五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題 - 奧數(shù)專題- 圓與扇形綜合 人教版

專項(xiàng)一

圓與扇綜課前預(yù)習(xí)圓與球：跨時(shí)代、跨文化的數(shù)學(xué)故事這座完美的代建筑，基本的設(shè)元素竟然是最簡單的幾何圖形—圓佇立在北京壇祈年殿贊美之情然而生這座完美的代建筑最本的設(shè)計(jì)素竟然是最簡單幾何圖形—圓三層漢白玉圓形臺(tái)基三藍(lán)琉璃圓頂大殿與附的圓形皇宇和圜丘交相映，好一圓美世界圓和球還是實(shí)用的圖大如宇宙天小至原子電子轉(zhuǎn)的車輪嗒的表……人們的日常活離不開和球，科的進(jìn)步也離不開圓和球。簡單中寓深。在圓與簡約的外下，潛藏著無窮的數(shù)學(xué)奧秘。圓周長和圓積的計(jì)算蘊(yùn)涵著極思想。中國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立割圓術(shù)就是用圓內(nèi)接正多邊去逐步逼圓劉徽從內(nèi)接正六邊形出發(fā)將數(shù)逐次加倍并計(jì)算逐次到的正多邊形的長和面積(及相應(yīng)圓周率近似。

古希臘數(shù)學(xué)稱用多邊逼近曲線形的方法為“窮竭法早在公前3世紀(jì)阿米德也是用這種方去計(jì)算圓周長面積圓周率的不過阿基米最引以自豪是他對(duì)球積的計(jì)算阿基德考慮一球和它的切圓柱以及一個(gè)輔助的圓錐其基本做法將這些立分割成無數(shù)的片，并用學(xué)平衡的法比較它們的體積，最后求得球體的正確公：(R是半徑。阿基米德的法可以看成是積分學(xué)的聲。無獨(dú)偶，在東，中國南朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之和的兒子祖也是利用球和它的外切圓柱計(jì)算出正確的球體積公式不與阿基米不同，祖氏子考慮的同一個(gè)球兩個(gè)互相垂直的外切圓柱的公共部(劉徽最發(fā)現(xiàn)該種體并命名為牟合方”)并運(yùn)用洲學(xué)者遲至17世紀(jì)才重新發(fā)的不可分量原理推算出這部分立體與其所內(nèi)切球的積之比。氏父子的方法與阿基米德的可以說異曲同工殊途同歸至于近代微分的發(fā)明圓和球也演了重要的角色。我們知道，在世紀(jì)上半紀(jì)微積分醞釀時(shí)期圓積與圓周π的計(jì)曾那些尋找開無窮小法大門鑰匙的數(shù)學(xué)大師們關(guān)注的熱點(diǎn)。牛之前的先者、英國學(xué)家沃利斯在其代表作《無窮算術(shù)中，用插法計(jì)算圓的面積，進(jìn)而導(dǎo)出無窮乘積達(dá)式牛頓推廣沃斯的方法得到了指可以是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的二項(xiàng)定理項(xiàng)定在建立微分算法中的作是眾所周的解析何的發(fā)人笛卡兒手中是他作求解方程基本工具笛卡兒在《何學(xué)》一中提出的曲線切線的方法甚至圓法著稱，而牛正是從研究、改善笛卡兒“圓法”開始踏上制定微積的漫漫征積的另一位發(fā)明人萊伯尼茨也計(jì)算過圓面積及圓周率他給出了π的無級(jí)數(shù)表達(dá)式饒有意味的牛頓布尼差不多同時(shí)代的日本“圣關(guān)孝和創(chuàng)獨(dú)具一格的圓理。他所謂的“圓理，即與圓有關(guān)研究，以無窮級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)，計(jì)算各曲線與曲圍成的圖形之面積體積，說當(dāng)時(shí)東方數(shù)學(xué)家們也在竭力用圓這把鑰匙叩著微積分大門。古希臘數(shù)之神”阿基米德把球積推算視他一生最意的成果曾留遺囑把及其外切圓柱的圖刻在他的碑上阿米德在第二次布匿戰(zhàn)爭期間被羅馬兵殺害據(jù)傳當(dāng)馬軍士沖到阿基德身邊時(shí)位正在思考學(xué)問題的老人喊出的最后一句話是別動(dòng)我圓阿基米德死后馬軍隊(duì)的帥馬塞呂下令為阿基米德隆重建墓并遵照阿基德的遺愿在他墓前豎了一石碑墓上刻著的是那不朽的圖形—球及其外切圓柱記載阿基米德體積計(jì)算的羊皮手稿，歷千年塵封終于重見天日，被譽(yù)為20世紀(jì)最重大的考古發(fā)現(xiàn)而動(dòng)一時(shí)。

