浙教版九年級數(shù)學(xué)下冊第2章直線與圓的位置關(guān)系

第2章直線與圓的位置關(guān)系2.1直線與圓的位置關(guān)系第1課時

直線與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有幾種？點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則：

ABC點在圓外

d>r;點在圓上

d=r；點在圓內(nèi)

d<r.位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合：數(shù)量關(guān)系同學(xué)們，在我們的生活中到處都蘊含著數(shù)學(xué)知識，下面老師請同學(xué)們欣賞美麗的圖片。從海上日出這種自然現(xiàn)象中可以抽象出哪些基本的幾何圖形呢？請同學(xué)們利用手中的工具再現(xiàn)海上日出的整個情景。在再現(xiàn)過程中，你認(rèn)為直線與圓的位置關(guān)系可以分為哪幾類？你分類的依據(jù)是什么？(地平線)a(地平線)●O●O●O(2)直線和圓有唯一一個公共點,叫做直線和圓相切,這條直線叫圓的切線，這個公共點叫切點。(1)直線和圓有兩個公共點,叫做直線和圓相交，這條直線叫圓的割線，這兩個公共點叫交點。(3)直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離。一、直線與圓的位置關(guān)系（用公共點的個數(shù)來區(qū)分）相交相切相離上述變化過程中，除了公共點的個數(shù)發(fā)生了變化，還有什么量在改變？你能否用數(shù)量關(guān)系來判別直線與圓的位置關(guān)系？2.連結(jié)直線外一點與直線所有點的線段中,最短的是

。

1.直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。垂線段相關(guān)知識點回憶直線和圓相切d=r直線和圓相離d>rrd∟rd∟rd直線和圓相交d<r二、直線和圓的位置關(guān)系（用圓心到直線l的距離d與圓的半徑r

的關(guān)系來區(qū)分）觀察太陽落山的照片,在太陽落山的過程中,太陽與地平線(直線a)經(jīng)歷了哪些位置關(guān)系的變化？a(地平線)

1、已知圓的直徑為13cm，設(shè)直線和圓心的距離為d

：3)若d=8cm,則直線與圓______,直線與圓有____個公共點.

2)若d=6.5cm,則直線與圓______,直線與圓有____個公共點.

1)若d=4.5cm,則直線與圓

,直線與圓有____個公共點.3)若AB和⊙O相交,則

.2、已知⊙O的半徑為5cm,圓心O與直線AB的距離為d,根據(jù)條件填寫d的范圍:1)若AB和⊙O相離,則

;2)若AB和⊙O相切,則

;相交相切相離d>5cmd=5cm0cm≤d<5cm210例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．分析：要了解AB與⊙C的位置關(guān)系，只要知道圓心C到AB的距離d與r的關(guān)系．已知r，只需求出C到AB的距離d。BCA43Dd解：過C作CD⊥AB，垂足為D在△ABC中，AB=5根據(jù)三角形的面積公式有∴即圓心C到AB的距離d=2.4cm所以(1)當(dāng)r=2cm時,有d>r,因此⊙C和AB相離。BCA43Dd（2）當(dāng)r=2.4cm時,有d=r,因此⊙C和AB相切。（3）當(dāng)r=3cm時，有d<r，因此，⊙C和AB相交。BCA43DBCA43Ddd

已知⊙O的半徑r=7cm,直線l1//l2,且l1與⊙O相切,圓心O到l2的距離為9cm.求l1與l2的距離m.O。l1l2ABCl2判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：（1）根據(jù)定義，由__________________的個數(shù)來判斷；（2）根據(jù)性質(zhì)，由_____________________

