信號(hào)與系統(tǒng)課件

1引言1.連續(xù)系統(tǒng)的分析

(拉氏變換法)

(付氏變換法)

2.離散系統(tǒng)的分析

(z變換)(離散付氏變換DFT/FFT

)

2本章內(nèi)容：z變換定義及其收斂區(qū)（域）z變換的性質(zhì)反z變換z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性3一、z變換定義及其收斂區(qū)（域）（一）

z變換的定義

由抽樣信號(hào)的拉氏變換引出

0t

-Ts0Tst

?令

（復(fù)數(shù)）

（通常令T＝1）

——F(z)稱作

f(k)

的雙邊z

變換?4對(duì)有始序列，當(dāng)

k<0

時(shí)f(k)=0（右邊序列）——單邊z

變換

直接定義：

F(z)為

z－1

的冪級(jí)數(shù)

（二）

z變換的收斂區(qū)（域）定義：

對(duì)于任何有界序列f(k)

，使得

f(k)

的

z

變換存在的

z值范圍叫

z變換的收斂域。

若兩序列分別為

則據(jù)定義5表明：兩個(gè)不同的序列由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相同的Z變換。因此，為了單值地確定Z變換所對(duì)應(yīng)的序列，不僅要給出序列的Z變換式，而且必須同時(shí)標(biāo)明它的收斂域。級(jí)數(shù)收斂的充分條件是滿足絕對(duì)可和條件，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定法：

令或則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

61．

有限長(zhǎng)序列

z變換的收斂域

（1）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋òǎ?）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋òǎ?．

右邊序列

z變換的收斂域

當(dāng)即時(shí)該級(jí)數(shù)收斂（1）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋òǎ?）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)橛疫呅蛄械氖諗坑蚴前霃綖镽1的圓外區(qū)域73．

左邊序列

z變換的收斂域

令

則即當(dāng)即時(shí)該級(jí)數(shù)收斂左邊序列的收斂域是半徑為R2的圓內(nèi)區(qū)域（1）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，的收斂域?yàn)椋òǎ┯懻摚孩贂r(shí)，——因果序列收斂域?yàn)椋òǎ?②時(shí)，——反因果序列收斂域?yàn)椋òǎ㏑e(z)Im(z)R2z平面0Im(z)Re(z)R1z平面0因果序列的收斂域反因果序列的收斂域③雙邊序列

其收斂域是兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂域的公共區(qū)域，即Im(z)Re(z)0R1R2雙邊序列的收斂域9（三）常用序列的

z變換1、單位函數(shù)的z?2、階躍序列(k)

的zT?公比為z-1等比級(jí)數(shù)收斂域z收斂域z≥

03、單邊指數(shù)序列的zT?當(dāng)

即

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

?10若令

，

則

??4、雙邊指數(shù)序列的zT?當(dāng)

時(shí)

?若

，則以上

z

變換不存在

11討論：左邊序列z變換的計(jì)算令則即令則例求?解：（1）由得：（2）求的z變換：（3）12例:因果序列13例反因果序列圓內(nèi)為收斂域，若則不包括z=0點(diǎn)包括在內(nèi)。14有限長(zhǎng)序列收斂域?yàn)?，即除?的整個(gè)平面8個(gè)零點(diǎn)7階極點(diǎn)一階極點(diǎn)例15例雙邊序列16小結(jié)：1）Z變換存在著收斂的問題，不是任何信號(hào)都存在Z變換，也不是任何復(fù)數(shù)Z都能使收斂。2）僅僅由的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信號(hào)，只有連同相應(yīng)的ROC一道，才能與信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。3）Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。174）如果，則其ROC是各個(gè)的ROC的公共區(qū)域。若沒有公共區(qū)域則表明的Z變換不存在。5）當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC的邊界總是由的極點(diǎn)所在的圓周界定的。18二、z

變換的性質(zhì)（一）

線性特性

若

則

其收斂域?yàn)?/p>

F1(z)和

F2(z)的公共收斂部分

例

求單邊余弦和正弦序列的

z

變換????＝19??＝(二)移序特性

1、單邊zT，且f(k)為有始序列延遲

超前

證明

：

延遲

?20超前

?若

f(k)