至于圓周率的計(jì)算，這面的成就往被用作量某一時(shí)代、某一地區(qū)文化水平的標(biāo)征。前面已提到祖沖之，以圓周率計(jì)算而彪炳史冊(cè)。據(jù)《隋書》記載祖沖之算圓周率的確值在3.1415926與3.1415927之，這在元5世紀(jì)時(shí)創(chuàng)了世界之。為了紀(jì)念這位文化名人，人們把球上的一環(huán)形山命為祖之山”。年，國還發(fā)行了沖之紀(jì)念票。祖沖之并不僅有的出在郵票上與圓周率有關(guān)的數(shù)學(xué)家朗發(fā)行過紀(jì)念拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾卡西的郵票爾卡西恰是祖沖之之后刷新圓周率計(jì)算記的第一人他在公元世紀(jì)，給出了準(zhǔn)確位數(shù)的圓周近似值。天，電子計(jì)算機(jī)已經(jīng)將數(shù)值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后數(shù)億位。然而，子計(jì)算機(jī)發(fā)明、使本身離不開圓的數(shù)學(xué)。我們已經(jīng)看圓與球簡單麗妙述著一個(gè)跨時(shí)代跨文化數(shù)學(xué)故事最，讓我們回到文開始之—北京天壇去側(cè)耳傾聽沿著那圓形的回音壁回的永恒的圓舞”吧。1.2.

知識(shí)框架圓知：當(dāng)一條線段著它的一端點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)周時(shí)另端點(diǎn)所畫的封閉曲叫做圓，點(diǎn)叫做這個(gè)的圓.連結(jié)一個(gè)圓圓心和圓上任一點(diǎn)線段叫做圓的徑3.

連結(jié)圓上任兩點(diǎn)的線叫做圓的弦

過圓心的弦做圓的徑4.5.

圓的周長與徑的比叫圓率圓周長直徑π.=半徑2π扇的識(shí)

圓周上任意點(diǎn)間的部叫做弧圓面積π×半徑21.

扇是圓一部分，它由圓心角兩條半徑圓心角所的弧組成的圖形做心.

頂點(diǎn)在圓心角叫

2.

我們經(jīng)常說

11圓、圓、圓等其實(shí)都扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形243.

圓心角占這圓周角的分之幾．么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是nnn扇形中的弧=.扇形的周+2r.扇形面積==180180360

n360

．.弓的識(shí)弦與它所對(duì)弧所組成圖形叫做弓?！疽话銇?，弓形面積扇形積三角形面積(除了半圓】1.2.3.4.5.

常方：常的想法①轉(zhuǎn)化思想(復(fù)雜化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的②等積變形(割補(bǔ)平移、旋轉(zhuǎn)等)③借來還去(加減)④外圍入手(從會(huì)的圖形或者能求的圖形入手，看與求的部分間的”關(guān)系)割法將不規(guī)則的合圖形經(jīng)過割（用連分割）、拼、拼合后，轉(zhuǎn)化成一個(gè)規(guī)則的幾圖形，從而易求得面的方法，是割補(bǔ)法求面積。包與除：疊想減是應(yīng)用了含與排除思想用包含與排除求面積時(shí)關(guān)鍵是考慮疊部分的面如何正確理，應(yīng)該上還是減去，要仔細(xì)思考，正確選。旋對(duì)：不規(guī)則形或幾個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)對(duì)稱之成為一個(gè)幾個(gè)規(guī)則圖形進(jìn)行面積計(jì)算的方法。差變理：也稱為放大法求面積通常是兩個(gè)不規(guī)則形的面積或是已知兩不規(guī)則圖形的面積差而求面積大或線段長般我們把這個(gè)圖形經(jīng)過即加上一圖形使它們變成個(gè)規(guī)則圖，再計(jì)算答。

重難點(diǎn)重：1、圓與形的面積周長計(jì)算公式。弓形的面積公式。2割補(bǔ)求面積。能用割補(bǔ)法組合圖形面積。3利用斥原理就是疊相減法面積。4旋轉(zhuǎn)形問題的重研究是當(dāng)個(gè)圖形繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軌跡掃過的面積。難：1、在解復(fù)雜圓與形的周長時(shí)，首先要分清圍成這一形的邊有些，再正計(jì)算。2在解復(fù)雜圓與扇的面積時(shí)首先要根圖形組合的形式，用會(huì)求的圖形的面積去求的題目要求的圖面積。3多種法在同一個(gè)目中的分及運(yùn)用。例題精講【1正方的邊長為10，求陰部分得面。（用π的式表示）