______________的關(guān)系來判斷。在實際應(yīng)用中，常采用第二種方法判定。兩直線與圓的公共點圓心到直線的距離d與半徑r第2課時

切線的判定和性質(zhì)回顧舊知直線與圓的位置關(guān)系量化

直線和圓相交d

rdr

直線和圓相切

直線和圓相離d

r<=>相離相切相交情境引入動手操作：在⊙O中任取一點A，連結(jié)OA，過點A

作直線l⊥OA.思考：（可與同伴交流）（1）圓心O到直線l的距離和圓的半徑由什么關(guān)系？（2）直線l與⊙O的位置有什么關(guān)系？根據(jù)什么？（3）由此你發(fā)現(xiàn)了什么？直線與圓相切的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線。如圖所示，半徑OA⊥直線l，直線l為⊙O的切線．特征①：直線l經(jīng)過半徑OA的外端點A特征②：直線l垂直于半徑OAd=r相切感悟新知

圓的切線的判定方法：

(1)概念：與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；

(2)數(shù)量關(guān)系：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；

(3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線．總結(jié)歸納例1已知:如圖，

A是⊙O外一點，AO的延長線交⊙O于點C，點B在圓上，且AB=BC,∠A=30°.求證:直線AB是⊙O的切線.

連結(jié)OB.∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°，∴∠OBC=∠C=∠A=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)=180°-(60°+30°)=90°，∴AB⊥OB，∴AB為⊙O的切線(經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線).證明：∵OA=OB=5，AB=8∴AC=BC=4∴在Rt△AOC中，OC=3，又∵⊙O的直徑長為6，∴OC=半徑r∴直線AB是⊙O的切線.證明：過點O作OC⊥ABC無交點，作垂直，證d=r如圖，已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直徑為6.求證：AB與⊙O相切.BＯA有交點，連半徑，證垂直練習(xí)實際應(yīng)用

例2如圖，臺風(fēng)中心P（100，200）沿北偏東30°方向移動，受臺風(fēng)影響區(qū)域的半徑為200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到這次臺風(fēng)影響，哪些不受到這次臺風(fēng)影響？合作學(xué)習(xí)①OA與AT垂直嗎？問：

已知直線AT切⊙O于點A（切點）,連結(jié)OA，則OA是半徑.經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線AOT②過點A作AT的垂線，垂線過點O嗎？經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心圓的切線的性質(zhì)：經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線．拓展：(1)切線和圓只有一個公共點．(2)圓心到切線的距離等于半徑．(3)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．(4)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．總結(jié)歸納（判定垂直）（判定半徑或直徑）例3

木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑.如圖,用角尺的較短邊緊靠⊙O于點A,并使較長邊與⊙O相切于點C,記角尺的直角頂點為B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半徑.連結(jié)過切點的半徑是常用的輔助線OABCD解：連結(jié)OA,OC,過點A作AD⊥OC于D.∵AB⊥BC,AD⊥OC∴四邊形ABCD是矩形∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB在Rt△ADO中,解得:r=20答:⊙O的半徑為20cm∵⊙O與BC相切于點C.∴OC⊥BC

例4已知:如圖,直線AB與⊙O相切于點C，AO交⊙O于點D，連結(jié)CD,OC.求證：∠ACD=

∠COD.

如圖,作OE丄CD于點E，則∠COE+∠OCE=90°.∵⊙O與AB相切于點C，∴OC丄AB(經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線），即∠ACD+∠OCE=90°.∴∠ACD=∠COE.∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,∴∠COE=∠COD∴∠ACD=∠COD證明：1.切線的判定定理。2.判定一條直線是圓的切線的方法。（1）定義：直線和圓有唯一公共點。（2）數(shù)量關(guān)系：直線到圓心的距離等于半徑。（3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。3.輔助線作法：（1）有公共點：作半徑證垂直。（2）無公共點：作垂直證半徑。課堂小結(jié)4.切線的性質(zhì)：經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心5.切線性質(zhì)的應(yīng)用：常用的輔助線是連接半徑．綜合性較強，要聯(lián)系許多其它圖形的性質(zhì)．1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝

AC＝4，點O為BC的中點，以O(shè)為圓心作半圓O交

BC于點M，N，半圓O與AB，AC相切，切點分別為

D，E，則半圓O的半徑和∠MND的度數(shù)分別為(

)A．2；22.5°B．3；30°C．3；22.5°D．2；30°課堂測試2.如圖，由正方形ABCD的頂點A引一直線分別交BD、CD及BC的延長線于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圓；求證：CE是⊙O的切線。3.如圖,直線AB與⊙O相切于點C,射線AO交⊙O于點D，E,連結(jié)CD，CE.找出圖中的一對相似三角形，并說明理由。CBAODE

若已知AC=4cm，⊙O的半徑為3cm，能否求出圖中其它線段的長度？F第2章直線與圓的位置關(guān)系2.2切線長定理

1、如何過⊙O外一點P畫出⊙O的切線？2、這樣的切線能畫出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線。3、如果∠P=50°,求∠AOB的度數(shù)畫一畫50°130°PO課外補充

OABP思考：已畫出切線PA、PB，A、B為切點，則∠OAP=90°,連接OP，可知A、B

除了在⊙O上，還在怎樣的圓上?如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？尺規(guī)作圖：過⊙O外一點作⊙O的切線

·OPAB在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線長的概念·OPAB··

切線和切線長是兩個不同的概念：

1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；

2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。切線和切線長OP

AB思考:已知⊙O切線PA、PB，A、B為切點，把圓沿著直線OP對折,你能發(fā)現(xiàn)什么?

OABP12請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。PA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB

，

即∠OAP=∠OBP=90°

∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論BPOAPA、PB分別切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法OPAB若連結(jié)兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.結(jié)論：OP垂直平分AB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線，∴OP垂直平分ABBPOAM若延長PO交⊙O于點C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.結(jié)論：CA=CB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCBPOAC（3）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切點（1）分別連結(jié)圓心和切點PBAO反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。例1、已知：P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點，BC是直徑。求證：AC∥OPPACBDO例題講解練習(xí)1.（口答）如圖PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周長．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度數(shù)C

·OPBDAE例2、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓⊙O分別相切于點L、M、N、P，求證：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP

即AB+CD=AD+BC補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．例3.如圖，△ABC中,∠C=90o,它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=12,AD=8，求⊙O的半徑r.OEBDCAF練習(xí)2.如圖，AB是⊙O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，(1)求證：OD⊥OC

(2)若BC=9，AD=4，求OB的長.

OABCDE4、OP交⊙O于M,則

，AB

OP牛刀小試PABCOM3、若∠P=70°，則∠AOB=

°2、已知OA=3cm,OP=6cm，則∠APB=

。

60°AM＝BM⌒⌒1101、若PA=4、PM=2，求圓O的半徑OA。

OA=3⊥5、已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12CM，求△PEF的周長。EAQPFBO易證EQ=EA,FQ=FB，PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周長為24cm1.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。BPO。AECD∵PA、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。課堂小結(jié)2.我們學(xué)過的切線，常有性質(zhì)：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。(6)從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個第2章直線與圓的位置關(guān)系2.3三角形的內(nèi)切圓學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形的概念。2、會利用基本作圖作三角形的內(nèi)切圓。3、了解三角形內(nèi)心的性質(zhì)，并會進行有關(guān)的計算。1．任意作一個∠ABC，如果在∠ABC內(nèi)作圓，使其與兩邊OA、OB相切，滿足上述條件的圓是否可以作出？如果可以作，能作多少個？所作出的圓的圓心O的位置有什么特征？為什么？圓心O在∠ABC的平分線上。能作無數(shù)個2．任意作一個△ABC，在△ABC內(nèi)作圓，使其與各邊都相切，滿足上述條件的圓是否可以作出？如果可以作，能作多少個？所作出的圓的圓心O的位置有什么特征？為什么？圓心O在∠ABC與∠ACB的兩個角的角平分