無套利定價原理二

第三講無套利定價原理什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論第一部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論商業(yè)貿易中的套利行為

15,000元/噸翰陽公司賣方甲買方乙17,000元/噸銅銅在商品貿易中套利時需考慮的成本：（1）信息成本：

（2）空間成本

（3）時間成本

金融市場中的套利行為

專業(yè)化交易市場的存在

信息成本只剩下交易費用產品標準化金融產品的無形化－－沒有空間成本金融市場存在的賣空機制大大增加了套利機會

金融產品在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷

套利的定義套利指一個能產生無風險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預期能產生無風險盈利的策略，可能會承擔一定的低風險。

第二部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價”原理無套利定價”原理

金融產品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在套利機會那什么是套利機會呢？套利機會的等價條件（1）存在兩個不同的資產組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；損益：現金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對應的現金流（2）存在兩個相同成本的資產組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的支付。（3）一個組合其構建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。無套利定價價原理（1）同損損益同價格格如果兩種證證券具有相相同的損益益，則這兩兩種證券具具有相同的的價格。（2）靜態(tài)組合合復制定價價：如果一個資資產組合的的損益等同同于一個證證券，那么么這個資產產組合的價價格等于證證券的價格格。這個資資產組合稱稱為證券的的“復制組組合”（replicatingportfolio）。（3）動態(tài)組合合復制定價價：如果一個自自融資（self-financing）交易策略略最后具有有和一個證證券相同的的損益，那那么這個證證券的價格格等于自融融資交易策策略的成本本。這稱為為動態(tài)套期期保值策略略（dynamichedgingstrategy）。確定狀態(tài)下下無套利定定價原理的的應用案例1：假設兩個零零息票債券券A和B，，兩者都是是在1年后后的同一天天支付100元的面面值。如果果A的當前前價格為98元。另另外，假設設不考慮交交易成本。。問題：（1）B的的價格應該該為多少呢呢？（2）如果B的市場價格格只有97.5元，問如何何套利呢？？應用同損益益同價格原原理：B的價格也也為98元元如果B的市市場價格只只有97.5元，賣賣空A，買買進B案例2：假設當前市市場的零息息票債券的的價格為：：①1年后后到期的零零息票債券券的價格為為98元；；②2年后后到期的零零息票債券券的價格為為96元；；③3年后后到期的零零息票債券券的價格為為93元；；另外，假設設不考慮交交易成本。。問題題：：（1））息息票票率率為為10％％，，1年年支支付付1次次利利息息的的三三年年后后到到期期的的債債券券的的價價格格為為多多少少呢呢？？（2）如如果果息息票票率率為為10％，，1年支支付付1次利利息息的的三三年年后后到到期期的的債債券券價價格格為為120元，，如如何何套套利利呢呢？？看未未來來損損益益圖圖：：1年年末末2年年末末3年年末末1010110靜態(tài)態(tài)組組合合復復制制策策略略（1））購購買買0.1張張的的1年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券，，其其損損益益剛剛好好為為100××0.1＝＝10元元；；（2））購購買買0.1張張的的2年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券，，其其損損益益剛剛好好為為100××0.1＝＝10元元；；（3））購購買買1.1張張的的3年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券，，其其損損益益剛剛好好為為100××1.1＝＝110元元；；根據據無無套套利利定定價價原原理理的的推推論論0.1××98＋＋0.1××96＋＋1.1××93＝＝121.7問題題2的的答答案案：：市場場價價格格為為120元元，，低低估估B，，則則買買進進B，，賣賣出出靜靜態(tài)態(tài)組組合合（1））買買進進1張張息息票票率率為為10％％，，1年年支支付付1次次利利息息的的三三年年后后到到期期的的債債券券；；（2））賣賣空空0.1張張的的1年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券；；（3））賣賣空空0.1張張的的2年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券；；（4）賣賣空空1.1張的的3年后后到到期期的的零零息息票票債債券券；；案例例3：：假設設從從現現在在開開始始1年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券的的價價格格為為98元元，，從從1年年后后開開始始，，在在2年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券的的價價格格也也為為98元元（（1年年后后的的價價格格））。。另另外外，，假假設設不不考考慮慮交交易易成成本本。。問題題：：（1））從從現現在在開開始始2年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券的的價價格格為為多多少少呢呢？？（2）如如果果現現在在開開始始2年后后到到期期的的零零息息票票債債券券價價格格為為99元，，如如何何套套利利呢呢？？(1)從從現現在在開開始始1年年后后到到期期的的債債券券Z0××1第1年年末末支付付:100價格格:98(2)1年年后后開開始始2年年后后到到期期的的債債券券Z1××2第2年年末末支付付:100價格格:98(3)從從現現在在開開始始2年年后后到到期期的的債債券券Z0××2第2年年末末支付付:100價格格:？？動態(tài)態(tài)組組合合復復制制策策略略：：（1））先先在在當當前前購購買買0.98份份的的債債券券Z0××1；（2））在在第第1年年末末0.98份份債債券券Z0××1到期期，，獲獲得得0.98××100＝＝98元元；；（3）在在第第1年末末再再用用獲獲得得的的98元去去購購買買1份債債券券Z1×2；自融融資資策策略略的的現現金金流流表表交易策略現金流當前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：-96.040100這個個自自融融資資交交易易策策略略的的損損益益：：就是是在在第第2年年末末獲獲得得本本金金100元元，，這這等等同同于于一一個個現現在在開開始始2年年后后到到期期的的零零息息票票債債券券的的損損益益。。這個個自自融融資資交交易易策策略略的的成成本本為為：：98×0.98＝96.04如果果市市價價為為99元元，，如如何何套套利利構造造的的套套利利策策略略如如下下：：（1））賣賣空空1份份Z0××2債券券，，獲獲得得99元元，，所所承承擔擔的的義義務務是是在在2年年后后支支付付100元元；；（2））在在獲獲得得的的99元元中中取取出出96.04元元，，購購買買0.98份份Z0×1；（3）購購買的1年期零零息票債債券到期期，在第第一年末末獲得98元；；（4）再再在第1年末用用獲得的的98元元購買1份第2年末到到期的1年期零零息票債債券；（5）在第2年末，零零息票債債券到期期獲得100元，用于于支付步步驟（1）賣空的的100元；交易策略現金流當前第1年末第2年末(1)賣空1份Z0×299