π3.14π3.14【鞏固】如是一個(gè)邊為30的正方形，各頂點(diǎn)為心，邊長半徑，畫圓弧，求陰影部分的面積。【2如圖正方形邊長1，正方形的4個(gè)頂和4條邊分為4個(gè)圓的圓心半徑，求陰部分面積．取)

【鞏固中的4個(gè)圓的心是正方的4個(gè)點(diǎn)它們的公點(diǎn)是該正形的中心如果個(gè)圓的半徑都厘米，那么影部分的總積是多少方厘米？

【】如圖示半徑為4厘米的中有兩條相垂直的線段影部分面積與其它部分積B之差(大減小)多少？A2

1B

A【鞏固塊圓形有金屬板分給甲乙人但此屬板事先已被兩條互相直的弦切成如圖所示尺的四塊．甲?、?、兩塊，乙?、?、④兩塊．如果這種屬板每平厘米價(jià)值1000元問：甲應(yīng)付給乙多少元？

7.5cm

π【】如圖邊長為3的兩個(gè)方形BDKE、方形排放置，以BC為邊向側(cè)作等邊三形，分別以B、C為圓心BK、CK為徑畫弧求陰影部面積．)

C【鞏固】已半圓所在圓的面積平方厘，求陰影部分的面積．)

ADCO

B【5如圖兩個(gè)半徑為1的半垂直相交橫放的半圓徑通過豎半圓的圓求圖中塊陰影部π分的面積之．取3)

33【鞏固】在中，兩個(gè)分之一圓的半徑分別是24求兩個(gè)影部分的面積差．圓周率取3)【6如圖示，陰影部的面積為少？圓周率)

ππ33【鞏固】圖陰影部分面積是．(取3)

【7下圖，AB=3，陰部分的面是多少？

AEB【鞏固】如ABCD兩條垂的直徑，圓O的半徑為15是C為圓心AC為半徑的圓?。幱安糠置娣e．EA

OB

【】

(沖之杯賽試題如圖

ABCD

是一個(gè)長為4，寬為，對(duì)角線為的正形，它繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，別求出四邊掃過圖形的積．ABDC

【鞏固】如，將長方ABCD頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度若AB=4，BC=3，AC=5，求AD邊掃過部分的面積(

取3.14)

ADBC【9(2004年九屆華杯賽賽)半為厘米的小鐵環(huán)沿著徑為50厘的大鐵環(huán)的側(cè)作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，小鐵環(huán)沿鐵環(huán)滾動(dòng)周回到原位時(shí)，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了圈？

11【鞏固】如所示，大周長是小周長的()倍，當(dāng)圓在大圓內(nèi)外側(cè))作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一圈后回到原來位置，小繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了幾周？【10傳古老的天國有一座樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘鐘面有平方米．每當(dāng)太西下，鐘面就出現(xiàn)奇妙陰影(如右圖．那么，陰影分的面積是_________平米．

11

12

110

29

38

47

6

5【鞏固】圖是一個(gè)鐘的圓面，中陰影部分甲與陰影部分乙的面積比是多少

課堂檢測1、有7根直5厘的塑料管，用一根橡皮把它們捆一捆（如圖），此時(shí)橡皮筋的長度是多少？

2、如圖，大圓徑為小圓直徑，已圖中陰影部分面積為

，空白部分積為

，那么這兩個(gè)部分的積之比是少？(圓周率取3.14)3、如果半徑為25厘米的小鐵沿著半徑為50厘的大鐵環(huán)外側(cè)作無動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾一周回到位時(shí)，問鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？

4而思杯試題)如圖三角形中直角BC厘厘米，則在ABC繞點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)程中，邊掃過圖形的積為．(

3.14

)

A'

π3.14π3.14復(fù)習(xí)總結(jié)解決圓與扇較難的題時(shí)，關(guān)鍵能夠?qū)D形進(jìn)行巧妙的分析，熟記種方法的些典型例題，或顯的圖形利用所學(xué)各種方法，在解題的過程中靈活運(yùn)。家庭作業(yè)1、如圖，邊長12厘米的正邊形，分別以正五邊形的5個(gè)頂為圓心，12厘米為半徑圓弧，請(qǐng)問：間陰影部的周長是少？()2、如圖邊長為13的正方形中分別以正方形的每條邊為斜邊，向內(nèi)做直角邊5和12的角三角形，求圓和小圓面積比。

6060BCπ3、如圖所示，角三角形ABC的邊長為10厘米

，此時(shí)長5厘米．點(diǎn)為中心將順針旋轉(zhuǎn)120、分別到達(dá)點(diǎn)D的位置．AC邊掃過的圖形即圖陰影部分面積．(取3)ECA

4、如圖所示，ABCD是一長為4cm的正方形，E是AD的中點(diǎn)，而是的中