為雙邊序列（進(jìn)行單邊z變換）

則

——同單邊序列

2、雙邊zT，f(k)為雙邊序列21證明

：

?（三）

尺度變換特性（序列乘）

若

則

證明

：

?（四）

z域微分（序列乘k）

證明：?22（五）

時(shí)域卷積

?證明：?(六)初值定理和終值定理

f(k)

為有始序列，且

初值

：

終值

：

證明：（1）初值定理23（2）終值定理由移序特性，有???24例1求下列有始序列的

z

變換

解

：

由移序特性

：

（2）周期序列

f(k)

0

k

f1(k)f1(k-N)f1(k-2N)

解

：設(shè)，

若25解

：

?解

：

[方法一]先尺度變換，再延遲

?[方法二]先延遲，后尺度變換

26例2求

解

：

27例3求卷積

解

：

28例4利用z變換性質(zhì)求下列序列f(k)的z變換F(z).（1）（2）解：（1）[方法一]（|z|>1）（|z|>1）[方法二]（|z|>1）因故根據(jù)z域尺度變換性質(zhì)得：（|z|>1）29（2）設(shè)，根據(jù)移序性質(zhì)（|z|>1）因故由線性與z域微分性質(zhì)有：（|z|>1）30三、

反z變換

（一）冪級(jí)數(shù)展開法

（長(zhǎng)除法）

由的定義，將其展開為冪級(jí)數(shù)，有展開式中項(xiàng)的系數(shù)即為。當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，可以通過長(zhǎng)除法將其展開為冪級(jí)數(shù)。

由于因果序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)，所以要按降冪長(zhǎng)除。31例1已知

，求

解

：

——因果序列，按

z-1展開

(按

z

降冪排列)

由于反因果序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)z的正冪項(xiàng)，所以要按升冪長(zhǎng)除。

雙邊序列要先將其分成分別對(duì)應(yīng)信號(hào)的右邊和左邊的兩部分，再分別按上述原則長(zhǎng)除。32例2已知求收斂域?yàn)楹蛢煞N情況下的。解

：

（1）當(dāng)收斂域?yàn)?/p>

時(shí)，

為因果序列

33（2）當(dāng)收斂域?yàn)闀r(shí)，

為反因果序列(按

z升冪排列)討論

：

①

收斂域?qū)?yīng)序列為因果序列；

收斂域?qū)?yīng)序列為反因果序列。

②

同一個(gè)

F(z)

的

f(k)

不是唯一的，已知

F(z)和收斂域，f(k)才能唯一確定。

34例

,求

解

：

的收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，其序列為雙邊序列

－12Im(z)Re(z)0

對(duì)應(yīng)于因果序列

對(duì)應(yīng)于反因果序列

35

利用已知的冪級(jí)數(shù)展開式

例已知，，求解

：

36（二）部分分式展開法

求拉氏反變換時(shí)將

F(s)

展開成部分分式

基本形式

z

反變換

：

（m≤n

——

因果律）

基本形式

為得到基本形式，常常先把展開成部分分式

1．

含單階極點(diǎn)

372．

含

r重（階）極點(diǎn)（）例1已知,,求解：

例2

已知

,,求

38解

：

由于

，所以為因果序列

查表知：39

z平面上假設(shè)有一固定的圍線C，它包圍原點(diǎn)，上式兩邊乘以，然后沿著圍線逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈積分，得到：（三）留數(shù)法（圍線積分法）

40復(fù)變函數(shù)中的柯西積分公式：得逆變換41由圍線積分定理（留數(shù)定理）得：（C為在

F(Z)

的收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向的閉合路徑）

若在處有一階極點(diǎn)，則該極點(diǎn)的留數(shù)

若在處有r階(重)極點(diǎn)，則

42試用留數(shù)法進(jìn)行反Z變換。這里的f(k)為因果序列。解:先求被積函數(shù)F(z)zk-1的極點(diǎn)。例：設(shè)有Z變換式其極點(diǎn)在z=1和z=－0.543例解是因果序列44454646例47例

,的原時(shí)間序列解

：

[方法一]

在收斂域內(nèi)作閉合路徑C則k≥0時(shí)在C內(nèi)有一單階極點(diǎn)

z=112Im(z)Re(z)0

k<0時(shí)在C內(nèi)多了-k階極點(diǎn)

z=0，在C外有單階極點(diǎn)

z=248[方法二]

對(duì)應(yīng)因果序列

對(duì)應(yīng)反因果序列

Im(z)Re(z)20求雙邊反z變換與求雙邊反拉氏變換一樣：關(guān)鍵在于弄清極點(diǎn)的歸屬問題！Im(z)Re(z)1049四、Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系