-100(2)購買0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：99-96.04=2.9600不確定狀狀態(tài)下的的無套利利定價原原理的應應用不確定狀狀態(tài)：資產的未未來損益益不確定定假設市場場在未來來某一時時刻存在在有限種種狀態(tài)在每一種種狀態(tài)下下資產的的未來損損益已知知但未來時時刻到底底發(fā)生哪哪一種狀狀態(tài)不知知道案例4：：假設有一一風險證證券A，，當前的的市場價價格為100元元1年后的的市場出出現兩種種可能的的狀態(tài)：：狀態(tài)1和狀態(tài)態(tài)2。狀態(tài)1時時，A的的未來損損益為105元元，狀態(tài)態(tài)2時，，95元元。有一證券券B，它它在1年年后的未未來損益益也是：：狀態(tài)1時105元，，狀態(tài)2時95元。另外，假假設不考考慮交易易成本。。問題：（1）B的合理理價格為為多少呢呢？（2）如果B的價格為為99元，如何何套利？？答案：（1）B的合理理價格也也為100元；；（2）如如果B為為99元元，價值值被低估估，則買買進B，，賣空A案例5：：假設有一一風險證證券A，，當前的的市場價價格為100元元1年后的的市場出出現兩種種可能的的狀態(tài)：：狀態(tài)1和狀態(tài)態(tài)2。狀態(tài)1時時，A的的未來損損益為105元元，狀態(tài)態(tài)2時，，95元元。有一證券券B，它它在1年年后的未未來損益益也是：：狀態(tài)1時120元，狀態(tài)態(tài)2時110元。另外，假假設不考考慮交易易成本，，資金借借貸也不不需要成成本。問題：（1）B的合理理價格為為多少呢呢？（2）如果B的價格為為110元，如何何套利？？證券未來來損益圖圖10010595風險證券券APB120110風險證券券B111資金借貸貸靜態(tài)組合合策略：：要求x份的的證券A和y份的的資金借借貸構成成B解得：X=1,y=15所以：B的價格格為：1*100+15*1=115第二個問問題：當B為110元元時，如如何構造造套利組組合呢？？套利組合合：買進B，賣空A，借入資資金15元。

