2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市第一四五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市第一四五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.同時(shí)具有性質(zhì)：“①最小正周期為；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是

A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：逐一排除即可2..已知外接圓的半徑為，且．，從圓內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)取自內(nèi)的概率恰為，則的形狀為(

)(A)直角三角形

(B)等邊三角形

(C)鈍角三角形

(D)等腰直角三角形參考答案：B略3.下面為函數(shù)的遞增區(qū)間的是A. B. C. D.參考答案：C，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以選C.4.若函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)．則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【分析】由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象可求出a和b的范圍，再進(jìn)一步判斷g（x）=ax+b的圖象即可．【解答】解：由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象為減函數(shù)可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的圖象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是D故選D5.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（，）的最大值為12，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：C.試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)，所以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖像.故應(yīng)選C.考點(diǎn)：函數(shù)的圖像變換.7.如果一個(gè)數(shù)含有正偶數(shù)個(gè)數(shù)字8，則稱它為“優(yōu)選”數(shù)（如12883，787480889），否則稱它為“非優(yōu)選”數(shù)（如2348756，958288等），則四位數(shù)中所有“優(yōu)選”數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）

A．459

B．460

C．486

D．487參考答案：B8.直線l過(guò)點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0參考答案：A9.函數(shù)的圖像如圖所示，A為圖像與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與函數(shù)的圖像交于B、C兩點(diǎn)，則

(

)

A．

B．

C．4D．8參考答案：D10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，x∈[0，1]時(shí)，，對(duì)任意的x都有成立，則函數(shù)均零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則＝

．參考答案：5∵，∴．12.設(shè)為任意實(shí)數(shù)，不等式組表示區(qū)域，若指數(shù)函數(shù)的圖象上存在區(qū)域上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________參考答案：略13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為（），曲線C在點(diǎn)（2，）處的切線為l，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則l的直角坐標(biāo)方程為

▲

.參考答案：14.已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，則|﹣2|=．參考答案：2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)（+）⊥得出（+）?=0，求出?的值，再計(jì)算從而求出|﹣2|．【解答】解：向量，中，||=2，||=1，且（+）⊥，∴（+）?=+?=0，∴?=﹣=﹣4，∴=﹣4?+4=4﹣4×（﹣4）+4×1=24，∴|﹣2|=2．故答案為：2．15.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為_(kāi)_______.參考答案：16.函數(shù)的極小值為

．參考答案：－2求導(dǎo)，得：，得，當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值－2。17.已知函數(shù)，若f（2m+1）＞f（m2﹣2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（﹣1，3）考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：由題意可知g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4在（﹣∞，1]單調(diào)遞增，h（x）=x2+1在（1，+∞）單調(diào)遞增且h（1）=g（1），從而可得f（x）在R上單調(diào)遞增解答：解：令g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4則g‘（x）=9x2﹣18x+12＞0恒成立，即g（x）在（﹣∞，1]單調(diào)遞增而h（x）=x2+1在（1，+∞）單調(diào)遞增且h（1）=g（1）∴f（x）在R上單調(diào)遞增∵f（2m+1）＞f（m2﹣2）∴2m+1＞m2﹣2m2﹣2m﹣3＜0∴﹣1＜m＜3故答案為：（﹣1，3）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)的單調(diào)性及端點(diǎn)處函數(shù)值的處理三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．（1）若a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥；（2）求證：≥．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【專(zhuān)題】推理和證明．【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通過(guò)放縮證明即可．（2）利用分析法由≥，得到條件（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，推出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∵2ab≤a2+b2，2bc≤c2+b2，2ac≤a2+c2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）由已知得a+b+c＞0，欲證≥，只需證≥，只需證3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，只需證2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≥0，即證（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，上述不等式顯然成立，故原不等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明，考查分析法以及綜合法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,0)．（1）若點(diǎn)Q在曲線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在線段PQ上運(yùn)動(dòng)，且，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．參考答案：（1）（2）【分析】（1）設(shè)，，由即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）由題得直線的參數(shù)方程可設(shè)為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求解.【詳解】（1）設(shè)，，

則由，得，即

消去，得，此即為點(diǎn)的軌跡方程.（2）曲線的普通方程為，直線的普通方程，設(shè)為直線的傾斜角，則，，則直線的參數(shù)方程可設(shè)為（為參數(shù)），

代入曲線的普通方程，得，

由于，

故可設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20.（本小題滿分12分）某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現(xiàn)從該年級(jí)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.根據(jù)問(wèn)卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人；（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分總計(jì)走讀生502575住宿生101525總計(jì)6040100是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？參考公式：參考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；參考答案：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1,2,…,8),則由圖可知：P1=×30=,P2=×30=∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P1+P2=

由題n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④組的高度h=×==

頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)………8分（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計(jì)20人。則X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列為：P0123XEX=0×+1×+2×+3×===(或由X服從20，5，3的超幾何分布，∴EX=3×=)…12分21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．菁D2D3B4（1）；（2）解析：（1）由公差（2），?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和即可。22.已知函數(shù)f（x）=a+（bx﹣1）ex，（a，b∈R）（1）如曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，關(guān)于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個(gè)，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）由曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=x，得，求出a，b的值即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)并分類(lèi)討論，即可得出a的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）=bex+（bx﹣1）ex=（bx+b﹣1）ex，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x，∴，∴，解得：；（2）當(dāng)b=2時(shí)，f（x）=a+（2x﹣1）ex，（a＜1），關(guān)于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個(gè)，等價(jià)于關(guān)于x的不等式a+（2x﹣1）ex﹣ax＜0的整數(shù)解有且只有1個(gè)，構(gòu)造函數(shù)F（x）=a+（2x﹣1）ex﹣ax，x∈R，故F′（x）=ex（2x+1）﹣a，1°x≥0時(shí)，∵ex≥1，2x+1≥1，故ex（2x+1）≥1