（一）

Z變換與拉氏變換的關(guān)系

1。抽樣信號(hào)的拉氏變換與抽樣序列的

z變換的關(guān)系

2．

與相應(yīng)的連續(xù)函數(shù)的拉氏變換的關(guān)系

50當(dāng)時(shí)，

若

，且

則

小結(jié)：由求法：

由

例

已知，

求的

Z

變換

解

：

51（二）

z平面與

s平面的映射關(guān)系

復(fù)變量s與z的關(guān)系：

(T為取樣周期)

由上述關(guān)系可看出s平面與z平面的映射關(guān)系：

（1）

s

平面的虛軸（）映射到z平面是單位圓（）

s右半平面（）映射到z平面是單位圓外部（）

s左半平面（）映射到z平面是單位圓內(nèi)部（）

s平面的實(shí)軸（）映射到z平面是正實(shí)軸（）

s平面的原點(diǎn)（，）映射到z平面是單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)（Z＝1）

52平面

0平面

0●a●a`（2）

由于

即是以為周期的周期函數(shù)，

在z平面上每變化，相應(yīng)于s平面上變化

因此從z平面到s平面的映射是多值的。s平面上沿虛軸移動(dòng)對(duì)應(yīng)于z平面上沿單位圓周期旋轉(zhuǎn),s平面上每移動(dòng)，對(duì)應(yīng)于z平面就旋轉(zhuǎn)一周。

bb`cdeC`d`e`53五、離散時(shí)間系統(tǒng)的

Z域分析

連續(xù)系統(tǒng)

：

時(shí)域

微分方程

復(fù)頻域

代數(shù)方程

（微分性質(zhì)）

離散系統(tǒng)

：

時(shí)域

差分方程

Z

域

代數(shù)方程

（移序性質(zhì)）

（一）系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的求解法

1。

零輸入響應(yīng)

考慮一個(gè)二階系統(tǒng)：

54

零輸入時(shí)：

取z變換：

由零輸入初始值決定

2。

零狀態(tài)響應(yīng)

二階系統(tǒng)：

用ZT求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的步驟：（1）對(duì)系統(tǒng)的齊次方程進(jìn)行ZT；（2）代入初始條件，求出z域內(nèi)的零輸入響應(yīng)yzi(z)；（3）對(duì)yzi(z)進(jìn)行反ZT即可得到零輸入響應(yīng)yzi(k)。55取z變換：

零狀態(tài)：

這里：其中僅由引起，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)

令令

56于是

那么

討論：

①

在離散系統(tǒng)中可定義——轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)可直接由差分方程寫出：

②

轉(zhuǎn)移函數(shù)與移序算子的形式相同

③

是一個(gè)算符沒有相消問題，而是代數(shù)量可相消

④

⑤——特征方程確定系統(tǒng)的自然響應(yīng)

用ZT求yzs(k)的步驟如下：（1）用移序算子將系統(tǒng)的差分方程寫成算子形式；（2）寫出轉(zhuǎn)移算子H(

S)，以z代替S即得系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)；（3）以e(k)的ZTE(z)與H(z)相乘，得到y(tǒng)zs(z)；（4）對(duì)yzs(z)進(jìn)行反ZT即得yzs(k)。57（二）系統(tǒng)響應(yīng)直接z變換求解法

直接對(duì)方程取

z

變換（消去有關(guān)激勵(lì)信號(hào)初始值

e(0)、e(1)

的諸項(xiàng)）：

是與所加的激勵(lì)無關(guān)的零輸入初始值

系統(tǒng)響應(yīng)總的初始值為：

一般給定的初始值是指

例1已知

，,,求全響應(yīng)

解

：【方法一】

(1)求

58（2）求

或59(3)全響應(yīng)

【方法二】

例2

求延遲器的H(z)

Dx(k)y(k)

解：60即

X(z)Y(z)

例3一線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)為單位階躍序列時(shí)，已知其零狀態(tài)響應(yīng)為

a(k),試求系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)。

解

：

61例4描述某線性移不變離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)，y(-1)=0,y(-2)=0.5,e(k)=ε(k),求系統(tǒng)的響應(yīng)y(k)。解：先檢驗(yàn)初始條件，令k=-1，代入差分方程得：

y(-1)+3y(-2)+2y(-3)=0，可見y(-1),y(-2),y(-3)與激勵(lì)無關(guān)，故為初始條件再對(duì)差分方程（包括初始條件）進(jìn)行z變換（激勵(lì)函數(shù)邊不考慮初始條件）：代入y(-1)=0,y(-2)=0.5，得：∴62（三）

