VtanZDGC=_—,?FG=6k,CG=2k，DG=3、.5k，F(xiàn)G2???RVk，RG=爭(zhēng)，???RVk，RG=爭(zhēng)，DR=3厭—卻k_罕止k?DR_5RCk5???a1=0（舍去）,29=—211綜上所述:點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為一2或-2911(二)半角的構(gòu)造方法如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對(duì)應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長(zhǎng)CB至D,使得BD=BA,則ZD=丄^，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tanZD的值，從而進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。2方法二：如圖，直接做厶的角平分線BE，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tanZEBC的值。例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x+5)(x-3)與％軸交與A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且過(guò)點(diǎn)(24).(1)直接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線與x軸交于M,N兩點(diǎn)，兩拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)M到直線PB的距離；在(2)的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D,使得ZDAB=2ZPBA若男L存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.男L4(1)y=—(x+5)(x—3)；B(3，0)(2)A(—5,0)、M(—3，0)、N(3，0)1124設(shè)點(diǎn)M到直線PB的距離為h，則SApmb=2-h-PB=2-MB-°P，???h右存在，理由:設(shè)ZDAB=2ZPBA,如圖，過(guò)點(diǎn)B作ZPBA的平分線BH交尹軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H