期初時刻的現金流期末時刻的現金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金15元15-15-15合計500案例6：：假設有一一風險證證券A，，當前的的市場價價格為100元元1年后的的市場出出現三種可能的的狀態(tài)：：狀態(tài)1、2和和3。狀態(tài)1、、2和3時，A的未來來損益分分別為110.25，，99.75，，90.25元元。有一證券券B，它它在1年年后的未未來損益益也是：：狀態(tài)1、2和和3時，，分別為為125，112.5和109元元。另外，假假設不考考慮交易易成本，，資金借借貸的年年利率為為5.06％，，半年利利率為2.5％％。問題：：（1））B的的合理理價格格為多多少呢呢？（2）如果果B的價格格為110元，如如何套套利？？證券未未來損損益圖圖100110.2599.75風險證證券A風險證證券B資金借借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.0506構造靜靜態(tài)組組合：：x份份A和和y份份資金金借貸貸構成成B方程無無解?。討B(tài)組組合復復制動態(tài)：：我們把把1年的持持有期期拆成成兩個個半年年，這這樣在在半年年后就就可調調整組組合假設證證券A在半年年后的的損益益為兩兩種狀狀態(tài)，，分別別為105元和95元證券B的半半年后后的損損益不不知道道110.2599.75風險證證券A風險證證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025構造如如下的的組合合：（1）1份的證證券A；（2）持有有現金金13.56。在半年年后進進行組組合調調整(1)證券券A的損益益為105時：再買進進0.19份的證證券A，需要要現金金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的的現金金13.56，加上上利息息變?yōu)闉椋?3.56×1.025＝13.90。半年后后的組組合變變?yōu)椋海?.19份證券券A現金－－6.05（（13.90––19.95）在1年后此此組合合損益益狀態(tài)態(tài)為：：(2)證券A的損益為95時：賣出0.632份的證券A，得到0.632×95＝60.04元持有的現金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90半年后的組組合變?yōu)椋海?.368份證券A現金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此組合合損益狀態(tài)態(tài)為：110.2599.7590.2510010595原始組合：：(1)持有有1份A(2)持有有現金13.56操作：賣出出0.632份A組合為：(1)持有有0.368份A(2)持有有現金73.94操作：買進進0.19份A組合為：(1)持有有1.19份A(2)持有有現金-6.05組合的支付付為：125112.5109半年后的組組合調整是是如何得到到呢？動態(tài)策略調調整方法：：多期的靜態(tài)態(tài)復制策略略從后往前應應用靜態(tài)復復制策略110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）證券在中中期價格為為105時：解得：x=1.19，y＝－5.90此時B的價價格為：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）證券在中中期價格為為95時：解得：x=0.368，y＝72.14此時B的價價格為：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的當前價價格為：B＝1×100＋13.56×1＝113.56無套利定價價原理的簡簡單總結無套利定價價原理就是是金融學，，金融工程程的核心思思想“同損益同同價格”實實際上就是是“一價定定理”靜態(tài)和動態(tài)態(tài)組合復制制策略則是是用于給衍衍生產品定定價的基本本思想如果市場存存在摩擦（（交易成本本）時，只只能給出一一個定價區(qū)區(qū)間。在這這個定價區(qū)區(qū)間內，市市場無法實實現套利。。第三部分什么是套利利什么是無套套利定價原原理無套利定價價原理的基基本理論Arrow-Debreu模模型1、市場環(huán)環(huán)境2、套利組組合的定義義3、無套利利組合等價價定理4、完全市市場與不完完全市場1、市場環(huán)境境假設市場中有N個證券，s1,s2,s3,…,sN兩個投資時時刻，0和和1時刻第i種證券在初初始0時刻的價格格為pi，則N種證券的價價格向量為為：P=(p1,p2,…,pN)T市場在未來來1時刻有M種可能狀態(tài)態(tài)，第i種證券在第第j種狀態(tài)下的的損益為Dij，則這些證證券的損益益矩陣為：：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假設損益矩矩陣D的值對于投投資者是已已知的，但但是投資者者無法提前前知道在1時刻這些證證券處于M種狀態(tài)中的的哪一種狀狀態(tài)證券組合用用向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有的的第i種證券的數數量，多頭頭時，θi>0；空頭時，，θi<0時。假設市場是是無摩擦的的，即不考考慮交易費費用，稅收收等證券組合θ在初始0時刻的價格格則為：這個組合在在第j種狀狀態(tài)下的損損益則為：：2、套利組合合的定義一個證券組組合θ定義為套利利組合，如如果它滿足足：或者：3、無套利利組合等價價定理定理1：市場不存在在套利組合合的等價條條件是：存在一個正正向量，，使得，即狀態(tài)價格無套利組合合等價定理理的含義：：如果市場不不存在套利利組合，則則資產的當當前價格與與未來損益益之間要滿滿足一定的的條件。這這個條件是是要存在一一個對應于于M個狀態(tài)的向向量，一般般稱之為狀狀態(tài)價格（（state-prices）?