用二重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積

6.2定積分的幾何應(yīng)用

1先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸第1頁/共30頁第一頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

2

設(shè)D是上半平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。

將D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。

我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。D第2頁/共30頁第二頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

3D在區(qū)域D的(x,y)處取一個(gè)面積元素它到x軸的距離是y

（如圖）。該面積元素繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：（體積元素）于是整個(gè)區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：第3頁/共30頁第三頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

4D命題1：上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：第4頁/共30頁第四頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

5D命題2：右半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：同理第5頁/共30頁第五頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

6下面針對(duì)不同的區(qū)域

將二重積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式第6頁/共30頁第六頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

7x型區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)第7頁/共30頁第七頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

8y=f(x)如果圓片法則D繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：第8頁/共30頁第八頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

9y=f(x)y=g(x)如果則D繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為墊圈法第9頁/共30頁第九頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

10y型區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)第10頁/共30頁第十頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

11x=f(y)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：圓片法第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

12x=f(y)x=g(y)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：墊圈法第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

13x型區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)！注意：一般教材沒有介紹這個(gè)公式。第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

14y=f(x)y=g(x)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：柱殼法第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

15下面看一個(gè)極坐標(biāo)的情形第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

16如果D是曲邊扇形：則D繞極軸(x軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

17我們用命題1來推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)區(qū)域D的形心

(質(zhì)心)和旋轉(zhuǎn)體體積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾?。?577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

18D上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于該區(qū)域的形心所經(jīng)過的路程與D的面積A的乘積。古爾丁定理形心A第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

19D形心A如果你很容易求得D的面積和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

20下面來看一般的情形一般的區(qū)域&一般的旋轉(zhuǎn)軸第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

21

設(shè)D是xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。直線L與D的內(nèi)點(diǎn)不相交（如圖）。

將D繞直線L旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積V。

我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。DL第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

22D在區(qū)域D的(x,y)處取一個(gè)面積元素它到直線L的距離是：該面積元素繞L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：于是整個(gè)區(qū)域D繞直線L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：設(shè)直線L的方程為ax+by+c=0。L第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

23D命題3區(qū)域D繞直線

ax+by+c=0（D在直線的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：L第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

24下面舉幾個(gè)例子來說明

命題3中的公式的應(yīng)用所有計(jì)算都用數(shù)學(xué)軟件Maple驗(yàn)證了第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

25例1求由y=2x和y=x2所圍區(qū)域D繞直線

y=2x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x->x^2:y2:=x->2*x:int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);(2*Pi/sqrt(5))*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=(2*Pi/sqrt(5))*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第25頁/共30頁第二十五頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

26例2求由x=y2和y=x2所圍區(qū)域D繞直線

y=x-1旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

27例3求由y=0,y=lnx和x=e所圍區(qū)域D繞直線

y=-x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

28也可以按先x后y的積分次序計(jì)算二重積分：f:=(x,y)->x+y;y1:=0:y2:=1:x1:=y->exp(y):x2:=y->exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y)..x2(y)),y=y1..y2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),x=x1(y)..x2(y)),y=y1..y2);第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

29以上幾個(gè)例子說明用二重積分

計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積是很方便的尤其是旋轉(zhuǎn)軸不平行于坐標(biāo)軸時(shí)這種方法特別顯示其優(yōu)越性。第29頁/共30頁第二十九頁，共31頁。6.2定積分的幾何應(yīng)用

30感謝您的觀看！第30頁/共30頁第三十頁，共31頁。內(nèi)容總結(jié)6.2