高中數(shù)學(人教A版選修1-2)典型例題：第一章 章末總結

數(shù)學·選修1－2(人教A版)回歸方程及其應用回歸方程及其應用對所抽取的樣本數(shù)據(jù)進行分析，分析兩個變量之間的關系——線性關系或非線性關系，并由一個變量的變化去推測另一個變量的變化，這就是對樣本進行回歸分析．某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下對應數(shù)據(jù)：單位x/元35404550日銷售量y/臺56412811(1)畫出散點圖并說明y與x是否具有線性相關關系？如果有，求出線性回歸方程；(方程的斜率保留一個有效數(shù)字)(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關于x的函數(shù)關系式，并預測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？分析：作出散點圖，根據(jù)散點圖觀察是否具有線性相關關系．解析：(1)散點圖如圖所示：從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量具有線性相關關系．即預測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤．點評：判斷兩個變量之間是否有線性相關關系一般有兩種方法：一是計算樣本相關系數(shù)；二是畫散點圖．兩種方法要結合題目的要求合理選取，也可同時使用，則判斷更加準確．測得一個隨機樣本的數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系；(2)建立x與y的關系，并預報回歸模型；(3)利用所得模型預報x＝40時y的值．解析：(1)x與y的散點圖如下圖，由散點分布猜測樣本數(shù)據(jù)分布在一條曲線的附近，這條曲線接近指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x，其中c1，c2為常數(shù)．(2)對y＝c1ec2x兩邊取對數(shù)得lny＝lnc1＋c2x.令A＝lny，則A＝bx＋a，其中a＝lnc1，b＝c2.將y與x之間的數(shù)據(jù)轉化為A與x之間的數(shù)據(jù)：x21232527293235A1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得回歸直線方程為eq\o(A,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.(3)當x＝40時，y＝e0.272×40－3.849≈1131.點評：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)描出散點圖，由散點圖直觀地觀察散點分布符合的函數(shù)模型，再根據(jù)有關公式進行計算．某大型超市年底對公司銷售人員的銷售業(yè)績進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)10位員工每年的銷售額和其銷售經(jīng)驗(年)有如下數(shù)據(jù)：銷售經(jīng)驗x/年13446810101113年銷售額y/萬元809792102103111119123117136分析：利用公式計算即可．解析：(1)由直線eq\o(y,\s\up6(^))＝78＋4.2x，得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i的值如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－2.26.4－2.87.2－0.2－0.6－13－7.23.4(3)比較可知，用最小二乘法求出的殘差平方和小，所以用回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝80＋4x來擬合較好．當x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝80＋4×5＝100(萬元)．∴一個有5年銷售經(jīng)驗的本公司員工，他的年銷售額約為100萬元．獨立性檢驗及其應用點評：通過本題可以進一步了解回歸直線方程的意義及殘差的含義和殘差平方和的意義．獨立性檢驗及其應用在日常生活中，分類變量是大量存在的，例如吸煙與患肺癌等，在實際問題中，我們常常關心兩個變量之間是否有關系．為觀察藥物A、B治療某病的療效，某醫(yī)生將100例該病病人隨機地分成兩組，一組40人，服用A藥；另一組60人，服用B藥．結果發(fā)現(xiàn)：服用A藥的40人中有30人治愈，服用B藥的60人中有11人治愈，問A、B兩藥對該病的治愈率之間是否有顯著差別？解析：為便于將數(shù)據(jù)代入公式計算，先列出2×2列聯(lián)表：治愈未愈總計A藥301040B藥114960總計4159100由公式得k＝≈31.859.因為31.859>10.828，所以我們在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為A、B兩藥對該病的治愈率之間有顯著差別．點評：獨立性檢驗方法的應用，關鍵是確定兩個變量和列出2×2列聯(lián)表，只要完成了這兩步，下面的計算和判斷就迎刃而解了．某推銷商為其保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患疾病A”．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不使用該藥品的418人中僅有18人患疾病A.請用所學知識分析該藥品對預防疾病A是否有效．解析：將問題中的數(shù)據(jù)寫成2×2列聯(lián)表：患疾病A未患疾病A總計使用5100105不使用18400418總計23500523由公式得k＝≈0.04145.顯然0.041