離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響

1.由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定單位函數(shù)響應(yīng)

n

階系統(tǒng)：（）

H(z)

為有理函數(shù)，則

（zi

—零點(diǎn)，

pj

—極點(diǎn),an=1）

63若pj為一階極點(diǎn)p1,p2,…,pn

則

單位函數(shù)響應(yīng)

h(k)

的特性取決于

H(z)

的極點(diǎn)，其幅值由系數(shù)

Aj

決定，而

Aj

與

H(z)的零點(diǎn)分布有關(guān)。與拉氏變換類似，H(z)的極點(diǎn)決定h(k)

的波形特征，而零點(diǎn)只影響h(k)

的幅度與相位。

2.離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性

離散時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位函數(shù)響應(yīng)h(k)

絕對(duì)可和，即

64（M

為有限值）

或

由

z

變換和系統(tǒng)函數(shù)定義可知：

當(dāng)

z=1

（在

z

平面單位圓上）

系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足:

表明：穩(wěn)定系統(tǒng)的

H(z)

收斂域應(yīng)包含單位圓在內(nèi)。

對(duì)于因果系統(tǒng)：

z

變換的收斂域?yàn)?/p>

（包含點(diǎn)）

穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，應(yīng)同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件：

即對(duì)于穩(wěn)定的因果系統(tǒng)其全部極點(diǎn)應(yīng)在單位圓內(nèi)。

65例某離散系統(tǒng)的差分方程為

（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(z);

（2）討論此因果系統(tǒng)的收斂域和穩(wěn)定性；（3）求單位函數(shù)響應(yīng)h(k);

（4）當(dāng)激勵(lì)為單位階躍序列時(shí)，求此因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)。解：（1）對(duì)差分方程兩邊取z變換，得于是（2）由于該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，故其收斂域?yàn)椋?6又因?yàn)镠(z)的兩個(gè)極點(diǎn)分別位于0.4和-0.6,它們都在單位圓內(nèi)，所以該系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。（3）（4）時(shí)673.離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定

令----雙線性變換則z平面和平面之間是一種單值映射關(guān)系:

z平面的單位圓外映射到平面為虛軸以右的半平面

z平面的單位圓內(nèi)映射到平面為虛軸以左的半平面

z平面的單位圓映射到平面為虛軸因此，根據(jù)特征方程的根是否位于z平面中單位圓內(nèi)來判定離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，可歸結(jié)為判定域中的方程的根是否位于平面的左半平面由此，對(duì)不易直接求出特征根的離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題可通過上述雙線性變換后，再利用羅斯-霍維茨（R-H）準(zhǔn)則來判定。68例判定下列特征方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否穩(wěn)定解：（1）令代入D(z)，并化簡(jiǎn)得R-H陣列：0.6853.0252.4751.8252.5201.825可見，R-H數(shù)列沒變號(hào)，說明的根都在平面的左半平面，即的根都在單位圓內(nèi)，故其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定。

（2）令代入D(z)，并化簡(jiǎn)得此系統(tǒng)不穩(wěn)定69六、離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

連續(xù)系統(tǒng)

轉(zhuǎn)移函數(shù)

頻率響應(yīng)特性

離散系統(tǒng)：已知轉(zhuǎn)移函數(shù)，頻率特性？

（一）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性與轉(zhuǎn)移函數(shù)的關(guān)系

零狀態(tài)響應(yīng)：

考慮（離散的指數(shù)序列）

令

70則

系統(tǒng)對(duì)離散指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍是一離散指數(shù)序列，是其復(fù)數(shù)振幅，即為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

又

h(k)

的

z變換：

比較可見：

幅頻特性

：

相頻特性

：

例1已知描述某離散系統(tǒng)的差分方程為

(0<a1<1),試求該系統(tǒng)的頻響特性。解：系統(tǒng)函數(shù)為71頻響特性為于是幅頻特性為相頻特性為|H(ejωT)|-ωsωs2ωs2ωs1-a111+a11Φ(ω)ωs2-ω