；A資產假設市場另外外存在M種資產，sN+1,sN+2,…,sN+M。這M種資產的未來來損益為，只只在一種狀態(tài)態(tài)下為1，其余狀態(tài)下下都是零。即即對于資產sN+j，它的未來損損益只是在第第j種狀態(tài)為1，其余狀態(tài)為為0。這M種資產就構成成了“基礎資資產”，由它它們生成的組組合的未來損損益可以表示示任意一種資資產的未來損損益?；A資產的價價格假設M個基礎資產的的價格分別為為：u1，u2，…,uM根據無套利定定價原理，任任何一種未來來損益為(d1,d2,…,dM)的資產價格格應該為：按照定理1的的表述，u1，u2，…,uM就是滿足定理理1條件的正正向量所以，我們稱稱為狀狀態(tài)價格，即即每種狀態(tài)下單單位未來損益益的資產價格格。風險中性概率率把狀態(tài)價格歸歸一化，即讓讓M個分量的和變變?yōu)?：問題：狀態(tài)價價格的分量和和表表示什什么呢？就是未來損益益都是1的資資產的價格未來損益都是是1，即是無無風險債券的的價格定理1的式子子可重新寫成成：通常把歸一化化后的狀態(tài)價價格稱稱為風險中性性概率或風險險調整調整概概率，它指的的是經過投資資者風險調整整的每一種狀狀態(tài)可能發(fā)生生的概率推論如果市場不存存在套利組合合，而且假設設無風險借貸貸的利率為r，則存在一個個概率測度使使得任意一個個資產的價格格等于其未來來可能損益（（現金流）的的期望值以無無風險借貸利利率貼現的貼貼現值。問題：風險中性概率率與實際中各各個狀態(tài)發(fā)生生的概率之間間有什么關系系呢？記為未來來第j種狀態(tài)態(tài)發(fā)生的概率率，即統(tǒng)計意意義上的概率率。就反映了投資資者對不同狀狀態(tài)的風險偏偏好程度。如果對于所有有的j＝1～M，，，即：：則稱市場是風風險中性的。。3、完全市場場與不完全市市場完全市場的定定義：一個具有N種資產，M種損益狀態(tài)的的市場，如果果對于任意一一個未來損益益向量d=（d1,d2,…,dM），都存在一一個N種資產的組合合(θ1,θ2,…,θN)，其未來損益益等于（d1,d2,…,dM），則我們稱稱市場是完全全的。定理2：在市場不存在在套利組合的的假設下，市市場是完全的的充要條件是是只有唯一的的一組狀態(tài)價價格滿足定理理1中的式子子，即狀態(tài)價價格唯一或者者風險中性概概率唯一。Arrow-Debreu模型的應應用1、兩狀態(tài)模模型2、三狀態(tài)模模型兩狀態(tài)模型市場的未來損損益只有兩種種狀態(tài)，M＝2只存在兩種資資產，一種是是無風險借貸貸，其借貸利利率為r另一種是資產產s，當前的價格格為p。假設資產s在未來的損益益為：狀態(tài)1時為pu＝p×u，狀態(tài)2時為pd＝p×d，其中u和d表示價格變化化的倍數，假假設u>d。問題：市場不不存在套利組組合的條件？？比如：資產s，當前前價格為100，未來兩兩種損益分別別為：110，95。投投資周期為1年，當前年年利率為5％％。問題：存在套套利組合嗎？？如何套利？根據定理1：：即：求解可得：方程求解可得得：即任意一個資資產，其未來來損益為：在在1狀態(tài)時d1，在2狀態(tài)時d2，都可由資產產s和無風險借貸貸的組合復制制，而且其價價格v為：比如，有一基于資產s的金融產品，，其未來損益益為：d1＝pu－k，d2＝0可解得其價格格為：三狀態(tài)模型假設市場有三三種狀態(tài)，但但僅有兩種資資產，無風險險借貸，其利利率為r；另外一種資資產s，價格為p，其在未來損損益為：狀態(tài)態(tài)1時，損益為pu（即為原價格格的u倍）；狀態(tài)2時為pm，狀態(tài)3時為pd，假設d<m<u。市場不存在套套利組合的條條件求解可得：根據定理2，，這個方程的的解不唯一實際上是一條條直線第一個端點第二個端點：：如果，，則則為：如果，，則則為：9、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。01:21:4701:21:4701:211/6/20231:21:47AM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2301:21:4701:21Jan-2306-Jan-2312、故人江海海別，幾度度隔山川。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2301:21:4801:21:48January6,202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國見青青山。。06一月20231:21:48上午01:21:481月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:21上午午1月-2301:21January6,202316、行動出成果果，工作出財財富。。2023/1/61:21:4801:21:4806January202317、做前，，能夠環(huán)環(huán)視四周周；做時時，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點點的射線線向前。。。1:21:48上午午1:21上午午01:21:481月-239、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有結果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。01:21:4801:21:4801:211/6/20231:21:48AM11、成功功就是是日復復一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。1月-2301:21:4801:21Jan-2306-Jan-2312、世間成成事，不不求其絕絕對圓滿滿，留一一份不足足，可得得無限完完美。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、不不知知香香積積寺寺，，數數里里